山西省运城市2023-2024学年高三数学上学期摸底调研测试试题（Word版附解析）

运城市2023-2024学年高三摸底调研测试

数学试题

2023.9

本试题满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上.

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓

名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.

2．答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.

3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一-项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据解一元二次不等式的解法，结合集合并集的定义进行运算即可.

【详解】由，而，

所以.

故选：B

2. 若复数z满足，则（    ）

A.  B. 1 C.  D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数除法运算法则和减法运算法则，给合复数模的运算公式进行运算即可.

【详解】，

因此，

故选：A

3. 已知两条不同的直线，和平面满足，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面垂直的性质进行判断即可．

【详解】解：若，则由，可得，充分性成立；反之，若，则由，可得，必要性成立．所以“”是“”的充要条件．

故选：C．

4. 甲单位有3名男性志愿者，2名女性志愿者；乙单位有4名男性志愿者，1名女性志愿者，从两个单位任抽一个单位，然后从所抽到单位中任取2名志愿者，则取到两名男性志愿者的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】运用古典概型运算公式进行求解即可.

【详解】从所抽到的单位中任取2名志愿者，则取到两名男性志愿者的概率为：

，

故选：D

5. 已知，则（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】根据对数运算律计算即可.

【详解】

故选：A.
 

6. 在数列中，如果存在非零的常数T，使得对于任意正整数n均成立，那么就称数列为周期数列，其中T叫做数列的周期．已知数列满足，若，（且），当数列的周期为3时，则数列的前2024项的和为（    ）

A. 676 B. 675 C. 1350 D. 1349

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，求得，得到，求得，进而得到，结合周期性，即可求解.

【详解】因为且，满足

所以，

因为数列的周期为，可得，所以，

所以，所以，

同理可得，所以， ，

所以.

故选：C.

7. 设，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点E，与双曲线右支交于点P，且满足，则双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C. 2 D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题意，再结合平面向量的性质与双曲线的定义可得，，再根据勾股定理列式求解决即可.

【详解】∵为圆上的点，，

，∴是的中点，

又是的中点，，且，

又，，

是圆的切线，，

又，，

故，离心率.

故选：D

8. 已知，，，则（    ）

A  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据二项式展开式，得到，设，利用导数得到在上单调递增，根据，得到，令，得到，即可求解.

【详解】由，

设，可得恒成立，函数在上单调递增，

所以，所以在在上恒成立，

所以，所以，

设，可得，

所以，所以

设，

可得，

所以在上单调递增，所以，可得，即，

所以.

故选：B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知函数的图像为曲线C，下列说法正确的有（    ）

A. ，都有两个极值点

B. ，都有零点

C. ，曲线C都有对称中心

D. ，使得曲线C有对称轴

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据函数极值的定义、零点的定义，结合函数的对称性的性质逐一判断即可.

【详解】A：，

当时，单调递增，当时，单调递减，

当时，单调递增，因此是函数的极大值点，是函数的极小值点，因此本选项正确；

B：当时，，当时，，而函数是连续不断的曲线，所以一定存在，使得，因此本选项正确；

C：假设曲线C的对称中心为，则有化简，得，因为，

所以有，

因此给定一个实数，一定存在唯一的一个实数与之对应，因此假设成立，所以本选项说法正确；

D：由上可知当时，，当时，，所以该函数不可能是关于直线对称，因此本选项说法不正确，

故选：ABC

10. 如图，正方体的棱长为2，若点M在线段上运动，则下列结论正确的是（    ）

A. 直线平面

B. 三棱锥与三棱锥的体积之和为

C. 的周长的最小值为

D. 当点M是的中点时，CM与平面所成角最大

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据面面平行、线面平行的判定定理和性质，结合三棱锥的体积公式、线面角的定义、正方体展开图逐一判断即可.

