4_专题二22基本不等式及不等式的应用（习题+十年高考+检测）

2.2　基本不等式及不等式的应用

基础篇

考点一　基本不等式及其应用

1.(2022广东深圳外国语学校月考,6)在下列函数中,最小值为2的是 (　　)

A.y=x+

B.y=lg x+(1<x<10)

C.y=(x>1)

D.y=sin x+

答案　C　

2.(2022重庆西南大学附中月考)已知x,y>0,x+9y+xy=7,则3xy的最大值为 (　　)

A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4

答案　C　

3.(多选)(2023届山东潍坊五县联考,9)设a>0,b>0,a+b=1,则下列不等式中一定成立的是(　　)

A.ab≤

C.2a+2b≥2≥8

答案　ACD　

4.(多选)(2022沈阳二中月考)已知a>0,b>0,且ab=4,则 (　　)

A.≥4

C.log2≥1　　　　D.2a(a-b)>

答案　BC　

5.(多选)(2022新高考Ⅱ,12,5分)若x,y满足x2+y2-xy=1,则 (　　)

A.x+y≤1　　　　B.x+y≥-2

C.x2+y2≤2　　　　D.x2+y2≥1

答案　BC　

6.(2023届湖北摸底联考,14)若函数f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1)是偶函数,则的最小值为　　　　. 

答案　4

7.(2018天津,13,5分)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为　　　　. 

答案　

8.(2019天津理,13,5分)设x>0,y>0,x+2y=5,则的最小值为　　　　. 

答案　4

9.(2021浙江湖州中学月考)函数y=的最大值是　　　　. 

答案　2

考点二　应用基本不等式求解最值

考向一　配凑法求最值

1.(2023届辽宁鞍山质量监测,8)权方和不等式作为基本不等式的一个变化,经常应用于高中数学竞赛,主要用来处理分式不等式.其表述如下:设a,b,x,y>0,则,当且仅当时等号成立.根据权方和不等式可以比较容易得出,函数f(x)=的最小值为              (　　)

A.16　　　　B.25　　　　C.36　　　　D.49

答案　B　

2.(2022山东平邑一中开学考,6)实数a,b满足a>0,b>0,a+b=4,则的最小值是(　　)

A.4　　　　B.6　　　　C.

答案　D　

3.(2023届福建龙岩一中月考,15)已知正实数a,b满足ab+a+b=3,则2a+b的最小值为　　　　. 

答案　4-3

4.(2022天津南开中学模拟,13)若实数x,y满足x>y>0,且xy=4,则的最大值为　　　　. 

答案　

5.(2022湖南湘潭三模,14)已知正数a,b满足a+b=5,则的最小值为　　　　. 

答案　

考向二　常数代换法求最值

1.(2022河北邢台入学考,7)已知a>0,b>0,且a+b=2,则的最小值是 (　　)

A.1　　　　B.2　　　　C.

答案　C　

2.(2022辽宁六校联考,7)已知定义在R上的偶函数f(x)=|x-m+1|-2,若正实数a、b满足f(a)+f(2b)=m,则的最小值为              (　　)

A.

答案　B　

3.(多选)(2021山东潍坊四中检测,10)已知a>1,b>0,且=1,则下列命题正确的是(　　)

A.a>2　　　　

B.ab-b的最小值为16

C.a+b的最小值为9　　　　

D.的最小值为2

答案　ABD　

4.(2021天津二模,14)已知正实数x,y满足x+y=+6,则x+y的最小值是　　　　. 

答案　8

5.(2020天津,14,5分)已知a>0,b>0,且ab=1,则的最小值为　　　　. 

答案　4

考向三　两次及以上使用基本不等式求最值

1.(2022河北邢台“五岳联盟”10月联考,7)函数f(x)=4x+的最小值为 (　　)

A.2

答案　C　

2.(多选)(2020新高考Ⅰ,11,5分)已知a>0,b>0,且a+b=1,则 (　　)

A.a2+b2≥

C.log2a+log2b≥-2　　　　D.

答案　ABD　

3.(2021天津,13,5分)若a>0,b>0,则+b的最小值为　　　　. 

答案　2

综合篇

考法　不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题的解题策略

考向一　恒成立与能成立共存问题

　1.(多选)(2022湖南衡阳八中模拟,11)已知函数f(x)=-x-1,x∈[-2,2],g(x)=x2-2x,x∈[-1,2],下列结论正确的是              (　　)

A.∀x∈[-2,2],f(x)>a恒成立,则实数a的取值范围是a<-3

B.∃x∈[-2,2], f(x)>a,则实数a的取值范围是a<1

C.∃x∈[-1,2],g(x)=a,则实数a的取值范围是-1≤a≤3

D.∀x∈[-2,2],∃t∈[-1,2],f(x)=g(t)

答案　ABC　

2.(2022重庆巴南月考,14)已知函数f(x)=x+,g(x)=2x+a,若∀x1∈,∃x2∈[2,3],使得f(x1)≤g(x2),则实数a的取值范围是　　　　. 

