江苏专版2023_2024学年新教材高中数学第三章圆锥曲线的方程综合训练新人教A版选择性必修第一册

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第三章综合训练一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知点在抛物线的准线上,则该抛物线的焦点坐标是( )A. B. C. D. 2. 已知椭圆 经过点,则上一点到两焦点的距离之和为( )A. 2 B. C. 4 D. 3. 已知双曲线的一条渐近线的方程为,则双曲线的焦距为( )A. B. 10 C. D. 4. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且垂直于轴，，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D. 25. 设是双曲线上的点,,是焦点,双曲线的离心率是,且 ,的面积是7,则 ( )A. B. C. 10 D. 166. 已知直线与抛物线相交于,两点,为的焦点,若,则等于( )A. B. C. D. 7. 我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”（其中,）,如图所示,其中点,,是相应椭圆的焦点.若是边长为1的等边三角形,则,的值分别为( )A. ,1 B. ,1 C. 5,3 D. 5,48. 已知椭圆与双曲线有公共的焦点,的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于,两点.若恰好将线段三等分,则( )A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9. 当时,方程表示的轨迹可以是( )A. 两条直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线10. 已知双曲线的左、右焦点分别为,,则能使双曲线的方程为的是( )A. 离心率为 B. 双曲线过点C. 渐近线方程为 D. 实轴长为411. [2023湖北武汉期末]已知抛物线的焦点为，直线，过焦点分别交抛物线于点，，，，其中，位于轴上方，且直线经过点，，记，的斜率分别为，，则下列结论正确的有( )A. B. C. D. 12. [2023湖南长沙月考]如图是由半圆和半椭圆组成，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点，与半椭圆交于点，则下列结论正确的是( )A. 椭圆的离心率是B. 点 关于直线 的对称点在半圆上C. 面积的最大值是D. 线段 长度的取值范围是三、填空题：本题共4小题.13. 抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为1,则.14. 已知椭圆的离心率为,,分别为椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点使得是钝角,则满足条件的取值范围是.15. 如图,过抛物线的焦点作直线,与抛物线及其准线分别交于,,三点,若,则直线的方程为,.16. 摆线是一类重要的曲线，许多机器零件的轮廓线都是摆线，摆线的实用价值与椭圆、抛物线相比毫不逊色.摆线是研究一个动圆在一条曲线（基线）上滚动时，动圆上点的轨迹.由于采用不同类型的曲线作为基线，产生了摆线族的大家庭，当基线是圆且动圆内切于定圆做无滑动的滚动时，切点运动的轨迹就是内摆线.已知基线圆的方程为，半径为1的动圆内切于定圆做无滑动的滚动，切点的初始位置为.若，则的最小值为；若，且已知线段的中点的轨迹为椭圆，则该椭圆的方程为.四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知,分别是双曲线两条渐近线上的动点,且,为坐标原点,动点满足,求动点的轨迹方程.18. 已知椭圆的焦距为,且过点.（1） 求椭圆的方程；（2） 斜率大于0且过椭圆右焦点的直线与椭圆交于,两点,若,求直线的方程.19. 已知,分别是双曲线的左、右焦点,是双曲线上一点,到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍,（1） 求双曲线的渐近线方程；（2） 当 时,的面积为,求此双曲线的方程.20. 已知抛物线的焦点为,点在抛物线上,且点的横坐标为4,.（1） 求抛物线的方程；（2） 设为过点的任意一条直线,若交抛物线于,两点,求证：以为直径的圆必过坐标原点.21. 从椭圆上一点向轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点,且它的长轴的一个端点与短轴的一个端点的连线平行于.（1） 求椭圆的离心率；（2） 设是椭圆上任一点,是椭圆的右焦点,求的取值范围.22. 给定椭圆,则称圆心在原点,半径为的圆是椭圆的“卫星圆”.若椭圆的离心率为,点在上.（1） 求椭圆的方程和其“卫星圆”方程；（2） 点是椭圆的“卫星圆”上的一个动点,过点作直线,,使得,,与椭圆都只有一个交点,且,分别交其“卫星圆”于点,,证明：弦长为定值.