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    第四章图形的相似——证明比例式或等积式的技巧 同步练习 北师大版数学九年级上册(无答案)

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    初中数学北师大版九年级上册第四章 图形的相似5 相似三角形判定定理的证明测试题

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    这是一份初中数学北师大版九年级上册第四章 图形的相似5 相似三角形判定定理的证明测试题,共9页。试卷主要包含了已知等内容,欢迎下载使用。
    “三点定型法”是证明线段等积式或比例式以及利用等积式、比例式求线段长时找相似三角形的最常用的方法,即设法找出等积式或比例式(或变化后的式子)中所包含的几个字母,看是否存在可由“三点”确定的两个三角形相似。通常通过“横看”“竖看”两种方法找相似三角形 ,横看:即看两比例前项、两比例后项是否分别在两个相似三角形中;竖看:即看比例式等号两边各自的前、后项是否分别在两个相似三角形中。
    技巧一:三点定型
    1.如图,在△ABC中,点D、E分别在AB、AC上,∠ADE=∠C,求证:AD•AB=AE•AC.
    技巧二:等线段代换
    2.如图,已知在△ABC中,点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点,且DE∥BF,EF∥BD,求证:=.
    技巧三:等比例代换
    3.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥CD,求证:.
    技巧四:等积代换
    4.如图,已知CE是Rt△ABC斜边AB上的高,在EC的延长线上任取一点P,连接AP,BG⊥AP垂足为G,交CE于D,
    求证:CE2=PE•DE.
    5.如图,在△ABC中,D是AB上一点,E是△ABC内一点,DE∥BC,过D作AC的平行线交CE的延长线于F,CF与AB交于P,求证:=.
    备注:上述技巧不仅用于证明等积式和比例式的题型,还可以灵活使用在其他题型中。
    课堂练习
    1.如图,已知△ABC是等边三角形,点D、B、C、E在同一条直线上,且∠DAE=120°,求证:BC2=CE•DB.
    2.已知,如图,在Rt△ABC中,CD是斜边上的中线,DE⊥AB交BC于点F,交AC的延长线于点E.
    求证:(1)△ADE∽△FDB;
    (2)CD2=DE•DF.
    3.已知:如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,BA•BD=BC•BE.
    (1)求证:△BDE∽△BCA;
    (2)如果AE=AC,求证:AC2=AD•AB.
    4.如图,点D、E分别在△ABC的边AC、AB上,延长DE、CB交于点F,且AE•AB=AD•AC.
    (1)求证:∠FEB=∠C;
    (2)连接AF,若=,求证:EF•AB=AC•FB.
    5.已知:如图,在△ABC中,点D、E分别在边BC、AC上,点F在DE的延长线上,AD=AF,AE•CE=DE•EF.
    (1)求证:△ADE∽△ACD;
    (2)如果AE•BD=EF•AF,求证:AB=AC.
    6.已知:如图,△ADE的顶点E在△ABC的边BC上,DE与AB相交于点F,AE2=AF•AB,∠DAF=∠EAC.
    (1)求证:△ADE∽△ACB;(2)求证:=.
    7.如图,M是平行四边形ABCD的对角线上的一点,射线AM与BC交于点F,与DC的延长线交于点H.
    (1)求证:AM2=MF•MH.
    (2)若BC2=BD•DM,求证:∠AMB=∠ADC.
    8.△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别在BC、AB、AC上,∠EDF=∠B.
    (1)如图1,求证:DE•CD=DF•BE;
    (2)如图2,若D为BC中点,连接EF.求证:ED平分∠BEF.
    9.如图,已知正方形ABCD,以AB为边在正方形外作等边△ABE,过点E作EF⊥AB与边AB、CD分别交于点F、点G,点O在线段EG上,且DO=CD.
    (1)求证:AE∥DO;
    (2)联结AO、DE,DE分别交AO、AB于点M、Q,求证:.
    10.如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,点E,F在线段BC上,点Q在线段AB上,且CF=BE,AE2=AQ•AB.
    求证:(1)∠CAE=∠BAF;
    (2)CF•FQ=AF•BQ.
    11.已知:如图,在矩形ABCD中,点E在边AD的延长线上,DE=DC,联结BE,分别交边DC、对角线AC于点F、G,AD=FD.
    (1)求证:AC⊥BE;(2)求证:=.
    12.已知:如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E、F分别在边AB、AD上,DE与CF相交于点G.CD2=CG•CF,∠AED=∠CFD.
    (1)求证:AB=CD;
    (2)延长AD至点M,联结CM,当CF=CM时,求证:EA•AB=AD•MD.
    13.如图,已知:△ABC和△ADE都是等边三角形,其中点D在边BC上,点F是AB边上一点,且BF=CD.
    (1)求证:DE∥CF;
    (2)联结DF,设AD、CF的交点为M,如果DF2=FM•FC,求证:DF∥AC.
    14.已知:如图,两个△DAB和△EBC中,DA=DB,EB=EC,∠ADB=∠BEC,且点A、B、C在一条直线上,联结AE、ED,AE与BD交于点F.
    (1)求证:;
    (2)如果BE2=BF•BD,求证:DF=BE.
    15.已知:如图,四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,E为对角线BD的中点,点F在边AD上,CF交BD于点G,CF∥AE,CF=BD.
    (1)求证:四边形AECF为菱形;
    (2)如果∠DCG=∠DEC,求证:AE2=AD•DC.
    16.如图,AB=9,AC=8,P为AB上一点,∠A=∠CPD=∠B,连接CD.
    (1)若AP=3,求BD的长;
    (2)若CP平分∠ACD,求证:PD2=CD•BD.
    17.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E为AO上一点,BF⊥BD交DE的延长线于点F,且EF=DE.
    (1)求证:四边形ABCD是菱形;
    (2)DF交AB于点G,若OD2=OE•OA,求证:DF•AG=AE•BD.
    18.如图,将矩形ABCD绕点B旋转,点A落到对角线AC上的点E处,点C、D分别落在点F、G处.
    (1)联结BG、CG,求证:四边形ABGC是平行四边形;
    (2)联结GE并延长交边AD于点H,求证:AB2=AD•AH.
    19.如图,平行四边形ABCD中,它的两条高DE、BF相交于点H,∠DBC=45°,BF与AD的延长线相交于点G,连接AH.
    (1)求证:BH=AB;
    (2)求证:AH•BG=AG•BD.

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