奥数三年级下册第10讲：和倍问题课件+教案+作业

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（三年级）备课教员：* * *
第十讲和倍问题
一、教学目标：	知识目标	学会运用线段图理清题目中各个量之间的数量关系。熟练掌握和倍公式，理解公式的含义。灵活利用和倍公式解决实际问题。
	能力目标	1. 提高自主分析能力。 2. 锻炼思维能力。 3. 学会数形结合的数学方法。
	情感目标	自主探索解决实际问题，并有勇于探索的精神。培养做事认真仔细、严谨的态度。 3. 感悟数学与实际生活的密切联系。
二、教学重点：	1. 已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数是多少的应用题，叫做和倍问题。解答和倍应用题的基本数量关系：（1）较小数（1倍数）×（倍数＋1）＝和；（2）和÷较小数（1倍数）－1＝倍数；（3）和÷（倍数＋1）＝较小数（1倍数）；（4）和－较小数（1倍数）＝较大数（几倍数）；（5）较小数（1倍数）×倍数＝较大数（几倍数）。我们往往把“比、是”后面的量看成1倍数，“比”、“是” 前面的量看成几倍数。弄清题中的数量关系，根据数量关系列式计算。
三、教学难点：	运用画线段图的方法，准确分析各个量之间的数量关系。
四、教学准备：	PPT
五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分) 【设计意图：通过设置情景，让学生在听故事的过程中进行思考。将这一讲的内容融入故事中，达到趣味性教学的目的，为接下来的新授环节做铺垫。】师：同学们，明天就是游园会了，欧拉布置班级的时候，遇到了阿派，正好欧拉听说最近阿派变的越来越勤奋了，于是就想考一考阿派。师：欧拉对阿派说：明天就是游园会了，我和卡尔准备了黄气球和红气球一共 150个，黄气球的个数是红气球的2倍，你知道我们准备的黄气球和红气球各多少个吗？阿派想了想说，你们准备了50个红气球，100个黄气球。欧拉高兴地说道,看样子大家说的没错，你最近进步确实很大嘛，不过你是怎么计算出来的呢？师：同学们，你们知道阿派是怎么计算的吗？生：不知道。师：看来，阿派学到的知识比你们多呢！想不想超越阿派？生：想。师：很好，学了今天的知识，你们就能超越阿派了，有信心吗？生：有信心。师：很好，那我们一起来看今天到底要学什么呢？【探究新知，引入新课：　　之前我们学习了乘法，对于倍数有一定的认识。但是解决实际生活中的和倍问题可能还有点困难。主要是引导学生理解各个量之间的数量关系，找到和对应的是几份量】【板书课题：和倍问题】
二、探索发现授课（40分）（一）例题1：（10分）芭啦啦综合教育学校有科技书和故事书共144本，科技书的本数是故事书的2倍。两种书各有多少本？讲解重点：首先学会找1倍数，把数量少的故事书看做1份量，那么科技书就是4份量，合起来5份对应的总量就是两种书的总数，可以求出1 倍数，再求几倍数就容易了。师：请一个同学起来读题，谁自告奋勇？生：老师，我来！（生读题）师：读得很好，声音很洪亮，咬字也很清晰。那读完题后，你得到了什么数学信息呢？要我们求的是什么？生：科技书和故事书共144本，科技书的本数是故事书的2倍。两种书各有多少本？师：那我们该怎么思考呢？（学生小组讨论）师：你们思考一下，怎么用线段图表示科技书和故事书的数量关系？生：不知道。师：哪种书比较少呢？生：故事书。师：对，那如果我们用一条线段表示故事书的数量是一份，相应地科技书的数量怎么用线段表示？是几份呢？生：故事书2倍长度的线段，是2份。师：这位同学的思维真是敏捷，请坐。现在请同学们动手画出线段图。