江西省铜鼓中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试卷

铜鼓中学2024届高二数学双周练（四）

一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分）

1．抛物线的准线方程是（    ）

A． B． C． D．

2．倾斜角为120°的直线经过点和，则a =（      ）

A．0 B．2 C． D．

3．已知空间向量，，，若三向量、、共面，则实数（    ）

A． B． C． D．

4．已知直线与 平行 ， 则​（    ）

A．​ B．1 或 ​ C．​或 2 D．​

5．，分别是双曲线的左右焦点，点P在该双曲线上，若 ，则（    ）

A．1或21 B．14或36 C．2 D．21

6．若圆：与圆：相切，则的值可以是（    ）

A．16或-4 B．7或-7 C．7或-4 D．16或-7

7．设点P是抛物线:上的动点,点M是圆:上的动点,d是点P到直线的距离,则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

8．(平行班)设，是双曲线E：的两个焦点，双曲线E与以O为圆心为半径的圆在第一象限的交点为，且，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．13 D．

8．如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题（本题共4小题20分，全部选对得5分，部分选对得2分，有错误选项得0分）

9．已知空间向量，则下列正确的是（    ）

A． B． C． D．

10．下列命题正确的是（    ）

A．若定点满足，动点满足，则动点的轨迹是双曲线.

B．若定点满足，动点满足，则的轨迹是椭圆.

C．当时，曲线表示椭圆.

D．双曲线与椭圆有相同的焦点.

11．下列命题中正确的是（    ）

A．已知向量，则存在向量可以与构成空间的一个基底

B．若两个不同平面的法向量分别是，且，则

C．已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则

D．已知与方向相同的单位向量是

12．已知椭圆，为的右焦点，为的左顶点，为直线与的两个交点，则（    ）

A．的取值范围是 B．周长的最小值为

C．的面积的最大值为 D．直线与的斜率之积为

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（平行班 ）若双曲线的一条渐近线方程为，则_________.

13．以双曲线C：的一个焦点F为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则该圆的面积为________．

14．已知直线l过点，且在x轴和y轴上的截距分别为a，b，若，则l的方程为__________．

15．直三棱柱中，，分别是的中点，，则所成角的余弦值为___________

16．（平行班）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上且满足，，则的离心率的值为______.

16．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，它们的离心率分别为是它们的一个公共点.若，则的最小值为__________.

四、解答题（本大题共6题，共70分）

17．（10分）在三棱锥中，是的中点，在上，且，，，.

(1)试用，，表示向量；

(2)若底面是等腰直角三角形，且，，求的长.

18．（12分）已知圆C过三点．

(1)求圆C的一般式方程；(2)若直线l过点，且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程；

19．（12分）如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，分别为的中点.

(1)求直线与平面所成角的正弦值.

(2)求点到面的距离.

20．（平行班）（12分）在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点到其准线的距离为2，直线过点且与交于两点.

(1)求的值及直线的斜率的取值范围；

(2)若，求直线的方程.

20．（12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知曲线C上任意一点（其中）到定点的距离比它到y轴的距离大1．

(1)求曲线C的轨迹方程；

(2)若过点的直线l与曲线C相交于不同的A，B两点，求的值。

21．（12分）如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点F，G为的中点，，.

(1)求证：平面；

(2)求二面角的余弦值；

(3)在线段上是否存在一点H，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.

22．（12分）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为.

(1)求轨迹的方程；

(2)过椭圆C右焦点的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x＝4于点D．设直线QA，QD，QB的斜率分别为，，，若，证明：为定值．

高二数学周练四参考答案

1．A由题可得抛物线的标准方程是，开口朝上，，，所以抛物线的准线方程为.

2．A设直线的斜率为，，

3．B因为三向量、、共面，设，其中、，则，解得.

4．D因为直线 ​与​:​平行，所以 ​，解得 ​或​，当 ​时， 直线​与​:​重合， 不符合题意，故 ​；

5．D由双曲线方程得 由双曲线的定义得：，又，解得：或又点P在该双曲线上时要满足：或者所以.

6．A因为表示圆，故，解得：；对圆，其圆心为，半径；对圆，其圆心为，半径；当两圆外切时，，即，解得；当两圆内切时，，即，解得；综上所述：的取值可以为或.

7．B:由题知圆:, 为抛物线焦点,为抛物线准线,则过点向作垂线垂足为,如图所示:则,根据抛物线定义可知,

,=,若求的最小值,只需求的最小值即可,连接与抛物线交于点,与圆交于点,如图所示,此时最小,为,,,.

8．（平行班）D，又由双曲线定义可知，所以，∵P在以为直径的圆上，则，由，得，故，所以.

8．B依题意，直线都过点，如图，有，，设，则，显然有，，

，因此，，在，，即，解得，即，令双曲线半焦距为c，在中，，即，解得，所以E的离心率为.

9．AB【解析】因为，所以，故A正确；，所以B正确；，所以不垂直，故C错误；，故D错误.