答案　

考向二　函数最值与不等式结合问题

1.(2022重庆名校联盟联考,5)已知x>0、y>0,且=1,若2x+y>m2+8m恒成立,则实数m的取值范围为              (　　)

A.(-1,9)　　　　B.(-9,1)

C.[-9,1]　　　　D.(-∞,-1)∪(9,+∞)

答案　B　

2.(多选)(2023届重庆南开中学质检,10)已知正数x,y满足x+2y=4,若存在正数x,y使得成立,则实数t的可能取值是(　　)

A.2　　　　B.4　　　　C.6　　　　D.8

答案　CD　

3.(2021广东佛山南海石门中学模拟,5)已知x,y∈(0,+∞),且x+y=1,若不等式x2+y2+xy>m恒成立,则实数m的取值范围是(　　)

A.

B.

C.(-2,1)

D.∪(1,+∞)

答案　A　

4.(2021浙江绍兴模拟,4)若关于x的不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解,则实数a的取值范围为              (　　)

A.

C.(1,+∞)　　　　D.

答案　A　

5.(2021湖南师大附中月考,13)已知函数f(x)=x2+4,g(x)=ax,当x∈[1,4]时,f(x)的图象总在g(x)图象的上方,则a的取值范围为　　　　. 

答案　(-∞,4)

6.(2021广东云浮月考,15)已知f(x)=x2-2x+4,g(x)=ax(a>0且a≠1),若对任意的x1∈[1,2],都存在x2∈[-1,2],使得f(x1)<g(x2)成立,则实数a的取值范围是　　　　　　. 

答案　∪(2,+∞)

专题综合检测

一、单项选择题

1.(2022石家庄二中月考,9)下列命题为真命题的是 (　　)

A.若a>b>0,则ac2>bc2

B.若a>b,则a2>b2

C.若a<b<0,则a2<ab<b2

D.若a<b<0,则

答案　D　

2.(2022辽宁丹东五校联考,9)设<0,则 (　　)

A.a2>b2　　　　B.ab>b2

C.a+b≥2

答案　D　

3.(2022河北曲阳一中月考,4)已知函数f(x)=log2,若f(x1)=f(x2)(其中x1≠x2),则的最小值为              (　　)

A.　　　　

C.2　　　　D.4

答案　B　

4.(2022石家庄二中月考,6)若正数x,y满足x+3y=5xy,当3x+4y取得最小值时,x+4y的值为              (　　)

A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5

答案　B　

5.(2022重庆涪陵实验中学期中,6)已知x>0,y>-1,且 =3,则x+y的最小值为 (　　)

A.4　　　　B.3　　　　C.2　　　　D.1

答案　C　

二、多项选择题

6.(2022广州执信中学月考,11)设a,b∈R,则下列结论正确的是 (　　)

A.若a<b<0,则(a-1)2<(b-1)2

B.若a+b=2,则2a+2b≥4

C.若2a-2b>2-a-2-b,则a>b

D.若a>b>0,且a+b=1,则ab>ba

答案　BCD　

7.(2022辽宁六校协作体期中,10)下列说法正确的是 (　　)

A.当xÎ(0,1)时,x

B.sin2x+的最小值为2

C.

D.若a>1,b>,则≤1

答案　ACD　

8.(2022辽宁省部分中学期末,11)三元均值不等式:“当a、b、c均为正实数时,,即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,当且仅当a=b=c时等号成立.”利用上面结论,判断下列不等式成立的有              (　　)

A.若x>0,则x2+≥3

B.若0<x<1,则x2(1-x)≤

C.若x>0,则2x+≥3

D.若0<x<1,则x(1-x)2≤

答案　AC　

三、填空题

9.(2022重庆七中期中,13)正数a,b满足=1,若不等式a+b≥m对任意实数m恒成立,则实数m的最大值是　　　　. 

答案　16

10.(2022沈阳三十一中月考,15)已知a>b,关于x的不等式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立,又存在实数x0,使得a+2x0+b=0成立,则的最小值为　. 

答案　2

11.(2022广东深圳实验学校月考,14)已知log2(a+4b)=2log2(2),则a+b的最小值是　　　　. 

答案　

12.(2022广东阳春一中月考,16)已知不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|2<x<3},则=　　　　,b+c+的最小值为　　　　. 

答案　-　8

13.(2022河北曲阳一中月考,14)已知a,b∈R,且a>>0,则a2+的最小值是　　　　. 

答案　2