新高考数学二轮复习课件专题二 2.2 基本不等式及不等式的应用（含解析）

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考点　基本不等式及其应用1.基本不等式
其中 为正数a,b的算术平均数, 为正数a,b的几何平均数,基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2.几个重要不等式1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.2)a+b≥2 (a>0,b>0),当且仅当a=b时取等号.
【注意】 1)求最值时要注意三点:“一正”“二定”“三相等”.所谓 “一正”是指两数均为正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和 或积为定值,“三相等”是指x,y相等时等号成立.2)连续使用基本不等式时,等号要同时成立.
考法一　应用基本不等式求解最值1.利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值,主 要有两种思路:1)对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解.2)对条件变形,进行“1”的代换求目标函数最值.2.有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通过添 项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式.
【提醒】 若可用基本不等式,但等号不成立,则一般利用函数单调性求解.
例1 (1)(2020广东珠海期末,9)已知x>0,y>0,z>0,且 + =1,则x+y+z的最小值为     (　    )A.8　    B.9　    C.12　    D.16(2)(2021浙江绍兴期末,13)已知x>0,y>0且 + =1,则x+y的最小值为　　　    .
考法二　不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题的解题策略1.恒成立问题:若f(x)在区间D上存在最小值,则不等式f(x)>A在区间D上恒 成立⇔f(x)min>A(x∈D);若f(x)在区间D上存在最大值,则不等式f(x)A成立⇔f(x)max>A(x∈D);若f(x)在区间D上存在最小值,则在区间D上存在实数x使不等式f(x)A恰在区间D上成立⇔f(x)>A的解集为D;不等式 f(x)例2 (1)若两个正数x,满足 + =1,且不等式x+ 应用　基本不等式在实际问题中的应用应用基本不等式解决实际问题的步骤1)理解题意,设出变量,建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的 最值问题;2)在定义域内,利用基本不等式求出函数的最值;3)还原为实际问题,写出答案.
例 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处 理池,处理池中建一条与长边垂直的分隔墙壁,池的深度一定,池的四周墙 壁造价为每米400元,分隔墙壁的造价为每米100元,池底造价为每平方米 60元(池壁厚度忽略不计).(1)污水处理池的长设计为多少米时,可使总造价最低?(2)如果受地形限制,污水处理池的长、宽都不能超过14.5米,那么此时污 水处理池的长设计为多少米时,可使总造价最低?