2022-2023学年四川省眉山市仁寿县文宫中学高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年四川省眉山市仁寿县文宫中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知为虚数单位，复数的共轭复数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先将复数化简成的形式，再写出其共轭复数即可.

【详解】因为，共轭复数为.

故选：C.

2．已知点在第三象限，则角的终边位置在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】由所在的象限有，即可判断所在的象限.

【详解】因为点在第三象限，

所以，

由，可得角的终边在第二、四象限，

由，可得角的终边在第二、三象限或轴非正半轴上，

所以角终边位置在第二象限，

故选：B.

3．化简（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据向量加法法则即可计算.

【详解】.

故选：B.

4．在中，，，，则的面积等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由正弦定理余弦定理和三角形面积公式求解即可

【详解】由可得，

又，解得，，

又由可得，

所以的面积为，

故选：D

5．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B、C两点间的距离是（    ）

A．海里 B．海里 C．海里 D．海里

【答案】A

【分析】如图，由题意可得海里、，结合正弦定理计算即可求解.

【详解】如图，由题意得，海里，

得，在中，由正弦定理，

得海里.

故选：A.

6．已知向量满足，，，则（    ）

A．-1 B．0 C．1 D．

【答案】B

【分析】设出向量，的坐标，根据条件列出坐标方程，即可解出，的坐标，即可进一步列出含参数的坐标方程，从而解出参数，.

【详解】设，，又，，

所以，且，

解得，，即，.所以，则，解得，故.

故选：B.

7．已知向量，且，则的最大值为（    ）

A．1 B．2 C． D．4

【答案】B

【分析】根据向量平行得到，再利用均值不等式计算得到答案.

【详解】，，，故，即，

当，或，时，；

当且时，，，当，即，时等号成立；

综上所述：的最大值为.

故选：B

8．函数y=sin2x的图象可能是

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.

详解：令，

因为，所以为奇函数，排除选项A,B;

因为时，，所以排除选项C，选D.

点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．

二、多选题

9．下列选项中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】利用诱导公式一一验证即可；

【详解】解：，故A不正确；

，故B正确；

，故C正确；

，故D正确.

故选：BCD

10．给出下列命题，其中假命题为（    ）

A．两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；

B．若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；

C．若与同向，且，则；

D．为实数，若，则与共线.

【答案】ACD

【分析】根据向量的相关概念，向量共线及向量相等，逐个分析判断即可

【详解】对于A，两个具有共同终点的向量，由于起点不一定相同，它们的方向不一定相同，所以它们不一定是共线向量，所以A错误，

对于B，当是不共线的四点，若，则四边形是平行四边形，若四边形是平行四边形，则，

所以是四边形为平行四边形的充要条件，所以B正确，

对于C，当与同向，且时，因为两个向量不能比较大小，所以C错误，

对于D，为实数，若，则与不一定共线，如时，与是任意的，所以D错误，

故选：ACD

11．对于，有如下命题，其中正确的有（    ）

A．若，则为等腰三角形

B．若，则为直角三角形

C．若，则为钝角三角形

D．若，，，则的面积为或

【答案】CD

【解析】通过三角函数与角的关系判断三角形的形状，从而判定A，B的正误；利用正弦定理与余弦定理判断C的正误；利用正弦定理及三角形面积公式判断D的正误.

【详解】对于A：，或，

或，所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误；

对于B: ，或，所以不一定是直角三角形，故B错误；

对于C：，，

由正弦定理得，又，所以角为钝角，所以为钝角三角形，故C正确；

对于D: ，，，，又，

或，或，或，故D正确.

故选：CD

【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，三角形的面积公式，考查了学生逻辑推理与运算求解能力.

12．在中，已知，给出下列结论中正确结论是（    ）

A．由已知条件，这个三角形被唯一确定

B．一定是钝三角形

C．

D．若，则的面积是

【答案】BC

【分析】可设的周长为，则由，可将边长均用表示出来，故三角形不确定，A错误；根据三边长计算最大的角的余弦值，根据符号确定三角形是否是钝角三角形；根据边长比和正弦定理可确定；根据，求出三角形三边长，计算三角形的面积.

【详解】可设的周长为，则由，

可得，，，

又，则，，，

故三角形不确定，A错；由，为钝角，故B正确；

由正弦定理，故C正确；

由，则，得，故，由，

得，的面积是，故D错.

故选：BC

【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的应用，是一道解三角形的综合应用题，属于中档题.

三、填空题

13．已知复数满足（其中是虚数单位），则复数的虚部为       .

【答案】

【详解】由题得，所以复数的虚部为.故填.

14．在平面直角坐标系中，已知两点，，则的值是          .

【答案】

【分析】根据两点间的距离公式和三角函数的基本关系式及两角差的余弦公式，即可求解.

【详解】由题意，两点，，

则

.

故答案为：

15．已知曲线关于直线对称，则的最小值为        .

【答案】

【解析】由题意可得出的表达式，由此可求得的最小值.

【详解】因为曲线关于直线对称，所以，

所以，当时，取最小值为.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数的最值，考查计算能力，属于中等题.

