2022-2023学年江西省宜春市铜鼓中学高二（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

2022-2023学年江西省宜春市铜鼓中学高二（下）月考数学试卷（4月份）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、单选题（在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知等差数列的前项和为，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知函数，则曲线在点处的切线方程为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知直线与圆：相交于，两点，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  “锦里开芳宴，兰缸艳早年”元宵节是中国非常重要的传统节日，某班级准备进行“元宵福气到”抽奖活动福袋中装有标号分别为，，，，的五个相同小球，从袋中一次性摸出三个小球，若号码之和是的倍数，则获奖若有名同学参与此次活动，则恰好人获奖的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  某莲藕种植塘每年的固定成本是万元，每年最大规模的种植量是万千克，每种植千克莲藕，成本增加元种植万千克莲藕的销售额单位：万元是是常数，若种植万千克，利润是万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕(    )

A. 万千克 B. 万千克 C. 万千克 D. 万千克

6.  数列满足，，，，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知双曲线的上、下焦点分别为、，过点且与一条渐近线垂直的直线与的上支交于点，且，则双曲线的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若函数有两个极值点，，且，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（每小题有多项符合题目要求）

9.  下列式子求导正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  设公比为的等比数列的前项积为，若，则(    )

A.  B. 当时，
C.  D.

11.  设，则下列说法正确的是(    )

A.  B.
C. 展开式中二项式系数最大的项是第项 D.

12.  关于函数，下列判断正确的是(    )

A. 是的极小值点
B. 函数图像上的点到直线的最短距离为
C. 函数有且只有个零点
D. 不存在正实数，使成立

第II卷（非选择题）

三、填空题

13.  已知函数，则的单调递增区间是______．

14.  盲盒常指装有不同公仔手办，但消费者不能提前得知款式的盒装玩具，一般按系列贩售它的随机性和一些隐藏款吸引着很多年轻人重复购买小明购买了个冰墩墩单只盲盒，拆开后发现有个相同的“竹林春熙”以及“冰雪派对”、“青云出岫”、“如意东方”各个小明想将这个摆件排成一排，要求相同的摆件不相邻若相同摆件视为相同元素，则一共有        种摆放方法．