【详解】A： 如下图所示：

因为是正方体，

所以，而平面，平面，

所以平面，

同理由是正方体可得，同理可证明平面，

而平面，

所以平面平面，

而平面，所以直线平面，因此本选项正确；

B：如下图所示：过作，交、于、，

过作，交于，

因为是正方形，所以可得，

，因此本选项正确；

C：将平面与平面展成同一平面，如下图所示：

当三点共线时，最小，作，交延长线于，

则，，

，

所以的周长的最小值为，因此本选项不正确；

D：当点M是的中点时，，

因为平面，平面，

所以，而平面，

所以平面，CM与平面所成角为，因此本选项正确，

故选：ABD

11. 已知函数，若关于x的方程有四个不等实根、、、（），则下列结论正确的是（    ）

A.

B.

C.

D. 的最小值为

【答案】BC

【解析】

【分析】画图象判断m和的取值范围，可得A错误，B正确；将方程变形，用m表示、、、，代入原式化简，利用导数求函数最值判断C正确，利用基本不等式计算判断D错误.

【详解】 

如图，由函数的图像可知，，A错误；

当时，，当时，，故，B正确；

，则，，

所以

令，则，原式，

，显然在时，，

即y在上单调递增，，，

即，C正确；

由图像可知，，则，，

所以，

当且仅当，即时取得等号，D错误.

故选：BC.

12. 已知函数的定义域为，其导函数为，且，，则（    ）

A.  B.

C. 在上是增函数 D. 存在最小值

【答案】ABC

【解析】

【分析】AB选项，构造，求导得到其单调性，从而判断AB选项，CD选项，构造，二次求导，得到其单调性，判断CD.

详解】设，则，

当时，，当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

A选项，因为，所以，即，A正确；

B选项，因为，所以，即，B正确；

C选项，，则，

令，则，

当时，，当时，，

故在上单调递减，在单调递增，

又，

故恒成立，

所以在上恒成立，故在上是增函数，C正确；

D选项，由C选项可知，函数在上单调递增，故无最小值.

故选：ABC

【点睛】利用函数与导函数的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路：

比如：若，则构造，

若，则构造，

若，则构造，

若，则构造.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知向量， 满足： =，⊥，则 =_______

【答案】##

【解析】

【分析】由向量垂直即可得数量积为0,代入模长即可求解.

【详解】由⊥可得，

故答案为：

14. 已知，则______________．

【答案】24

【解析】

【分析】利用赋值法进行求解即可.

【详解】在中，

令，得①，

令，得②，

令，得

①②，得，

故答案为：

15. 已知函数，现将该函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，且在区间上单调递增，则的取值范围为______________．

【答案】

【解析】

【分析】根据给定条件，化简函数，结合图象平移求出函数，进而求出单调递增区间，再列出不等式求解作答.

【详解】函数，

因此，，

由，解得，

即函数在上单调递增，

于是，即，

解得，由，得，而，即或，

当时，，当时，，

所以的取值范围为.

故答案为：

16. 已知抛物线C：的焦点F到其准线的距离为2，圆M；，过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则的最小值为______________．

【答案】12

【解析】

【分析】根据已知条件先求出抛物线的方程，然后将问题转化为计算“”的最小值，通过抛物线的焦半径公式将表示为坐标的形式，采用直线与抛物线联立的思想，根据韦达定理和基本不等式求解出最小值.

【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以，

所以抛物线方程为，

如下图，，

因为，

设，所以，

所以，

因为直线水平时显然不合题意，故可设，

因为直线所过定点在抛物线内部，则直线必然与抛物线有两交点，同样与圆也有两交点，

联立，，

所以，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为12.

故答案为：12.

【点睛】结论点睛：本题考查圆与抛物线的综合应用，其中涉及抛物线的焦半径公式的运用.常见抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）

（1）焦点轴正半轴，抛物线上任意一点，则；

（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；

（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；

（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 在等比数列中，，，，成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题意设等比数列的公比为，根据题意，列出方程组求得，进而得到数列的通项公式；

（2）由（1），得到，利用乘公比错位相减法求和，即可求解.

【小问1详解】

解：由题意设等比数列的公比为，

因为，且，，成等差数列，可得，

则，即，解得，

所以数列的通项公式为.

【小问2详解】

解：由（1）可得，

则，

，

两式相减，可得

所以.

18. 在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答．

在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，              ．

（1）求角A；

（2）若，求周长的范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）正弦定理结合余弦定理求解即可；

（2）先根据正弦定理把边转化为角表示，结合辅助角公式计算值域即可得出周长范围.