16．关于函数，有下列说法：

①的最大值为；

②是以为最小正周期的周期函数；

③在区间()上单调递减；

④将函数的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合．

其中正确说法的序号是      ．

【答案】①②③

【详解】解：由题意可得：

，

故，故①正确；

,故②正确；

可得当，函数单调递减，解得，

故③正确；

的图象向左平移可得，故④不正确；

故答案为：①②③.

【点睛】本题考查了三角函数的周期性、单调性、对称性及诱导公式等内容，熟练掌握三角函数的性质及诱导公式是解题的关键.

四、解答题

17．（Ⅰ）已知，复数是纯虚数，求的值；

（Ⅱ）已知复数满足方程，求及的值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），

【分析】（Ⅰ）根据纯虚数概念列方程，解得结果，（Ⅱ）解复数方程的，再根据共轭复数概念以及模的定义的结果.

【详解】（Ⅰ）∵为纯虚数，

∴，∴；

（Ⅱ），∴，

∴.

【点睛】本题考查纯虚数、共轭复数以及复数运算，考查基本分析求解能力，属基础题.

18．已知向量，，，且．

（1）求，；

（2）求与的夹角及与的夹角．

【答案】（1），；（2），．

【分析】（1）由、，结合平面向量数量积的运算即可得解；

（2）记与的夹角为，与的夹角为，由平面向量数量积的定义可得、，即可得解.

【详解】（1）因为向量，，，且，

所以

，

所以，

又

，

所以；

（2）记与的夹角为，与的夹角为，

则，

所以．

，

所以．

【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算与应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

19．已知的内角所对应的边分别为，且.

（1）求角的大小；

（2）若，，求的面积.

【答案】（1）;（2）.

【详解】试题分析：（1）由正弦定理将边角关系转化为角的关系，再根据三角形内角关系以及两角和正弦公式化简得，解得角的大小；（2）由余弦定理得，再根据，解得，最后根据三角形面积公式得结果

试题解析：（1）因为，由正弦定理，得．

因为，所以．

即，

所以．

因为，所以

又因为，所以．

（2）由余弦定理及得，，

即．

又因为，所以，

所以．

20．如图，在圆内接中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.

（1）求B；

（2）若点D是劣弧AC上一点，AB=2，BC=3，AD=1，求四边形ABCD的面积

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据正弦定理化简即可．

（2）在，利用余弦定理求出，已知，可得，再余弦定理求出，即可和面积，可得四边形的面积．

【详解】解：（1）由正弦定理得，

得.

因为，

所以，即.

（2）在中AB=2，BC=3，，，

解得.

在中，，A，B，C，D在圆上，

因为，所以，

所以，

解得或（舍去），

所以四边形ABCD的面积.

【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.

21．已知函数在一个周期内的图象如图所示.

(1)求函数的解析式.

(2)求函数的单调递增区间.

(3)当时，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】(1)利用三角函数的图象与性质求解析式即可；

(2)利用三角函数的单调性整体代换法求单调区间即可；

(3)利用整体代换法结合三角函数的图象与性质求定区间值域即可；

【详解】（1）由函数的图象知，

，所以，解得；

由函数图象过点，得，则，

因为，所以，

所以函数的解析式为；

（2）由函数的解析式，

令；

解得；

所以的单调递增区间为

（3）当时，，则，

所以，

则的取值范围是.

22．已知向量=（sinx，cosx），=（sin（x﹣），sinx），函数f（x）=2•，g（x）=f（）．

（1）求f（x）在[，π]上的最值，并求出相应的x的值；

（2）计算g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2014）的值；

（3）已知t∈R，讨论g（x）在[t，t+2]上零点的个数．

【答案】(1) f（x）最小值为 ﹣1，此时；f（x）最大值为 ，此时；

(2) .

(3) 见解析

【分析】（1）根据向量的坐标运算，求出f（x）的表达式，再根据定义域求出最值及相应的自变量．

（2）根据三角函数表达式，求出三角函数的变化周期及函数值，代入求解．

（3）讨论在t取不同范围时，交点的个数问题．

【详解】（1）f（x）=2•=2sinxsin（x﹣）+2sinxcosx=sin2x+sin2x

=sin2x﹣cos2x+=sin（2x﹣）+，

∵x∈[，π]，∴≤2x﹣≤，

∴﹣1≤sin（2x﹣）≤，f（x）最小值为 ﹣1，f（x）最大值为 ．

（2）由（1）得，f（x）=sin（2x﹣）+．∴g（x）=f（）=sin（x﹣）+．T=4，

∴g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=g（5）+g（6）+g（7）+g（8）=…=g（2009）+g（2010）+g（2011）+g（2012）．g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=，g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2014）=503×+g（1）+g（2）=1006+= .

（3）g（x）在[t，t+2]上零点的个数等价于y=sin（x﹣）与y=﹣两图象交点个数．在同一直角坐标系内作出这两个数的图象．

当4k＜t＜+4k，k∈Z时，由图象可知，y=sin（x﹣）与y=﹣两图象无交点，g（x）无零点

当+4k≤t＜2+4k或+4k＜t≤4+4k时，y=sin（x﹣）与y=﹣两图象1个交点，g（x）1个零点

当2+4k≤t≤+4k时，y=sin（x﹣）与y=﹣两图象2个交点，g（x）2个零点.

【点睛】本题考查了向量与三角函数的综合应用，注意分类讨论时t的不同取值情况，属于难题．