奥数三年级上册第11讲：巧切西瓜课件+教案

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（三年级）备课教员：×××
第十一讲：巧切西瓜
一、教学目标：		1. 通过观察、操作、分析，初步认识用不完全列举法和归纳法在巧切问题上的运用；提高观察、分析、综合和运用不完全列举法和归纳法解决实际问题的能力。增强探索数学的自觉性与创新意识，体验成功解决数学问题的愉悦。
二、教学重点：		运用不完全列举法和归纳法理解巧切图形的方法。
三、教学难点：		理解和掌握巧切图形的原理和规律。
四、教学准备：		PPT课件
五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分) 师：同学们，不知不觉，当春天悄悄离开了大地，带来了炎热的夏天。大家都喜欢吃的水果是什么呀？生：（西瓜、荔枝……）师：是的，夏天是吃西瓜的好季节。今天博士也想让大家来开动脑筋帮老师分一次西瓜。“我说的分西瓜可有讲究的，必须把西瓜分成九份，而且按照一种字的笔划来划分，要不然就算你分成了九份，也会吃不成西瓜。哼哼，考考你们啰。” 生：……。师：切个“十”字，只能分出四份；切个“米”字，可以分出八份……哎，怎样才能分出九份呢？生：“井”字。师：看看，怎么分西瓜也有学问在里面哦。今天，我们就一起来学习怎么能按要求分切西瓜吧。【板书课题：巧切西瓜】
二、探索发现授课（40分）（一）例题1：（13分）一个西瓜，竖着切2刀最多能切成几块？竖着切3刀最多能切成几块? 师：大家看一下，这里是怎么要求切西瓜的呢？生: 竖着切2刀并要块数最多。师：是的，那么我们来想想，我们可以借助什么数学方法来进行很好的思考呢？生: 借助图形的方法。师：是的，我们可以用圆来表示西瓜，用直线来表示刀痕，切一刀能把西瓜切成两块（如下图）。（大家可以在本子上尝试画图）生: ……。师：请同学们接着往下切第二刀。生: 尝试画第二条线。师：这第二刀可以怎么切呢，有几种切法？生: 两种。师：哪两种呢？请展示给大家看。生: 上黑板画图汇报。师：对，第二刀可以有以下两种不同的切法：一种是平行着切，另一种是交叉着切。 ( 1 ) ( 2 ) 师：那么这两种切法，哪种符合题目的要求呢？生: 第二种。师：对，是第二种，那么请告诉大家你的理由吧，为什么？生: 第一种是三块，第二种是四块，第二种多。师：很对。下面我们再来想一想竖着切3刀，该怎么办吧？生: ……（可以小组思考，讨论）师：我们可以直接在前面两刀的基础上，再切第三刀，我们一起来交流讨论吧？生：上黑板画图汇报。（分小组指名）。师：同学们，在前两刀的基础上，再切第三刀，有以上三种不同切法。对吗？生：对。师：哪种符合题目的要求呢？生：第三种方法。因为第三种方法能切7块，切出来的块数最多。师：观察，比较，思考要使切成的块数最多，切时就必须使每次的刀痕怎样？生：相交。师：是的，两刀就必须两刀全相交，三刀就必须三刀全相交。板书：答：竖着切2刀最多能切成4块。竖着切3刀最多能切成7块。练习1：（6分）一个西瓜竖着切4刀，最多能切多少块？分析：从上题中可以看出，要使切成的块数最多，切时就必须使每次的刀痕都相交，并且可在三刀的基础上让第四刀的刀痕与前三刀的刀痕都相交。从图中可以看出，竖着切4刀最多可以切11块。板书：答：竖着切4刀最多可以切11块。（二）例题2：（13分）一个西瓜，竖着切5刀，要使切得的块数最多，可以切几块？竖着切10刀呢？师：从前面可知，要使切得的块数最多，就必须使每次的刀痕都怎么样呢？