奥数六年级下册秋季课程 第15讲《牛吃草问题》教案

 六年级                                              备课教员：××× 

第15讲    牛吃草问题

一、教学目标：

1. 经历牛吃草问题公式的推导过程。

2. 会分析牛吃草问题的类型，解决相关方法。

3. 会转换成牛吃草问题，找出其中的“牛”和“草”。

二、教学重点：

带领学生推导牛吃草问题的公式和解决方法。

三、教学难点：

转换成牛吃草问题，找出其中的“牛”和“草”。

四、教学准备：

PPT

五、教学过程：

第一课时（50分钟）

一、导入（5分)

师：同学们，我们先来看一个简单的题目。请位同学上来做下。

有一堆干草，10头牛吃15天，问如果是25头牛，可以吃几天？

（PPT出示)

生：10×15÷25=6（天）

师：解答得不错，有哪位同学知道这是几年级学的知识？

生：3年级。

师：对，那老师想问下你们，10头牛吃的草的总量和25头牛吃的草总量是一样

    多的吗？

生：是。

师：我们不知道每头牛吃的草的数量，为什么知道它们是一样多呢？

生：我们可以把每头牛吃的草假设为单位1。

师：不错，同学们已经熟练的运用单位1了。如果把这些牛放到在生长的草地里

    呢？25头牛吃6天，10头牛还是只能吃15天吗？

生：不是，因为草每天要生长。

师：那10头牛吃的草总量和25头牛吃的草总量还是一样多吗？谁更多呢？

生：不一样多，10头牛吃的草总量多。

师：不错，今天我们就来了解下牛吃草问题。

板书：

    牛吃草问题

二、探索发现授课（40分）

（一）例题一：（10分）

    一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周。那么这片草地可供21头牛吃几周？

（PPT出示)

师：同学们，看完题目，我们假设1头牛每周吃单位1的青草。那么6周里，

    27头牛吃了多少的草？

生：27×6

师：不错，那么23头牛呢？

生：23×9

师：我们把这两个积算出来，告诉老师它们是一样的吗？

生：不一样，27×6=162,23×9=207

师：怎么会出现不一样情况呢，它们每天都匀速长出青草的数量是一样的。

生：老师，它们的生长时间不一样，一个是6周，一个是9周。

师：原来的数量是一样的，每周生长的数量也是一样。所以9周比6周草的总

    数多的部分实际上是什么呢？

生：实际上就是这3周里面草生长的数量。

师：不错，那么我们就可以求出实际上每周长出的草的数量。

板书：

    （23×9-27×6）÷（9-6）=15

（PPT出示)

师：1头牛吃1个单位的草，那么每周长出来的草够多少头牛吃呢？

生：15头牛。

师：现在题目要求我们的是什么？

生：21头牛可以吃几周。

师：每周长出来的草够15头牛吃，那剩下的牛吃什么呢？

生：它们吃原来青草地有的草。

师：看来同学们离解出题目不远了。我们能求出原来有多少草吗？

生：能。

师：我们来请一位同学来写下怎么求的。

板书：

    原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数

    原来的草：27×6-15×6=72或23×9-15×9=72

（PPT出示)

师：不错，原来的草我们也知道了，那剩下的草够多余的牛吃多少天是不是很

    容易求出来了。

板书：

     吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）

     72÷（21-15）=12（周)

答：那么这片草地可供21头牛吃12周。

（PPT出示)

师：同学们，草是每天在匀速增长，所以时间过得越久，长出来的新草越多。

    对吗？

生：对。

师：那么我们可以知道，在数量增加的情况下，较多的天数×较少的牛的积总

    是大于较少的天数×较多的牛。

师：同学们从刚才的解题过程中发现了什么公式了吗？

板书：

草的生长速度＝（较少牛头数×较多天数－较多牛头数×较少天数）÷（较多天数－较少天数）

（PPT出示)

练习一：（5分）

    一片草地，每天都匀速长出青草。如果可供24头牛吃6天，20头牛吃10天吃完。那么，可供19头牛吃多少天？

（PPT出示)

分析：

    本题也是牛吃草问题公式基本运用，只要抓住新长出来的草数量和时间上的差别，就可以轻松地解决该类问题。

草的生长速度＝（较少牛头数×较多天数－较多牛头数×较少天数）÷（较多天数－较少天数）

（20×10-24×6）÷（10-6）=14

24×6-14×6=60

60÷（19-14）=12（天）

答：可供19头牛吃12天。

（PPT出示)