（学生画图）（ppt出示）师：我们再看题目中还告诉我们什么信息？生：科技书和故事书共144本。师：很好，这位同学找到了这个信息，那我们这个线段图上怎么表示出科技书和故事书的总数呢？生：就是上下两条线段合起来是144。师：那144对应的是几份呢？生：3份。师：好的，也就是说3份量对应的是144本书，故事书是其中的1份，科技书是其中的2份，对吗？生：对。师：那知道3份的量对应的是144，怎么求其中的一份？也就是故事书的数量怎么求？生：144÷3=48（本）师：很好，那我们怎么求科技书的数量呢？生1:144-48=96（本）生2：还可以是48×2=96（本）师：非常好。这两种方法都可以求出科技书的数量。那我们来看下你们的思路跟老师的是不是一样？（ppt出示答案）生：是！师：太棒了！我们都做对了！谁能给这类题目归纳出一个公式？生：不知道。师：我们回顾一下例题一，我们是不是用144÷3=48（本）求出故事书的数量的，那算式中144是什么量？生：是两种书的数量之和。师：很好，那3是什么量？生：不知道。师：我们是不是把数量较少的故事书看成1份，那么科技书是故事书的2倍，所以科技书就是2份。所以这个3是什么量？生：哦，我知道了。3就是故事书和科技书合起来是3份。师：非常棒，那你现在能连起来说说吗？我们刚刚归纳出的公式是怎么样的？生：和÷（倍数+1）=较小数师：这位同学的概括能力真是太棒了，大家送上降龙十巴掌鼓励一下，另外再奖励3个大拇指。师：像这种知道两个量的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题，我们称为和倍问题。解答和倍问题，我们用到的公式就是刚刚这位同学归纳出的公式，和÷（倍数+1）=较小数，再用和-较小数=较大数即可。大家都记住了吗？自己大声念3遍，把这个公式记住！生：…… 板书：故事书：144÷（2+1）=48（本）科技书：144-48=96（本）答：故事书有48本，科技书有96本。板书：和÷（倍数+1）=较小数，和-较小数=较大数师：既然同学们都明白了，那你们能不能独立完成练习一呢？我们可以借助线段图帮助理解哦。练习1：（5分）一个长方形周长是48厘米，长是宽的2倍，求这个长方形的长与宽？分析：先根据长方形周长公式计算出长和宽的和，要注意的是48厘米是长和宽的和的2倍，所以长加宽应该是24厘米，再根据和倍公式计算即可。板书：宽：24÷（2+1）=8（厘米）长：24-8=16（厘米）或者8×2=16（厘米）答：这个长方形的长是16厘米，宽是8厘米。（二）例题2：（10分）饲养场共养鸡、鸭44只，养的鸡比鸭多2倍，饲养场养鸡、鸭各多少只？讲解重点：这个题目的关键在于“多2倍”，鸡比鸭多2倍，也就是鸡是鸭的3 倍，理解这一数量关系后，再利用和倍公式解答即可。师：现在请一个同学起来读题，其他同学认真听一下，这个题目跟例题一有什么相同点和不同点？生1：都是知道两个量的和，还有它们的倍数关系。师：大家张大眼睛仔细看，跟例题一有什么不同呢？生2：哦，我知道了，养的鸡比鸭多2倍，所以鸡的数量是鸭的3倍。师：这位同学果然是火眼金睛啊，这么小的细节都被你发现了，掌声鼓励一下。虽然说只是多了一个字，但是它们的数量关系就大有不同了，对吗？生：对。师：那接下来该怎么思考？用什么公式？生：用和倍公式。师：同学们真是太棒了，一点就通。那现在大家自己动手做一下。（学生自己做题）师：大家都做的差不多了吧，同桌之间交换过来改一下。生：老师，我同桌算出来跟我的不一样的，他的算式是44÷（2+1），我的算式是44÷（3+1）。师：哦？那你觉得正确的算式是哪个呢？生：我觉得我的是对的。师：那你能解释一下吗？为什么是3+1呢？