山西省运城市2024届高三上学期摸底调研数学试题

运城市2023-2024学年高三摸底调研测试

数学试题

2023.9

本试题满分150分，考试时间120分钟。答案一律写在答题卡上。

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓

名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一-项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则

A．    B．    C．    D．

2．若复数z满足，则

A．     B．1     C．     D．2

3．已知空间两条直线m，n和平面，在的前提下，“”是“”的

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件  C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

4．甲单位有3名男性志愿者，2名女性志愿者；乙单位有4名男性志愿者，1名女性志愿者，从两个单位任抽一个单位，然后从所抽到的单位中任取2名志愿者，则取到两名男性志愿者的概率为

A．     B．     C．     D．

5．已知，则

A．1     B．2     C．3     D．4

6．在数列中，如果存在非零的常数T，使得对于任意正整数n均成立，那么就称数列为周期数列，其中T叫做数列的周期．已知数列满足，若，（，），当数列的周期为3时，则数列的前2024项的和为

A．676     B．675     C．1350     D．1349

7．设，分别是双曲线的左、右焦点，0为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点E，与双曲线右支交于点P，且满足，则双曲线的离心率为

A．     B．     C．2     D．

8．已知，，，则

A．   B．    C．    D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知函数的图像为曲线C，下列说法正确的有

A．，都有两个极值点    B．，都有零点

C．，曲线C都有对称中心     D．，使得曲线C有对称轴

10．如图，正方体的棱长为2，若点M在线段上运动，则下列结论正确的是

A．直线平面

B．三棱锥A-MBC与三棱锥-MCD的体积之和为

C．的周长的最小值为

D．当点M是的中点时，CM与平面所成角最大

11．已知函数，若关于x的方程有四个不等实根、、、（），则下列结论正确的是

A．         B．

C．      D．的最小值为

12．已知函数的定义域为，其导函数为，且，，则

A．       B．

C．在上是增函数     D．存在最小值

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量，满足：，，则              ．

14．已知，则              ．

15．已知函数，现将该函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，且在区间上单调递增，则的取值范围为              ．

16．已知抛物线C：的焦点F到其准线的距离为2，圆M；，过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则的最小值为              ．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．在等比数列中，，，，成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和．

18．在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答．

在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，              ．

（1）求角A；

（2）若，求周长的范围．

19．在2023年全球抗洪救灾期间，我国物资生产企业加班加点生产棉被、面包、水等保障物品，保障抗洪--线物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某棉被生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查棉被质量，该厂质检人员从某日所生产的棉被中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，，，，，得到如下频率分布直方图．

（1）规定：棉被的质量指标值越高，说明该棉被质量越好，其中质量指标值低于130的为二级棉被，质量指标值不低于130的为一级棉被．现按照棉被质量层级（一级或二级）利用分层抽样从样本棉被中随机抽取8个棉被，再从这8个中抽取3个，记这3个棉被中--级棉被个数为X，求X的分布列及数学期望；

（2）在2023年“五一”劳动节前，甲计划在该品牌棉被的某网络购物平台上参加A店一个订单“秒杀”抢购，同时乙计划在该品牌棉被的某网络购物平台上参加B店一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单均由n（，）个该品牌棉被构成．假定甲、乙两人在A，B两店订单“秒杀”成功的概率均为，记甲，乙两人抢购成功的订单总数量﹑棉被总数量分别为X，Y．

①求X的分布列及数学期望；

②求当Y的数学期望取最大值时正整数n的值．

20．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD，，，直线PB与平面ABCD所成的角为45°．

（1）证明：；

（2）求二面角D-PB-C的余弦值．

21．已知函数，，．

（1）当时，求证：；

（2）若对恒成立，求实数a的取值范围．

22．已知椭圆E：，离心率，且过点，

（1）求椭圆E的方程；

（2）以为直角顶点，边AB，BC与椭圆E交于B，C两点，求面积的最大值．

命题人：康杰中学  胡晓琴

运城中学  淮冰会

高三摸底考试数学参考答案

一、1-4 BACD 5-8 ACDB

二、9．ABC 10．ABD 11．BC 12．ABC

三、13．  14．24； 15． 16．12

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．解：

（1）由题意设等比数列的公比为q（），因为，

∵

∴

解得

所以，

（2）由（1）可得

，

∴

∴

18．

（1）选择①：因为，

由余弦定理可得，

所以结合正弦定理可得．

因为，则，

所以，即，

因为，所以；

选择②：因为，

由正弦定理得，

由余弦定理得．

因为，所以；

（2）由（1）知，又已知，由正弦定理得：

∵

∴，

∴

∵

∴

∴

∴

也可以由余弦定理得到．

19．解：

（1）由题意，样本中一级棉被和二级棉被的频率之比为：，按分层抽样抽取8个棉被，则其中二级、一级棉被个数分别为6，2，

故X的可能取值为0，1，2．

，，，

所以X的分布列为

所以．

（2）①由题知，X的可能取值为0，1，2，

，，，

所以X的分布列为

所以．

②因为，所以，

当且仅当时取等号，所以取最大值时，n的值为2．

20．解：

（1）作于点M，于点N，

因为，，则，，

所以，又，所以，

由余弦定理可知，得到，

所以，

所以，

又底面ABCD，面ABCD，

所以．

又，AD，面PAD，所以平面PAD，

又面PAD，所以．

（2）以D点为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立如图坐标系

因为平面ABCD，所以PB与平面ABCD所成的角就是∠PBD

所以，

为等腰三角形，所以

，，，，，

设平面PBC的法向量，

则由，得到，

取，，得，

又易知，平面DPB的一个法向量，

，

由图知二面角为锐角，所以二面角D-PB-C的余弦值为．

21．解：

（1）时，，

，

令，，

令，则，

∴在上是增函数，

∴，

∴在上是增函数，

∴，

∴时，，

∴；

（2）∵对成立，

∴对成立，

令，则，

令，则，

∵，

∴，

∴，

∴在上是减函数，

∴，

∴在上是减函数，

∴，

∴，

∴，

即．

22．解：

（1）由得，把点带入椭圆方程可得：，所以椭圆方程为：

（2）不妨设AB的方程，则AC的方程为，

由得：，

k用代入，可得，

从而有，，

于是

令，有

当且仅当，．