师：同学们，我们来猜个谜语，动动你的小脑子，第一个猜到奖励2个大拇指！

打一成语

（PPT出示）

师：同学们，天气好有新草在生长，那么天气不好的时候会出现什么情况呢？

生：草在减少。

师：对，我们一起来看下例题二。

（二）例题二：（10分）

    由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅长不大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？

(PPT出示）

师：同学们，本题的草就在固定的速度减少了。在例题1中，较长的时间新草

    生长的比较多，那么现在的情况呢？

生：原来的草减少的比较多。

师：对，所以现在情况是不是变成时间较多的天数×较少的牛头数的积小于较

    少的天数×较多的牛头数的积？

生：是的。

师：不错，它们有时间上的差别，数量上的差别，那我们从中就可以求出什么？

生：每天减少的草的数量。

师：对，我们先把每天一头牛吃草的数量做为1个单位。可以求出每天减少的

    草的数量了。

板书：

    每天减少的草：

（20×5-15×6）÷（6-5）=10

（PPT出示）

师：每天减少的草求出来了，哪位同学来说原来的草怎么求？

生：20×5+10×5=150

师：请问这位同学，为什么这里不是减去呢，上题中不是用减法的吗？

生：上题中草的数量是在增加的，这次是在减少的。所以吃掉的草还要加上减

    少的草才是原来的草。

师：分析得非常棒！我们在求原来草数量的时候，要特别分析清楚草是在增加

    还是减少的!

板书：

     原来的草：20×5+10×5=150

（PPT出示）

师：现在我们知道原来草的量，每天减少草的量。我们来看看要求的是什么？

生：可供多少头牛吃10天？

师：哎，同学们是不是发现了跟上一题求的不一样？如果草不减少，我们怎么

    求出牛的数量呢？

生：原来的草除以吃的天数。

师：不错。

板书：

    150÷10=15

（PPT出示）

师：显然这不是最后的答案，因为草每天在减少。每天减少的数量够几头牛吃？

生：10头。

师：不错，那么同学们仔细想想，每天减少了10头牛吃的草的数量，那就是10头牛没草吃了，还剩下多少头牛有草吃？

生：15-10=5头牛。

师：不错！那么最后的结果是

板书：

    15-10=5（头）

（PPT出示）

师：那同学们还有其它方法求出来吗？（天数和每天减少草的数量知道了，我

    们能求出什么呢？）

生：总共减少的草的数量。

师：不错，那么剩下草的数量是不是就是牛吃掉的草的数量？

生：是的。

师：那么我们也可以马上求出多少头牛了。

板书：

   （150-10×10）÷10=5（头）

答：可供5头牛吃10天。

（PPT出示）

练习二：（5分）

因天气渐冷，牧场上的草以固定的速度在减少。已知牧场上的草可供33头牛吃5天，或可供24头牛吃6天。照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天？

（PPT出示)

分析：

    本题是草数量在减少的情况，只要正确求出原来草的数量，题目就可以迎刃而解了。

每天减少的草：

（33×5-24×6）÷（6-5）=21

33×5+21×5=270

270÷10-21=6（头） 

答：这个牧场可供6头牛吃10天。

（PPT出示)

三、小结：（5分）

1. 运用公式求出每天增加或减少的草。

2. 分析草的情况，正确求出原来的草。

第二课时（50分钟）

一、导入（5分）

师：同学们，上节课中我们学习了牛吃草问题，想想在生活中，会出现总量在

    变化的情况吗？

生：会。

师：请同学来说说，你碰到了哪些总量在发生变化的情况呢？

生：喷泉泉水不断从自来水管里出来，水池里的水总量在变化。

师：嗯，不错，那我们碰到类似的问题，我们可以用牛吃草问题解决吗？

生：可以、不可以。

师：同学们只要能找出其中的“草和牛”，我们也可以用牛吃草问题转换的，

    下面跟老师一起来找找看。

二、探索发现授课（40分）

（一）例题三：（10分）

    自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级台阶，女孩每分钟走15级台阶，结果男孩用5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级台阶？

（PPT出示)

师：同学们，看完题目，老师想请位学生来讲讲解题第一步是什么？

生：我们先求出扶梯每分钟走的台阶。

师：非常棒！看来同学们已经能从前面几个例题中学会了如何解决类似问题了。

    那在这里我们也可以将这个题目当成牛吃草的题目来解决。

师：那么较多的牛对应的是什么呢？

生：男孩每分钟走的台阶。

师：不错，相对应的就是天数了。我们先来看下它们的乘积情况。

板书：

20×5=100

15×6=90

100＞90

（PPT出示)