第三章综合训练一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. C[解析]因为点在抛物线的准线上,所以,所以,则该抛物线的焦点坐标是.故选.2. D[解析]由椭圆 经过点可得,即椭圆的方程为,则,由椭圆的定义可知上一点到两焦点的距离之和为.3. C[解析]由题意得,,则双曲线的焦距为.4. A[解析]轴，，.由，可得,可得，，.又，解得.故选.5. A[解析]由题意,不妨设点是双曲线右支上的一点,,,则,...故选.6. B[解析]设,,易知,,,.由得,所以.①根据抛物线的定义得,,.因为,所以,②由①②得（舍去）,所以,代入得.7. A[解析],,,,得,即,.8. C[解析]由题意,知,因此椭圆方程为,双曲线的一条渐近线方程为,联立方程消去,得,所以直线截椭圆的弦长,解得,.二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9. ACD[解析]当时,,,可得方程表示的曲线可以是椭圆,也可以是双曲线,也可以是两条直线.故选.10. ABC[解析]由双曲线的左、右焦点分别为,,可得.如果离心率为,可得,则,所以双曲线的方程为,故正确；如果双曲线过点,可得解得所以双曲线的方程为,故正确；如果渐近线方程为,可得,,解得,,所以双曲线的方程为,故正确；如果实轴长为4,可得,,双曲线的方程为,故错误.故选.11. ACD[解析]由抛物线可得，抛物线的焦点,,设直线的方程为,联立整理可得，所以，故正确；同理可得，由直线经过点,设,则,而,,所以,则,整理可得,也即,因为，所以,又，，所以，故正确；，故错误；因为,同理,则，故正确.故选.12. ACD[解析]由题意得半圆的方程为，设椭圆的方程为，则，，, 椭圆的方程为.对于，椭圆的离心率是，故正确；对于，设关于直线的对称点为，,可得且,解得,，即对称点为,又半圆的方程为， 对称点,不在半圆上，故错误；对于，由题得的面积,设，，,设，，,,,当且仅当时,等号成立，故正确；对于，当时，；当时，. 线段长度的取值范围是，故正确.故选.三、填空题：本题共4小题.13. 2[解析]依题意,设抛物线的焦点为,点的横坐标是,则的最小值是,则.14. [解析]如图,当点位于短轴端点处时,最大,因为椭圆上存在点使得是钝角,所以在中, ,所以直角三角形中, ,所以,即,所以,即,所以.又,所以.15. ;[解析]抛物线的焦点坐标为,准线方程为,设,,,,则,,即,此时,得,即,则,则的斜率,则直线的方程为,代入得,设,,则,即.16. 2;[解析]当时，又内切小圆半径， 小圆上的切点的轨迹为大圆的内摆线，如图1，图1的最小值为.当时，又内切小圆半径， 小圆上的切点的轨迹为大圆的内摆线，为线段，如图2，图2又线段的中点的轨迹为椭圆，由图可知,椭圆的长半轴长，椭圆的短半轴长,且椭圆的长轴在轴上，短轴在轴上，中心为原点， 该椭圆的方程为.四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 解设,,, 动点满足,,.,分别是双曲线的两条渐近线上的动点,,,,,，化简可得的轨迹方程为.18. （1） 解由题意得,设左焦点为，则,,,,.故椭圆的方程为.（2） 设直线的方程为,代入椭圆方程得,设,,恒成立,由根与系数的关系可得,①,②由得,③由①②③可得.故直线的方程为.19. （1） 解因为双曲线的渐近线方程为,则点到渐近线距离为（其中是双曲线的半焦距）,所以由题意知.又因为,解得,故所求双曲线的渐近线方程是.（2） 因为 ,由余弦定理得,,即.①又由双曲线的定义得,平方得,②由①②式相减得.根据三角形的面积公式得,得.再由（1）得,故所求双曲线方程是.20. （1） 解抛物线的焦点为,,准线方程为,由抛物线的定义可得,,解得,即抛物线的方程为.（2） 证明设直线,,,代入抛物线方程,可得,恒成立,,,,即有,则,则以为直径的圆必过坐标原点.21. （1） 解依题意知点的坐标为,设点的坐标为.若点的坐标为,则点的坐标为,则直线的斜率当点坐标为,点坐标为时,同样有.则有,.①又点在椭圆上,.②由①②得,,即椭圆的离心率为.（2） ①当点与椭圆长轴的端点重合时,.②当点与椭圆长轴的端点不重合时,设,, ,则,.在中,，当且仅当时,等号成立,故当点与椭圆长轴的端点不重合时,.又,.综上,的取值范围是.22. （1） 解由条件可得解得,.所以椭圆的方程为,“卫星圆”的方程为.（2） 证明①当,中有一条斜率不存在时,不妨设的斜率不存在,因为与椭圆只有一个公共点,则其方程为或,当的方程为时,此时与“卫星圆”交于点和,此时经过点,且与椭圆只有一个公共点的直线是或,即为或,所以,同理，当的方程为时，结论相同.所以线段应为“卫星圆”的直径,所以.②当,斜率都存在时,设点,其中,设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为,直线,直线,联立消去,整理得,所以,所以,满足两直线,垂直的条件.所以线段应为“卫星圆”的直径,所以，综合①②知,为定值.