生：都相交。师：是的，都要相交，2刀就2刀都相交，3刀就3刀都相交，4刀就4刀都相交，5刀就必须要5刀都相交。好了，同学们，自己先来试一试吧？生：…… 师：同学们，在这里，我们需要一刀一刀的重新开始画吗？我们可以怎么办比较简单呢？生：在前面四刀的基础上画第五刀的刀痕就可以了。师：太棒了，所以这里我们只需要让第五刀的刀痕与前四刀的刀痕都相交就可以了哦。我们要学会寻找运用正确有效的解题方法哦！现在谁来到黑板上画一画呢？生：上黑板画图板演。师：是的，那么联系前面的四刀，一共有多少块呢？生：16（块）。师：对，那么到这里你们发现了什么规律了没有呢？生：……。师：那我们试着把例题1及本题中切的刀数与最多切得的块数排列出来看看吧。生：……。（学生思考，探索，教室巡堂指导）师：好了，那我们就按顺序，从几刀开始呢？生1：第1刀。生2: 从0刀开始。师：是的，从刀数0开始。因为0刀的时候也有块数，那是几块呀？生：1块。师：是的，所以我们可以把刀数，列为0、1、2、3、4、5、6、……n。师：那么对应的块数呢？谁来说一说。生：0刀是1块，1刀是2块，2刀是4块，3刀是7块，4刀是11块，5刀是 16块。师：有什么规律呢？生：后面的数都比前面的数多它的刀数。师：太棒了，我们来看，1刀的时候是前面0刀时的1块再加1块一共2块；2 刀的时候是前面1刀时的2块再加2块一共4块；3刀的时候是前面2刀时的4块再加3块一共7块；那么4刀、5刀的时候呢？生1：4刀就是前面3刀时的7块再加4块一共11块。生2：5刀就是前面4刀时的11块再加5块一共16块。师：很好，那么大家接着按方法得出竖着切10刀最多几块吧？生：……。（独立计算）师：6刀、7刀、8刀、9刀、10刀分别是多少呢？生：6刀是16+6=22（块）。生：7刀是22+7=29（块）。生：8刀是29+8=37（块）。生：9刀是37+9=46（块）。生：10刀是46+10=56（块）。师：对了，大家都很棒！但是每次都这样从0刀开始，一刀一刀的算一遍，那也太麻烦了呢？所以我们还要再进一步归纳出任何单独一步的算式规律。因为，后面的刀数所得块数都比前面的所得块数多它自己的刀数，所以那就是计算的算式为（1+1+2+3+4+5+…+n（切的刀数）=m）。n是切的刀数，切几刀就加到几。m是总块数。刀数最多切的块数 0 1＝1 1 1+1＝2 2 1+1+2＝4 3 1+1+2+3＝7 4 1+1+2+3+4=11 5 1+1+2+3+4+5=16 n 1+1+2+3+4+5+…+n 1+1+2+3+4+5=16（块） 1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56（块）答：竖着切5刀最多可以切16块，竖着切10刀最多可以切56块。练习2：（8分）一块大饼，如果竖着切14刀，最多可以切多少块？分析：如果我们用n表示切的刀数，最多就可以切成1+1+2+3+4+5+……+n（切的刀数）。用这个规律，我们可以很快算出，竖着切14刀，最多可以切成：1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14=106（块）。板书： 1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14=106（块）答：竖着切14刀，最多可以切106块。三、小结：（5分）同学们我们在解决巧切西瓜之类的问题时，当只允许竖直切的情况下，要想得到的西瓜块数尽量多，就必须使每次的刀痕都相交，记住这个规律是很有用的。并且因为得出的规律----后面的刀数所得块数都比前面的所得块数多它自己的刀数，所以计算的算式为（1+1+2+3+4+5+…+n（切的刀数）=m（块数）。