生：因为题目中说的是鸡比鸭多2倍，所以鸡的数量是鸭的3倍，和倍公式中是用和÷（倍数+1），所以求鸭的数量的算式是44÷（3+1）。师：哇，这位同学的思路真是太清晰了，完全可以当小老师了啊！大家送上降龙十巴掌鼓励一下，再给你奖励3个大拇指！刚刚同桌是不是走神了，那现在明白了吗？生：明白了。师：同学们，这道例题跟例题一其实是很相似的，我们只要理清两个量之间的数量关系，再用和倍公式求解就好了。是不是很简单？生：是。板书：鸭：44÷（3+1）=11（只）鸡：44-11=33（只）答：饲养场养鸡33指，养鸭11只。师：那我们现在就来挑战练习2，看看你们能否挑战成功。练习2：（5分）芭啦啦综合教育学校羽毛球兴趣班共有学生50名，其中男生比女生多3倍，男生和女生各多少人？分析：把女生的人数看成1份，男生比女生多3倍，所以男生人数就是4份，再套用和倍公式求解即可。板书：女生：50÷（4+1）=10（人）男生：50-10=40（人）答：男生有40人，女生有10人。三、小结：（5分）已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数是多少的应用题，叫做和倍问题，可以借助线段图帮助理解。解答和倍应用题的基本数量关系：和÷（倍数＋1）＝较小数（1倍数）和－较小数（1倍数）＝较大数（几倍数）较小数（1倍数）×倍数=较大数（几倍数）
第二课时（50分）一、复习导入（3分）【进一步理解和倍公式，并能用以解决实际生活中的问题】师：孩子们，还记得上节课，我们学习了什么吗？生：学习了和倍问题。师：恩，看来你们上节课都有认真听课。那你们还记得有一个很实用的公式吗？生：和÷(倍数+1)=较小数（1倍数）；和－较小数（1倍数）＝较大数（几倍数）师：非常好。上节课，我们为了超越阿派，进行了知识强化，但是，我们还没有强化完毕呢。所以，这节课我们就要继续深入学习“和倍问题”。学完这节课，你们肯定会有更多更好的收获。现在请看例题三。
二、探索发现授课（42分）（一）例题3：（10分）少先队员种柳树和杨树共80棵，杨树的棵数比柳树的2倍多8棵，柳树和杨树各种了多少棵？讲解重点：这个题目不再是整数倍的问题，我们可以将杨树多出的8棵减去，那么杨树就是柳树的2倍，特别要注意的是，杨树减少8棵，总数也要相应减少8棵。师：先请全班同学齐读题目，我希望能听到每个同学的声音。（生齐读题目）师：你们看这个题目跟我们上节课的题目有什么不一样呢？生：杨树的棵数比柳树的2倍多8棵。师：哦，现在不是整倍数了，那你们还记得上节课我们是用什么方法理清各个量之间的数量关系的？生：画线段图。师：很好，那现在你们能画出线段图吗？自己动手试试看。（学生自己画图）（学生画图展示）师：我看到同学们的画法了，现在看看老师的跟你们一样吗？（ppt出示）师：我们一起看这个线段图，你能根据这个线段图求出柳树的数量吗？小组之间讨论一下。（小组讨论）师：我们看，如果我们把杨树多出来的8棵减去，那么杨树的数量是不是正好是柳树的2倍？生：是。师：这时总棵树会怎么变化？生：总棵树减少8棵，就是80-8=72（棵）。师: 那现在跟例题一是不是一样了，大家会求柳树的棵树了吗？动手算一算吧。生：会。师：那以后碰到这种不是整倍数的和倍问题时，我们怎么求解呢？请一个同学起来说一下。生：先画出线段图，再把多出来的部分减去，变成整倍数的问题。师：那减去多出来的部分时，总和会不会发生变化？生：会，和也要减去相同的数。师：是的，这是很容易被忽略的地方，同学们解题时一定要注意到一个量发生变化时，和也要跟着变化。板书： 80-8=72（棵）柳树：72÷（2+1）=24（棵）杨树：80-24=56（棵）答：柳树种了24棵，杨树种了56棵。