10．BD【解析】对于A，定点满足，动点满足，则动点的轨迹是以为端点的一条射线，故A错误；对于B，定点满足，动点满足，则的轨迹是以为焦点的椭圆，故B正确；对于C，当时，曲线，即表示圆，故C错误；对于D，由双曲线可知其焦点为，由椭圆可知其焦点为，故D正确.

11．BC【解析】A选项：因为，所以其它向量与、一定共面，所以不能构成基底，故A错；B选项：因为，所以，故B正确；C选项：因为为平面上的一点，所以，整理得，故C正确；

D选项：设，则，不是单位向量，故D错.

12．ABD【解析】对于椭圆，则、，所以，所以，，又，为直线与的两个交点，显然直线的斜率不为，且、不可能在轴上，、两点关于原点对称，所以，即，故A正确；

设椭圆的左焦点为，根据对称性可得，所以，要使周长的最小，只需取得最小值，由椭圆的性质可知，所以，当且仅当时取最小值，即、分别在上、下顶点时，故B正确；设，则，则，因为，所以，当且仅当时取最大值，即、分别在上、下顶点时，故C错误；由，，所以，又，

所以，所以，故D正确；

13．（平行班）【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，解得，

13．【详解】双曲线的，则可设焦点为，渐近线方程为：，即，则到渐近线的距离为，所以圆的半径为，则圆的面积为.

14．或【详解】若，则l过，又l过点，故l的方程为，即；若，设l的方程为，所以，解得，所以，故l的方程为．

15．【详解】依题意可知两两相互垂直，

由此建立如图所示空间直角坐标系，设，

则，设所成角为，则.

16．（平行班）【详解】设，则.由椭圆的定义可知：，所以.所以因为，所以为直角三角形，由勾股定理得：，即，即，所以离心率.

18．【详解】设椭圆对应，双曲线对应，，所以，两边平方得①，，两边平方得②，

①+②并整理得；①-②并整理得.由余弦定理得，整理得，所以，，

所以，当且仅当时等号成立.

17.（1）由已知，是的中点，在上，且，则

，所以

（2）因为，，，即，且由（1）知

的长为.

18.（1）设圆的一般方程，因为圆C过三点，所以解得,故圆C的一般式方程为.

（2）当直线l的斜率不存在时，直线为，圆C截得的弦长为，故直线l为.

设直线l的斜率为，又过点，所以直线l的方程为，

由（1）可知圆心为，半径，又因为圆C截得的弦长为，所以由垂径定理可得圆心到直线的距离，由点到直线的距离可得解得.

所以直线l的方程为： 或.

19（1）因为平面，所以.

因为底面是正方形，所以.如图建立空间直角坐标系.

因为，底面为边长为2的正方形，所以，.

设平面法向量，由可得

令，则，所以设直线与平面所成角为，

则，所以直线与平面所成角的正弦值为．

（2）设点到平面的距离为，由(2)可得 为平面的一个法向量，所以，所以点到面的距离为.

20.（平行班）（1）因为抛物线：的焦点到其准线的距离为2，所以，解得.所以抛物线方程为，因为直线过点且与交于两点，所以，设直线的斜率为，方程为，所以，联立得，故方程有两个不等的实数解.

，解得且所以，直线的斜率的取值范围为

（2）设，，由（1）知，又由焦半径公式得，

所以，，即，解得或.所以，直线的方程为或.

20.（1）依题意知，动点P到定点的距离等于P到直线的距离，曲线C是以原点为顶点，为焦点的抛物线，所以∴曲线C方程是

（2）当l平行于y轴时，即斜率不存在时，其方程为，由解得，，则可设，此时

当l不平行于y轴时，设其斜率为k(k不为0)，则由得

恒成立.设，则有，，

∴．综上，的值为．

21.（1）连接FG.在△中，F、G分别为的中点，所以.又因为平面, 平面，所以平面.

（2）因为平面,平面，所以.又，所以.

以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系.

则,

.,.设平面SCD的一个法向量为.

则，即，令,得.所以平面SCD的一个法向量为.又平面ESD的一个法向量为.所以

由图可知二面角为钝角，所以的余弦值为.

（3）假设存在点H,设,则.

由（2）知,平面的一个法向量为.则，

即,所以.故存在满足题意的点H,此时.

22.（1）由已知得，圆可化为标准方程：，即圆心，半径，圆可化为标准方程：，即圆心，半径，，经分析可得，，则.由题意可知，两式相加得，，所以，点的轨迹为以为焦点的椭圆，可设方程为，则，，，，，所以，轨迹的方程为.

（2）由题意直线AB的斜率一定存在，由（1）知，c=1，则椭圆的右焦点坐标为，

设直线AB方程为：y＝k（x－1），D坐标为．所以，

设，，将直线AB方程与椭圆方程联立得．恒成立，

由韦达定理知，且，，

则

．

故（定值）．