师：同学们发现了吗？男孩子走过的台阶比女孩子多，男孩子走的时间短，女

    孩子走的时间长，对应牛吃草的问题里是例题1和例题2中哪种情况呢？

生：例题2

师：不错，这就好像例题2中，较多的天数×较少的牛的积小于较少的天数×

    较多的牛的积。

师：那么例题2中，草的情况是什么？

生：减少。

师：是的，那我们来想想这题中的“草”是在减少吗？

师：扶梯和孩子都是由下而上的，整个扶梯长度不变。是不是时间越长，自动

    上去的台阶就越多，孩子走的路程就越少？

生：是。

师：同学们，那么现在是不是跟例题2的情况有些相似呢？

生：是的。路程在减少。

师：明白了这一点，同学们离正确答案不远了。本题中所求的扶梯的台阶数对应例题2中的什么呢？

生：“原来的草”。

师：对，所以本题的答案是

板书：

   （20×5-15×6）÷（6-5）=10

    20×5+10×5=150（级）

答：该扶梯有150级台阶。

（PPT出示)

练习三：（5分）

    两个顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走。在20秒钟里，男孩可走27级台阶，女孩可走24级台阶，男孩走了2分钟到达另一端，女孩走了3分钟到达另一端，该扶梯共多少级台阶？

分析：

正确解题先分析本题“草”的情况，然后审清题意，本题给出的是20秒钟走的台阶，要进行转换。两个顽皮的孩子是逆着自动扶梯的，那么路程是在变长，“草是在增长的”，所以在求原来草的时候要减去“增长的草”。

板书：

   （24×3×3-27×3×2）÷（3-2）=54

    27×3×2-54×2=54（级）

答：该扶梯有54级。

（PPT出示)

师：今天老师带来了一个加法的速算技巧，我们先来做做看吧。

    68+86=    47+74=    58+85=

（PPT出示）

（二）例题四：（10分）

    一条船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果用12人舀水，3小时舀完。如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完。现在要想2小时舀完，需要多少人？

师：同学们，通过前面几个例题中，我们学会了怎样判断“草”是增长还是减

    少的情况了吗？

生：不会、学会了。

师：看来有些同学还不会，我们再来看看该题中“较多的天数×较少的牛”与

   “较少的天数×较多的牛”的大小关系。

板书：

3×12=36

10×5=50

50＞36

（PPT出示）

师：本题中时间越久，舀的水越多。那这题中“草”是什么情况？

生：增长。

师：是的，我们可以从两个积的大小可以看出草是增长还是减少的情况。

板书：

草增长：

较多的天数×较少的牛头数＞较少的天数×较多的牛头数

草减少：

较少的天数×较多的牛头数＞较多的天数×较少的牛头数

（PPT出示）

师：都知道了该题是“草”增长的情况，那么我们先求出每小时增长的量。

板书：

（10×5-12×3）÷（10-3）=2

（PPT出示）

师：在“草”增长的情况下，原来的“草”怎么求？

生：12×3-2×3=30

板书：

12×3-2×3=30

（PPT出示）

师：现在要2小时舀完，原来的水要多少人舀？

生：30÷2=15（人）

师：但是每小时都有新的水漏进去，这些水还要派些人去舀，要派多少人呢？

生：2个人。

师：说得正确。本题的结果是

板书：

30÷2+2=17（人）

答：想2小时舀完，需要17人。

（PPT出示）

练习四：（5分）

     有一水池，池底有泉水不断涌出。用10部抽水机20小时可以把水抽干，用15部相同的抽水机10小时可以把水抽干。那么用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？

分析：

本题也是“草”增长的情况，只要分析正确就可以轻松的解决问题。

板书：

    每小时出水量：

   （10×20-15×10）÷（20-10）=5

    原有水量：10×20-5×20=100

    100÷（25-5）=5(小时）

答：用25部这样的抽水机5小时可以把水抽干。

（PPT出示)

（二）例题五：（选讲）

    有三块草地，面积分别为5,6和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问第三块草地可供19头牛吃多少天？

