山西省运城市2023_2024学年高三数学上学期摸底调研测试试题含解析

这是一份山西省运城市2023_2024学年高三数学上学期摸底调研测试试题含解析，共22页。试卷主要包含了保持卡面清洁，不折叠，不破损.等内容，欢迎下载使用。

本试题满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上.
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓
名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.
2．答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一-项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据解一元二次不等式的解法，结合集合并集的定义进行运算即可.
【详解】由，而，
所以.
故选：B
2. 若复数z满足，则（）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数除法运算法则和减法运算法则，给合复数模的运算公式进行运算即可.
【详解】，
因此，
故选：A
3. 已知两条不同的直线，和平面满足，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面垂直的性质进行判断即可．
【详解】解：若，则由，可得，充分性成立；反之，若，则由，可得，必要性成立．所以“”是“”的充要条件．
故选：C．
4. 甲单位有3名男性志愿者，2名女性志愿者；乙单位有4名男性志愿者，1名女性志愿者，从两个单位任抽一个单位，然后从所抽到单位中任取2名志愿者，则取到两名男性志愿者的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】运用古典概型运算公式进行求解即可.
【详解】从所抽到的单位中任取2名志愿者，则取到两名男性志愿者的概率为：
，
故选：D
5. 已知，则（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数运算律计算即可.
【详解】
故选：A.
6. 在数列中，如果存在非零的常数T，使得对于任意正整数n均成立，那么就称数列为周期数列，其中T叫做数列的周期．已知数列满足，若，（且），当数列的周期为3时，则数列的前2024项的和为（）
A. 676B. 675C. 1350D. 1349
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，求得，得到，求得，进而得到，结合周期性，即可求解.
【详解】因为且，满足
所以，
因为数列的周期为，可得，所以，
所以，所以，
同理可得，所以，，
所以.
故选：C.
7. 设，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点E，与双曲线右支交于点P，且满足，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意，再结合平面向量的性质与双曲线的定义可得，，再根据勾股定理列式求解决即可.
【详解】∵为圆上的点，，
，∴是的中点，
又是的中点，，且，
又，，
是圆的切线，，
又，，
故，离心率.

故选：D
8. 已知，，，则（）
AB.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二项式展开式，得到，设，利用导数得到在上单调递增，根据，得到，令，得到，即可求解.
【详解】由，
设，可得恒成立，函数在上单调递增，
所以，所以在在上恒成立，
所以，所以，
设，可得，
所以，所以
设，
可得，
所以在上单调递增，所以，可得，即，
所以.
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知函数的图像为曲线C，下列说法正确的有（）
A. ，都有两个极值点
B. ，都有零点
C. ，曲线C都有对称中心
D. ，使得曲线C有对称轴
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据函数极值的定义、零点的定义，结合函数的对称性的性质逐一判断即可.
【详解】A：，
当时，单调递增，当时，单调递减，
当时，单调递增，因此是函数的极大值点，是函数的极小值点，因此本选项正确；
B：当时，，当时，，而函数是连续不断的曲线，所以一定存在，使得，因此本选项正确；
C：假设曲线C的对称中心为，则有化简，得，因为，
所以有，
因此给定一个实数，一定存在唯一的一个实数与之对应，因此假设成立，所以本选项说法正确；
D：由上可知当时，，当时，，所以该函数不可能是关于直线对称，因此本选项说法不正确，
故选：ABC
10. 如图，正方体的棱长为2，若点M在线段上运动，则下列结论正确的是（）
A. 直线平面
B. 三棱锥与三棱锥的体积之和为
C. 的周长的最小值为
D. 当点M是的中点时，CM与平面所成角最大
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据面面平行、线面平行的判定定理和性质，结合三棱锥的体积公式、线面角的定义、正方体展开图逐一判断即可.