第二课时（50分）一、复习导入（3分）师：上节课我们主要学习了怎么来分切西瓜块数最多，大家还记得要想块数最多最关键的要求是什么呢？生：就必须使每次的刀痕都相交。师：是的，要想得到的西瓜块数尽量多，就必须使每次的刀痕都相交，这是我们动手分时必须遵守的规律。我们依据这个规律又得出了一个计算公式，那是怎么样的呢？生：计算的算式为（1+1+2+3+4+5+…+n（切的刀数）=m（块数））。师：是的，那么我们知道切东西是只可以竖着一个方向切吗？生：不是。师：还能怎么切？生：（横的，斜的）。师：是的，如果我们不光竖着切还横着切，规律还适合用吗？我们又该怎么解答呢？让我们接着来学习吧！（出示课题：巧分西瓜）
二、探索发现授课（42分）（一）例题3：（13分）米德家里来了11个客人，米德妈妈买了一个大西瓜，米德把西瓜分给11个客人吃，每人吃1块。米德竖着切，最少要切几刀？师：从题目可知，要使切得的块数是几块？生：11块。师：是的，11块。而且题目要求米德只能按什么方向切？生：竖着切。师：是的，竖着切，那么我们就可以运用我们上节课所讲的什么公式呢？生：1+1+2+3+4+5+…+n（切的刀数）=m（块数）。师：对，既然可以用这一公式计算，那么我们是不是马上可以回忆出，本题的答案了呢？生：4刀。师：对，那么算式怎么写呢？生：1+1+2+3+4=11（块）板书： 1+1+2+3+4=11（块）答：米德竖着切，最少要切4刀。练习3：（7分）卡尔过生日，博士为她买了一个大蛋糕，卡尔要把它分成16块，卡尔竖着切最少要切几刀？分析：我们可以根据例1揭示的规律进行推算，切5刀时最多可切1+1+2+3+4+5=16（块），所以最少切5刀。板书： 1+1+2+3+4+5=16（块）答：卡尔竖着切最少要切5刀。（二）例题4：（13分）中秋节那天，卡尔带来了一块月饼，她要分成8块，最少要切几刀？师：从题目可知，要使切得的块数是几块？生：8块。师：是的，8块。仔细阅读题目，有要求米德只能按什么方向切吗？生：没有。师：是的，没有，那么我们还可以运用我们上节课所讲的什么公式吗？生：不知道。师：那么又该怎么分了呢？请开动你的小脑筋，好好思考思考吧！生：…… 师：我们知道如果单单一个方向切，像之前题目当中的竖着切，有没有正好8 块的呢？生：没有。师：是的，没有。那么也就是说我们应该另寻解题思路了，现在解题思路改成什么了呢？生：还可以横着切。师：对，太棒了。我们可以横竖混合着切。下面大家一起来思考一下应该怎么切吧？生：…… 师：可以怎么切呢？生：先竖着切两刀得到4块，再横切一刀就得到8块。师：太棒了。我们知道竖着切两刀得到4块，那么4乘2就是8块了。所以先竖着切两刀得到4块，再横切一刀就得到8块。大家记住方法了吗，横着一刀可以把前面的块数直接增加一倍哦。如图：师：大家刚才观察了图，是横竖混合切才有8块，那总共切了几刀呢？生：3刀。板书：先竖着切两刀得到4块，再横切一刀就得到8块。如下图：所以，最少要切3刀。答：最少要切3刀。练习4：（7分）有一块豆腐，阿派用刀切4次，最多能切多少块？怎样切？分析：要想块数最多那就是要横竖两个方向都要有，头3刀可以竖着切下去，得出7块，第四刀再横切，就得14块。如下图： (1+1+2+3) ×2=14（块）（步骤不唯一）板书： (1+1+2+3) ×2=14（块）答: 最多能切14块，竖着切都相交的三刀，横着切一刀。