师：同学们，我们先来分析下，同样厚的草地，原来的草中，2公顷的草地是1

    公顷的草地的草多少倍？

生：是2倍。

师：那它们的增长速度多少倍呢？

生：也是2倍。

师：当我们知道5公顷草地原有草的数量和增长速度，运用比的方法是不是能

    求出8公顷草地原有草的数量和增长速度？

生：是的。

师：但是我们现在都不知道它们的数值，怎么办呢？想想我们能不能把第二块草地进行分割呢？

生：可以。

师：是的。以每公顷草地计算，每公顷有12÷6=2头牛，它们一起吃了14天。

    那么第二块草地其中5公顷的牛吃草的情况是怎么样呢？

生：5公顷草地里，10头牛吃了14天。

师：同学们分析得非常棒，通过我们的努力，终于把两块草地变得一样大了。

所以5公顷草地新草的增长速度和原来的草数量是不是可以运用公式求出

来了。

板书：

    5公顷草地的增长速度：

   （10×14-11×10）÷（14-10）=7.5

    5公顷草地的原有数量：

    11×10-7.5×10=35

（PPT出示)

师：运用比的方法是不是可以求出8公顷草地的原有数量和增长速度？

生：是的。

师：知道了这2个量，我们就可以求出19头牛吃草的情况了。

板书：

     8公顷草地的增长速度：7.5×8÷5=12

     8公顷草地的原有数量：35×8÷5=56

     19头牛的吃草天数：56÷（19-12）=8（天）

答：第三块草地可供19头牛吃8天。

练习五：（选做）

    快、中、慢三车同时从A地出发，追赶一辆正在行驶的自行车，三车的速度分别是每小时24千米、20千米、19千米。快车追上自行车用了6小时，中车追上自行车用了10小时，慢车追上自行车用多少小时？

（PPT出示)

分析：

    本题是一个追及问题，可以通过追及公式和行程公式运用解决。我们也可以转换成牛吃草问题，把速度当成“牛”，行驶的自行车当成“增长的草”。

板书：

     自行车的速度：

    （20×10-24×6）÷（10-6）=14（千米/小时）

     原来相距的路程：

     24×6-14×6=60（千米）或20×10-14×10=60（千米）

     慢车追上的时间：

     60÷（19-14）=12（小时）

答：慢车追上自行车用12小时。

（PPT出示)

三、总结：（5分）

1. 运用乘积大小熟练分析出“草”的情况。

2. 运用“比”转换不同面积草地进行求解。

四、随堂练习：

1. 一片草地，每天都匀速长出青草，这些青草可供21头牛吃5周或供18头牛吃8

   周，那么这片草地可供15头牛吃几周？

   （18×8-21×5）÷（8-5）=13

   （21-13）×5÷（15-13）=20（周）

答：这片草地可供15头牛吃20周。

2. 某火车站在检票前若干分钟就开始排队，假设每分钟来的旅客人数一样多，

   若同时开放3个检票口，则40分钟检票队伍检票完毕；若同时开放4个检票口，

   则25分钟检票队伍检票完毕；若同时开放8个检票口，则多少分钟检票队伍

   检查完毕？

   （3×40-4×25）÷（40-25）=

   （3×40-×40）÷（8-）=10（分钟）

答：需要10分钟检查完毕。

3. 因天气渐冷，牧场上的草以固定的速度减少。已知牧场上的草可供12头牛吃

   9天，或可供10头牛吃10天。照此计算，这个牧场可供多少头牛吃12天？

  （12×9-10×10）÷（10－9）=8

  （12+8）×9÷12-8=7（头）

答：这个牧场可供7头牛吃12天。

4. 一个牧场上的青草每天都匀速生长，这片草地可供15头牛吃24天，或供20头

   牛吃14天。现有一群牛吃了6天后卖掉1头，余下的牛又吃了3天将草吃完。

   这群牛原有多少头？

   （15×24-20×14）÷（24-14）=8

   （15-8）×24=168

   （168+9×8+3×1）÷9=27（头）

答；牛原来有27头。

5. 有三块草地，面积分别是5，15，24亩。草地上的草一样厚，而且长得一样

   快。第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问

   第三块地可供多少头牛吃80天？

   一亩地草增长速度：

   (28÷15×45-10÷5×30)÷（45-30）=1.6

   一亩地原有草数量：

  （2-1.6）×30=12

   24亩:12×24÷80+1.6×24=42（头）

答：第三块地可供42头牛吃80天。

家庭作业

线上作业：第15讲

主管评价

主管评分

课后反思

（不少于60字）

整体效果

设计不足之处

设计优秀之处