师：既然大家都掌握了这种解题思路，那现在就来挑战一下练习3吧。相信大家都能学以致用。练习3：（5分）米德、卡尔两人共有17张邮票，米德的张数比卡尔的2倍少4张，米德和卡尔各有多少张邮票？分析：根据题意，米德的邮票增加4张就正好是卡尔的2倍，这时两人的邮票总数也增加4张。卡尔对应的是1倍数，米德对应的是2倍数，再根据和倍公式求解即可。板书：卡尔：（17+4）÷（2+1）=7（张）米德：17-7=10（张）或2×7-4=10（张）答：米德有10张邮票，卡尔有7张邮票。（二）例题4：（12分）书架上层有48本图书，下层有36本图书，上层要拿出多少本到下层，下层的图书是上层的2倍？讲解重点：这个题目的关键在于要理解不论上下层之间书本如何移动，书本总量不变，先求出按要求移动后上下层各有多少本数，与原来对比就能知道移动量。师：同学们，我们一起看这个题目。谁能告诉我这个题目中的什么量是不变的？生：图书总数。师：是的，不管两层书架之间怎么移动图书，图书的总数量都是不变的。那一共有多少本图书呢？生：48+36=84（本）。师：我就知道这么简单的问题难不倒你们，那接下来，我们应该怎么思考？生：不知道。师：当我们不知道接下来的思路时，就要从问题出发，我们一起看，题目要我们求什么？生：上层要拿出多少本到下层，下层的图书是上层的2倍。师：那我们现在知道和，又知道两层书架上的图书数量的倍数关系，你们想到什么公式？生：和倍公式。师：当下层图书的数量是上层的2倍时，我们把谁看成1份量？生：上层图书数量。师：那下层图书看做几份量？生：2份。师：所以大家都会求上层应该放多少本图书了吗？生：84÷（2+1）=28（本）。师：那按照要求，上层应该放28本，但现在上层有多少本呢？生：48本。师：那我们怎么移动呢？生：48-28=20（本），所以从上层拿20本到下层。师：大家都是这么想的吗？能不能把答案带回去验算一下呢？（学生独立思考）生：老师，我知道了。如果上层拿20本给下层，上层就是48-20=28（本），下层就是36+20=56（本），28+28=56（本），所以56正好是28的2倍，满足条件。师：这位同学说的真是太完整了。奖励你3个大拇指。所以当我们做完题目时，可以把答案带回去验算，看是否符合条件。大家明白了吗？生：明白。板书：（48+36）÷（2+1）=28（本） 48-28=20（本）答：上层要拿出20本到下层，下层的图书是上层的2倍。师：接下来，请同学们自己完成练习4，注意审题一定要仔细，抓住不变量，看清楚变化的是哪个量，从问题出发进行思考。练习4：（5分）欧拉存钱罐里有43元，卡尔存钱罐里有35元，欧拉给卡尔多少钱后，卡尔和欧拉有相同的钱？分析：两个人总共的钱是不变量，先算出钱的总数。两人要有相同的钱就是两人平均分总共的钱。再用欧拉的钱减去平均数就是欧拉要给卡尔的钱。板书：（43+35）÷（1+1）=39（元） 43-39=4（元）答：欧拉给卡尔4元后，卡尔和欧拉有相同的钱。例题5：（选讲）甲、乙两箱苹果共重84千克，从甲箱取出15千克的苹果放入乙箱，乙箱的重量就是甲箱的3倍，两箱原来各有苹果多少千克？讲解重点：首先苹果总量是不变的，把移动后甲箱中的苹果作为1份量，此时乙箱就是3份量，根据和倍公式可以求出移动后甲箱中的苹果，再加上15千克就是甲箱原有苹果多少千克，再用总量84千克减去甲箱中苹果重量就能求出原来乙箱中苹果的重量。师：先请同学们一起读题。看看题目中告诉我们什么数学信息？要我们求什么？（学生齐读题目）生：…… （ppt呈现变化过程）师：好，那我们通过刚刚的观察可以知道，苹果的总数量会变化吗？生：不会，还是84千克。师：当从甲箱取出15千克的苹果放入乙箱后，两箱中的苹果数量会怎么变化？