（三）例题5（选讲）：博士拿了3根木棒，现在要锯成9段，每一次只许同时锯断两根木棒，应该怎样锯？师：现在我们来看一道思考题，大家一起来迎接挑战好吗？生：好。师：请找一找本题的条件是什么？生：3根木棒，现在要锯成9段，每一次只许同时锯断两根木棒。师：如果3根木棒，现在要锯成9段，怎么锯？生：那么每根木棒需要锯两次。师：是的，每根木棒需要锯两次就能锯成三段了，如果三根放在一起锯的话也只需要两次就可以呢。可是题目当中还有一个限制条件，那是什么？生：每一次只许同时锯断两根木棒。师：对了，博士在给我们出难题呢,这里我们应该怎么锯呢？生：先两根锯两次有6段，最后一根两次有3段。一共4次。师：但是最后一根不是同时锯两根木棒，博士可是允许我们每一次可以同时锯断两根木棒的呢？所以呀，为了保证效率，我们应该往哪个方向去思考呢？生：每一次同时锯断两根木棒。师：是的，那么需要我们怎么做呢，让我们一步一步的来思考吧！首先第一步，只能是怎么办呢？生：先拿第1根和第2根两根锯1次。师：是的，然后呢，还能不能再锯原来这两根了？生：不能，因为再锯的话就锯好这两根了，又最后只剩一根了。师：是的。所以我们这时候需要怎么办呢？生：把第三根和第一根一起锯。师: 太棒了。这样第一根就锯好了，是吗？生：是的。师：还剩第二和第三根，再合起来锯几次呢？生：一次。师: 是的，所以我们只需要总共锯几次就可以了呢？生：3次。师：同学们。这一题的关键点就是要尽量的按最高的效率去完成目标，大家记住了吗？（步骤不唯一，有理即可）板书：先拿第1根和第2根两根锯1次，再把第三根和第一根一起锯1次，还剩第二和第三根，最后合起来锯1次。一共锯3次。练习5：怎样剪一刀把一根钢丝剪成5段？分析：要想一刀成5段，只能用对折的方法去解决。对折一次剪一刀只把一根钢丝剪成3段，所以需要对折两次剪一刀就把一根钢丝剪成5段了。板书：对折两次从中间剪一刀。三、总结：（5分）这节课你有什么收获？切西瓜的时候，要注意两个方面：一是刀切的方向，一般情况下有横切和竖切两种方法。所以，我们要思考问题时，首先就要注意题目里对切刀方向的要求；二是只允许竖直切的情况下，要想得到的西瓜块数尽量多，就必须使每次的刀痕都相交，依据规律得到的计算公式是：1+1+2+3+4+5+…+n（切的刀数）=m（块数）。最后解决问题时，需要尽量的按最高的效率去完成目标，比如合并，对折等。四、随堂练习： 1. 半个西瓜竖直切6刀，最多能切成几块？ 1+1+2+3+4+5+6=22（块）答：最多能切成22块。 2. 一个圆饼竖直切15刀，最多能切成几块？ 1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15=121（块）答：最多能切成121块。一个菠萝要分给22个小朋友吃，每个小朋友吃1块，问如果竖直切，最少要切几刀？ 1+1+2+3+4+5+6=22（块）答：最少要切6刀。妈妈用刀把一块豆腐5次切成18小块，米德也想像妈妈那样，用刀切5次，使一块豆腐变成18小块，但他没有记住妈妈是怎样切的，小朋友，你能帮助米德想想吗？画一画。如果只竖着切明显不行，所以要有横切，横切一次数量比前一次增加一倍，所以18÷2=9块，前面四次只要9块就好。正好是个井字。有3根甘蔗，现在要3刀砍成9节，每一刀只许同时砍断两根甘蔗，应该怎样砍？先拿第一根和第二根两根砍1次，再把第三根和第一根一起砍1次，还剩第二和第三根，最后合起来砍1次。一共砍3次。
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