【详解】A：如下图所示：
因为是正方体，
所以，而平面，平面，
所以平面，
同理由是正方体可得，同理可证明平面，
而平面，
所以平面平面，
而平面，所以直线平面，因此本选项正确；
B：如下图所示：过作，交、于、，
过作，交于，
因为是正方形，所以可得，
，因此本选项正确；
C：将平面与平面展成同一平面，如下图所示：
当三点共线时，最小，作，交延长线于，
则，，
，
所以的周长的最小值为，因此本选项不正确；
D：当点M是的中点时，，
因为平面，平面，
所以，而平面，
所以平面，CM与平面所成角为，因此本选项正确，
故选：ABD
11. 已知函数，若关于x的方程有四个不等实根、、、（），则下列结论正确的是（）
A.
B.
C.
D. 的最小值为
【答案】BC
【解析】
【分析】画图象判断m和的取值范围，可得A错误，B正确；将方程变形，用m表示、、、，代入原式化简，利用导数求函数最值判断C正确，利用基本不等式计算判断D错误.
【详解】
如图，由函数的图像可知，，A错误；
当时，，当时，，故，B正确；
，则，，
所以
令，则，原式，
，显然在时，，
即y在上单调递增，，，
即，C正确；
由图像可知，，则，，
所以，
当且仅当，即时取得等号，D错误.
故选：BC.
12. 已知函数的定义域为，其导函数为，且，，则（）
A. B.
C. 在上是增函数D. 存在最小值
【答案】ABC
【解析】
【分析】AB选项，构造，求导得到其单调性，从而判断AB选项，CD选项，构造，二次求导，得到其单调性，判断CD.
详解】设，则，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
A选项，因为，所以，即，A正确；
B选项，因为，所以，即，B正确；
C选项，，则，
令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在单调递增，
又，
故恒成立，
所以在上恒成立，故在上是增函数，C正确；
D选项，由C选项可知，函数在上单调递增，故无最小值.
故选：ABC
【点睛】利用函数与导函数的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路：
比如：若，则构造，
若，则构造，
若，则构造，
若，则构造.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量，满足： =，⊥，则=_______
【答案】##
【解析】
【分析】由向量垂直即可得数量积为0,代入模长即可求解.
【详解】由⊥可得，
故答案为：
14. 已知，则______________．
【答案】24
【解析】
【分析】利用赋值法进行求解即可.
【详解】在中，
令，得①，
令，得②，
令，得
①②，得，
故答案为：
15. 已知函数，现将该函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，且在区间上单调递增，则的取值范围为______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，化简函数，结合图象平移求出函数，进而求出单调递增区间，再列出不等式求解作答.
【详解】函数，
因此，，
由，解得，
即函数在上单调递增，
于是，即，
解得，由，得，而，即或，
当时，，当时，，
所以的取值范围为.
故答案为：
16. 已知抛物线C：的焦点F到其准线的距离为2，圆M；，过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则的最小值为______________．
【答案】12
【解析】
【分析】根据已知条件先求出抛物线的方程，然后将问题转化为计算“”的最小值，通过抛物线的焦半径公式将表示为坐标的形式，采用直线与抛物线联立的思想，根据韦达定理和基本不等式求解出最小值.
【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以，
所以抛物线方程为，
如下图，，
因为，
设，所以，
所以，
因为直线水平时显然不合题意，故可设，
因为直线所过定点在抛物线内部，则直线必然与抛物线有两交点，同样与圆也有两交点，
联立，，
所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为12.
故答案为：12.
【点睛】结论点睛：本题考查圆与抛物线的综合应用，其中涉及抛物线的焦半径公式的运用.常见抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）
（1）焦点轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；
（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在等比数列中，，，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意设等比数列的公比为，根据题意，列出方程组求得，进而得到数列的通项公式；
（2）由（1），得到，利用乘公比错位相减法求和，即可求解.
【小问1详解】
解：由题意设等比数列的公比为，
因为，且，，成等差数列，可得，
则，即，解得，
所以数列的通项公式为.
【小问2详解】
解：由（1）可得，
则，
，
两式相减，可得
所以.
18. 在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答．
在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．
（1）求角A；
（2）若，求周长的范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）正弦定理结合余弦定理求解即可；
（2）先根据正弦定理把边转化为角表示，结合辅助角公式计算值域即可得出周长范围.