【小问1详解】

选择①：因为，

由余弦定理可得，

所以结合正弦定理可得．

因为，则，

所以，即，

因为，所以；

选择②：因为，

由正弦定理得，

由余弦定理得．

因为，所以；

【小问2详解】

由（1）知，又已知，由正弦定理得：

∵,

∴，,

∴
 

,

∵,

∴,

∴,

∴．

19. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩.现利用分层随机抽样的方法从样本口罩中随机抽取8个口罩，再从抽取的8个口罩中随机抽取3个，记其中一级口罩的个数为，求的分布列及均值.

（2）甲计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加店的一个订单“秒杀”抢购，乙计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加店的一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单均由个该型号口罩构成.假定甲､乙两人在，两店订单“秒杀”成功的概率均为，记甲､乙两人抢购成功的订单总数量､口罩总数量分别为，.

①求的分布列及均值；

②求的均值取最大值时，正整数的值.

【答案】（1）分布列答案见解析，；（2）①分布列答案见解析，；②的值为2.

【解析】

【分析】（1）可得的可能取值为0，1，2，求出取不同值的概率，即可得出分布列，求出期望；

（2）①可得的可能取值为0，1，2，求出取不同值的概率，即可得出分布列；

②利用基本不等式可求出.

【详解】（1）结合频率分布直方图，得用分层随机抽样抽取8个口罩，其中二级､一级口罩的个数分别为6，2，所以的可能取值为0，1，2.

，，，

所以的分布列为

所以.

（2）①由题意，知的可能取值为0，1，2.

，，

，所以的分布列为

所以.

因为，所以，当且仅当时取等号.

所以取最大值时，的值为2.

20. 如图，在四棱锥中，底面，，，，直线与平面所成的角为.

（1）证明：；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）作于点，于点，通过余弦定理角解得，再通过勾股数得，再利用线面垂直的性质得到，从而得到平面，再利用线面垂直的性质即可证明结果；

（2）建立空间直角坐标，利用向量法即可求出二面角的大小.

【小问1详解】

作于点，于点，

因为，，则，，

所以，又，所以，

由余弦定理可知，得到，所以，

所以，又底面，面，

所以，又，面，所以平面，

又面,所以.

  【小问2详解】

以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图坐标系

因为平面，所以与平面所成的角就是

所以，为等腰直角三角形，所以

，，，，

设平面的法向量，则则由，得到，

取，得，

又易知，平面的一个法向量，

，由图知二面角为锐角

所以二面角的余弦值为.

21. 已知函数．

（1）当时，求证：；

（2）若对恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由得到，然后作差，构造函数，用导数法证明.

（2）将对成立，转化对成立，令，用导数法求得其最大值即可.

【详解】（1）时，，

令，

令，则，∴在上是增函数，

∴，∴在上是增函数，

∴，

∴时，，

∴；

（2）∵对成立，

∴对成立，

令，则，

令，则，

∵，∴，∴，

∴在上是减函数，∴，∴在上是减函数，

∴，

∴，∴，

即．

【点睛】方法点睛：求解不等式恒成立时参数的取值范围问题，一般常用分离参数的方法，但是如果分离参数后对应的函数不便于求解其最值，或者求解其函数最值繁琐时，可采用直接构造函数的方法求解．

22. 已知椭圆，离心率，且过点，

（1）求椭圆方程；

（2）以为直角顶点，边与椭圆交于两点，求面积的最大值．

【答案】（1）；   

（2）．

【解析】

【分析】（1）根据离心率及所给的点可得方程，解之即得椭圆方程；

（2）不妨设方程，与椭圆方程联立，求出两点的坐标，结合弦长公式及三角形面积公式得到关于的函数，然后利用换元法及基本不等式求函数的最值．

【小问1详解】

由，，得，

把点带入椭圆方程可得，解得，所以，

所以椭圆方程为：；

【小问2详解】

由题可知，不妨设的方程，则的方程为，

由，得，

所以，

用代入，可得

从而有，

于是，

令，有，

当且仅当时，面积的最大值为．