15.  已知抛物线：的焦点为，准线为，过的直线交于、两点，交于点，且，则        ．

16.  已知，对，，且，恒有，则实数的取值范围是______ ．

四、解答题

17.已知等差数列为递增数列，，且，，成等比数列．
求数列的通项公式；
令，求数列的前项和．

18.已知函数在处取得极小值．
求实数，的值；
若，，都有成立，求实数的取值范围．

19.已知如图甲所示，直角三角形中，，，，分别为，的中点，现在将沿着进行翻折，使得翻折后点在底面的投影在线段上，且与平面所成角为，为折叠后的中点，如图乙所示．

证明：平面；
求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

20.已知正项数列中，．
求的通项公式；
若，求的前项和．

21.已知椭圆过点，且离心率为．
求椭圆的标准方程；
若直线与椭圆相切，过点作直线的垂线，垂足为，为坐标原点，证明：为定值．

22.已知函数．
讨论的单调性；
当时，恒成立，求的取值范围；
设，，证明：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：设等差数列的公差为，
，
则，解得，
．
故选：．
根据已知条件，结合等差数列的前项和公式，推得，再结合等差数列的性质，即可求解．
本题主要考查等差数列的前项和公式，以及等差数列的性质，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为函数，所以，则，又，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
故选：．
根据导数的几何意义结合导数运算求解即可得切线方程．
本题主要考查了导数几何意义在切线方程求解中的应用，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：圆：，则圆心，半径，
设圆心到该直线的距离为，则，
，
故选：．
由题意得圆心，半径，利用点到直线的距离与圆的半径，半弦长满足勾股定理，即可得出答案．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查运算能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：每次抽奖中，总情况为种，
获奖的共有，，，这种，
，
设人中获奖的人数为，则，
．
故选：．
先求出抽一次获奖的概率，设人中获奖人数为，则，然后由二项分布的概率公式能求出结果．
本题考查概率的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：利润销售额成本，
种植万千克莲藕的利润单位：万元为，，
即，，
当时，，解得，
故，，
，
当时，，所以函数在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以时，函数取得最大值，即利润最大．
故选：．
推出利润的表达式，利用函数值，结合函数的导数，判断函数的单调性，转化求解函数的最值即可．
本题考查函数的实际应用，函数的导数的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：数列满足，则，且，
数列是以为首项，为公比的等比数列，则，即，
又，，转化为对恒成立，即，
又数列是递增数列，则当时，，即，
故实数的取值范围是．
故选：．
根据给定的递推公式，利用构造法求出数列的通项，再分离参数，借助数列单调性求解，即可得出答案．
本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查运算能力和逻辑推理能力，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：设双曲线的焦距为，则不妨取的一条渐近线为，
则直线的方程为，设垂足为，
则易知，，
因为，
所以由双曲线的定义知，
设线段的中点为，则，
所以，
所以在中，，
即，
化简整理得，
所以离心率为．
故选：．
设双曲线的焦距为，不妨取的一条渐近线为，进而取线段的中点为，结合双曲线的定义，求得，，，进而结合勾股定理建立关系得，再求离心率即可．
本题考查双曲线的几何性质，方程思想，化归转化思想，属中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为，所以，
若函数有两个极值点，，
则，所以，且，
所以，
令函数，
则在上恒成立，
故在上单调递增，则，
即的取值范围为，
故选：．
首先根据条件可得的取值范围和，表示出的函数解析式，利用导数研究函数的最值可得结果．
本题考查了利用导数研究函数的极值和最值问题，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，A正确，
，，B错误，
，，C正确，
，，D错误，
故选：．
根据导数的公式即可得到结论．
本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
 

10.【答案】 

【解析】解：因为，所以，故A错误；
因为，，
则，
所以，
所以，故B正确；
因为，
所以，
所以，故C正确；
，当且仅当时，等号成立，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合等比数列的性质，以及基本不等式的应用，即可求解．
本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
令得，故A不正确；
令得，因为，因此，故B正确；
对于，因为的展开式中二项式系数最大的项是第项，故C不正确；
对于，因为的展开式中，
所以，，因此，，，故D正确．
故选：．
利用赋值法以及二项式定理求出对应系数进行判断即可．
本题主要考查二项式定理的应用，利用赋值法进行求解是解决本题的关键，是基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于：函数函数的定义域为，
，，可得，舍去，
当时，，故函数在上单调递减；
当时，；在上单调递增，
所以是的极小值点，故A正确；
对于：直线平行的切线设为直线，
因为直线与函数的图像相切，设切点坐标为，
由，可得，解得，
所以，即切点为，
则切点到直线的距离为，
即函数图像上的点到直线的最短距离为，故B正确；
对于：因为，所以，
当时，，在上单调递增；
当时，，故函数在上单调递减；
则，所以函数存在两个零点，故C不正确，
对于：由选项C可知：，即恒成立，
所以存在正实数，使恒成立，故D错误．
故选：．
对于，求解函数的导数，判断函数的单调性，求解函数的极小点，判断选项的正误；
对于，求解与已知直线平行的曲线的切线方程，得到切点坐标，然后利用距离公式求解判断选项的正误即可；
对于，利用函数的导数求解函数的最小值与的大小关系，然后判断零点个数，判断选项的正误；
对于，结合选项C，判断说明即可．
本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值，最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
由，可得，即，
函数的单调递增区间是．
故答案为：．
求出的导函数，由导函数大于求得的范围可得函数的单调递增区间．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：记个相同的“竹林春熙”为，“冰雪派对”为，“青云出岫”为，“如意东方”为，
要求相同的摆件不相邻．采用插空法，
先摆放，，，一共有种摆放方式，再将个插空放入，有种摆放方式，
所以，一共有种摆放方式．
故答案为：．
利用插空法计算即可．
本题考查排列组合的简单应用，是中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，过点做垂直于准线，由抛物线定义得，焦点坐标，准线方程．
因为，设，，所以，
则直线方程为，
联立，消去得，解得，，，，
直线的斜率为，直线方程：，
所以，解得，
．
故答案为：．
画出图形，设出的方程，求解，的坐标，然后利用距离公式求解即可．
本题考查直线与抛物线的综合，抛物线性质的应用，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：对，，且，恒有，即，所以函数是增函数，
设，，则在上单调递增，故恒成立，
即，设，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，
故，即，则实数的取值范围是．
故答案为：．
根据已知构造函数，利用函数的单调性求解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：设递增的等差数列的公差为，首项为，
因为，，成等比数列，所以，即，
又，所以，
联立解得，
故．
由可知，，
所以数列的前项和． 