【小问1详解】
选择①：因为，
由余弦定理可得，
所以结合正弦定理可得．
因为，则，
所以，即，
因为，所以；
选择②：因为，
由正弦定理得，
由余弦定理得．
因为，所以；
【小问2详解】
由（1）知，又已知，由正弦定理得：
∵,
∴，,
∴
,
∵,
∴,
∴,
∴．
19. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩.现利用分层随机抽样的方法从样本口罩中随机抽取8个口罩，再从抽取的8个口罩中随机抽取3个，记其中一级口罩的个数为，求的分布列及均值.
（2）甲计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加店的一个订单“秒杀”抢购，乙计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加店的一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单均由个该型号口罩构成.假定甲､乙两人在，两店订单“秒杀”成功的概率均为，记甲､乙两人抢购成功的订单总数量､口罩总数量分别为，.
①求的分布列及均值；
②求的均值取最大值时，正整数的值.
【答案】（1）分布列答案见解析，；（2）①分布列答案见解析，；②的值为2.
【解析】
【分析】（1）可得的可能取值为0，1，2，求出取不同值的概率，即可得出分布列，求出期望；
（2）①可得的可能取值为0，1，2，求出取不同值的概率，即可得出分布列；
②利用基本不等式可求出.
【详解】（1）结合频率分布直方图，得用分层随机抽样抽取8个口罩，其中二级､一级口罩的个数分别为6，2，所以的可能取值为0，1，2.
，，，
所以的分布列为
所以.
（2）①由题意，知的可能取值为0，1，2.
，，
，所以的分布列为
所以.
因为，所以，当且仅当时取等号.
所以取最大值时，的值为2.
20. 如图，在四棱锥中，底面，，，，直线与平面所成的角为.
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）作于点，于点，通过余弦定理角解得，再通过勾股数得，再利用线面垂直的性质得到，从而得到平面，再利用线面垂直的性质即可证明结果；
（2）建立空间直角坐标，利用向量法即可求出二面角的大小.
【小问1详解】
作于点，于点，
因为，，则，，
所以，又，所以，
由余弦定理可知，得到，所以，
所以，又底面，面，
所以，又，面，所以平面，
又面,所以.
【小问2详解】
以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图坐标系
因为平面，所以与平面所成的角就是
所以，为等腰直角三角形，所以
，，，，
设平面的法向量，则则由，得到，
取，得，
又易知，平面的一个法向量，
，由图知二面角为锐角
所以二面角的余弦值为.
21. 已知函数．
（1）当时，求证：；
（2）若对恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由得到，然后作差，构造函数，用导数法证明.
（2）将对成立，转化对成立，令，用导数法求得其最大值即可.
【详解】（1）时，，
令，
令，则，∴在上是增函数，
∴，∴在上是增函数，
∴，
∴时，，
∴；
（2）∵对成立，
∴对成立，
令，则，
令，则，
∵，∴，∴，
∴在上是减函数，∴，∴在上是减函数，
∴，
∴，∴，
即．
【点睛】方法点睛：求解不等式恒成立时参数的取值范围问题，一般常用分离参数的方法，但是如果分离参数后对应的函数不便于求解其最值，或者求解其函数最值繁琐时，可采用直接构造函数的方法求解．
22. 已知椭圆，离心率，且过点，
（1）求椭圆方程；
（2）以为直角顶点，边与椭圆交于两点，求面积的最大值．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据离心率及所给的点可得方程，解之即得椭圆方程；
（2）不妨设方程，与椭圆方程联立，求出两点的坐标，结合弦长公式及三角形面积公式得到关于的函数，然后利用换元法及基本不等式求函数的最值．
【小问1详解】
由，，得，
把点带入椭圆方程可得，解得，所以，
所以椭圆方程为：；
【小问2详解】
由题可知，不妨设的方程，则的方程为，
由，得，
所以，
用代入，可得
从而有，
于是，
令，有，
当且仅当时，面积的最大值为．
0
1
2
0
1
2