生：甲箱中的苹果减少15千克，乙箱中的苹果增加15千克。师：太棒了，大家都能理解这个变化过程是吧。此时甲箱和乙箱中的苹果有怎么样的数量关系？生：这时乙箱的重量就是甲箱的3倍。师：很好，那现在就是知道了两箱苹果的总和，又知道两箱苹果之间的倍数关系，是不是跟前面学过的例题一样了？用到什么公式呢？可以求出什么？生：用到和倍公式，可以求出甲箱的苹果重量。师：大家动手算一算是多少。（学生动手计算）生：84÷（3+1）=21（千克）。师：非常正确，算出来的是甲箱苹果现在的重量还是甲箱苹果原来的重量？生：现在甲箱的苹果重量。师：那题目中要我们求原来的重量，该怎么求呢？生：甲箱拿出15千克后是21千克，所以把15千克的苹果放回去就是甲箱原来的重量，是15+21=36（千克）。师：那乙箱原来的苹果重量是不是就小菜一碟了，怎么列式？生：84-36=48（千克）。师：这道题目做完了吗？生：还要写答。师：太棒了，说明同学们已经养成写答的好习惯了。我们计算完后也可以把答案带进去验算一下，看我们做的对不对。生：好的。板书：现在甲箱：84÷（3+1）=21（千克）原来甲箱：21+15=36（千克）原来乙箱：84-36=48（千克）答：甲箱原来有36千克，乙箱原来有48千克。师：大家做好准备了吗？让我们一起挑战一下练习5，看谁做得又快又准确。第一名奖励3个大拇指，第二名2个，第三名1个。练习5：（选做）甲水池有水69吨，乙水池有水36吨，如果甲水池中的水以每分钟2吨的速度流入乙池，那么多少分钟后，乙水池的水是甲水池的2倍？分析：两池水的总量是不会变的。先根据和倍公式求出当乙水池的水是甲水池的2倍时甲水池的水量，用甲水池原来的水量减去求出的水量，就是甲水池一共流进乙水池的水量，再除以每分钟的流量就能求出时间。板书：（69+36）÷（2+1）=35（吨） 69-35=34（吨） 34÷2=17（分钟）答：17分钟后，乙水池的水是甲水池的2倍。三、总结：（5分）已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数是多少的应用题，叫和倍问题。解答和倍应用题的基本数量关系：（1）较小数（1倍数）×（倍数＋1）＝和；（2）和÷较小数（1倍数）－1＝倍数；（3）和÷（倍数＋1）＝较小数（1倍数）；（4）和－较小数（1倍数）＝较大数（几倍数）；（5）较小数（1倍数）×倍数＝较大数（几倍数）。我们往往把“比、是”后面的量看成1倍数，“比”、“是”前面的量看成几倍数。弄清题中的数量关系，根据数量关系列式计算。四、随堂练习： 1. 甲、乙两数的和是65，甲数除以乙数的商是4，甲、乙两数各是多少？板书： 65÷（1+4）=13 65-13=52 答：甲是52，乙是13。卡尔买了苹果和香蕉共24千克，其中香蕉比苹果多1倍，卡尔买了苹果和香蕉各多少千克？板书：苹果：24÷（2+1）=8（千克）香蕉：8×2=16（千克）答：卡尔买了苹果8千克，香蕉16千克。甲、乙两书架共有图书73本，甲书架的图书数比乙书架的3倍少15本。甲、乙两书架上各有图书多少本？板书：乙书架：（73+15）÷（3+1）=22（本）甲书架：73-22=51（本）答：甲书架51本，乙书架22本。甲桶有油23千克，乙桶有油29千克，甲桶要倒多少千克给乙桶，乙桶才是甲桶油的3倍？板书：（23+29）÷（3+1）=13（千克） 23-13=10（千克）答：甲桶要倒10千克给乙桶。甲书架有图书29本，乙书架有图书57本，班级图书管理员又买来图书16 本，怎样分配才能使乙书架图书的本书是甲书架的2倍？板书：（29+57+16）÷（1+2）=34（本） 34-29=5（本） 16-5=11（本）答：给甲书架5本，给乙书架11本。