【解析】由，，成等比数列可得，与进行联立即可求解；
由得，利用裂项相消法即可．
本题主要考查等差数列与等比数列的综合，裂项求和法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：，
因为函数在处取得极小值，
所以，即，解得．
经检验，当，时，在处取到极小值，
所以，．
由可知，，则，
令，解得或，
而，所以当，时，，单调递增；
当时，，单调递减，
又，，，，
所以当时，，，
若，，都有成立，
只需，所以，
故实数的取值范围为． 

【解析】根据已知条件可得，求解即可；
问题等价于，利用导数法求得的最大值和最小值，从而可以求解．
本题主要考查利用导数研究函数的极值与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：证明：取的中点为，连接，，
因为，分别为，上的中点，
所以，，
又因为，分别为，的中点，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
因为，
所以，
又因为，，
所以平面，
因为面，
所以平面平面，
因为点在底面的投影在线段上，
所以平面，
所以．
与平面所成角的平面角为，，
过作，则，，两两互相垂直，
以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
根据题意可得为平面的一个法向量，
设为平面的一个法向量，则有，
可取，
设平面与平面所成锐二面角的大小为，
则，，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 

【解析】取的中点为，连接，，由中位线定理可得，，，，进而可得，由线面平行的判定定理可得答案．
根据题意可得，，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意可得为平面的一个法向量，设为平面的一个法向量，则有，解得，设平面与平面所成锐二面角的大小为，则，，即可得出答案．
本题考查直线与平面的位置关系，二面角，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

20.【答案】解：当时，，
解得，
由当时，，
得当时，，
两式相减得，即，
又，所以，
又适合上式，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以；
，
则，，
两式相减得，
所以． 

【解析】根据计算即可得解；
利用错位相减法求解即可．
本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：因为椭圆过点，所以，
又，，所以，得到，
所以椭圆的标准方程为；
证明：当直线斜率存在且不为时，设直线的方程为，
联立直线和椭圆的方程得，消去并整理，得，
因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以方程有两个相等的根，，
化简整理得，
因为直线与垂直，所以直线的方程为，
联立得，解得，，
所以，
把代入上式得，，所以，为定值；
当直线斜率为时，直线：，过点作直线的垂线，则垂线方程为，
此时或，，为定值；
当直线斜率不存在时，直线，过点作直线的垂线，则垂线方程为，
此时或，，为定值；
综上所述，，为定值． 

【解析】利用椭圆过点，得到，再由椭圆的离心率为，求出的值，从而求到椭圆的标准方程；
对直线的斜率为、斜率不存在及斜率存在且不为三种情况讨论，从而求出，得到结论．
本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
 

22.【答案】解：由题意可知的定义域为，，
令，则，，
当时，，在上恒成立，在上单调递减．
当时，，时，，时，，时，，
故在单调递减，在单调递增，在单调递减．
当时，，时，，时，，时，，
故在单调递减，在单调递增，在单调递减．
当时，恒成立，
故，所以，即，
由得，令，
则，
令，则，在单调递增，则，
即在恒成立，故在单调递增．
所以，故在恒成立．
由在单调递增，而，，
故实数的取值范围为．
证明：取时，，则，
所以，
因此，
则． 

【解析】对函数求导，分，和讨论导函数的正负，进而判断函数的单调性；
将不等式等价转化为，构造函数，利用导数判断函数的单调性，进而求解即可；
结合前面的解析，取时，则，利用不等式的放缩即可证明．
本题考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的恒成立问题，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．