2023年内蒙古通辽市中考数学试卷

这是一份2023年内蒙古通辽市中考数学试卷，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

2023年内蒙古通辽市中考数学试卷
一、选择题（本题包括12道小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）
1．（3分）2023的相反数是（　　）
A．2023 B．﹣2023 C． D．
2．（3分）在英语单词polynomial（多项式）中任意选出一个字母，选出的字母为“n“的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S＝ah时，若△ABE平移到△DCF，a＝4，h＝3，则△ABE的平移距离为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．12
4．（3分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣3的图象是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（　　）
A．​ B．
C． D．
6．（3分）已知点A（x1，y1）B（x2，y2） 在反比例函数的图象上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定正确的是（　　）
A．y1+y2＜0 B．y1+y2＞0 C．y1﹣y2＜0 D．y1﹣y2＞0
7．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜180°），点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD＝24°，则旋转角α的度数为（　　）

A．24° B．28° C．48° D．66°
8．（3分）下列命题：
①a3•a2＝a5；
②﹣π＞﹣3.14；
③圆周角等于圆心角的一半；
④将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是必然事件；
⑤在一组数据中，如果每个数据都增加4，那么方差也增加4．
其中真命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交于点D，点C是半径OB上一动点，若OA＝1，则阴影部分周长的最小值为（　　）

A． B． C． D．
10．（3分）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
求作：Rt△ABC的外接圆．
作法：如图2，
（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；
（2）作直线PQ，交AB于点O；
（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O即为所求作的圆．​
​下列不属于该尺规作图依据的是（　　）

A．两点确定一条直线
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0，1），点A（4，1），以点P为中心，把点A按逆时针方向旋转60°得到点B，在M1（﹣1，﹣），M2（﹣，0），M3（1，﹣1），M4（2，2）四个点中，直线PB经过的点是（　　）

A．M1 B．M2 C．M3 D．M4
12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1 下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2b+3c＜0；④不等式ax2+bx+c＜﹣x+c的解集为0＜x＜2．其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本题包括5道小题，每小题3分，共15分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）
13．（3分）已知一组数据：3，4，5，5，6，则这组数据的众数是 　 　．
14．（3分）将一副三角尺如图所示放置，其中AB∥DE，则∠CDF＝　 　度．

15．（3分）点Q的横坐标为一元一次方程3x+7＝32﹣2x的解，纵坐标为a+b的值，其中a，b满足二元一次方程组，则点Q关于y轴对称点Q'的坐标为 　 　．
16．（3分）如图，等边三角形ABC的边长为6cm，动点P从点A出发以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交边AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧，当点D落在BC边上时，点P需移动 　 　s．

17．（3分）某款“不倒翁”（如图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B，若该圆半径是10cm，∠P＝60°，则主视图的面积为 　 　cm2．

三、解答题（本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出
18．（5分）计算：．
19．（5分）以下是某同学化简分式的部分运算过程：
解：原式＝……第一步
＝……第二步
＝……第三步
……
（1）上面的运算过程中第 　 　步开始出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
20．（5分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东72°方向，距离灯塔100nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东40°方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
​

21．（10分）党的十八大以来，习近平总书记对推动全民阅读、建设书香中国高度重视，多次作出重要指示．×××中学在第28个“世界读书目”到来之际，对全校2000名学生阅读课外书的情况进行了解，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告（不完整）：
调查方式
抽样调查
调查对象
xx中学部分学生
平均每周阅读课外书的时间大约是（只能单选，每项含最小值，不含最大值）
A.8小时以上
B.6﹣8小时
C.4﹣6小时
D.0﹣4小时

请解答下列问题：
（1）求参与本次抽样调查的学生人数；
（2）求图2中扇形A所占百分比；
（3）估计该校2000名学生中，平均每周阅读课外书的时间在“6﹣8小时”人数；
（4）在学生众多阅读书籍中，学校推荐阅读书目为四大名著：《三国演义》《红楼梦》《西游记》《水浒传》（分别记为甲、乙、丙、丁），现从这4部名著中选择2部为课外必读书籍，请用列表法或画树状图法中任意一种方法，求《西游记》被选中的概率．
22．（6分）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：
操作一：对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM，延长PM交CD于点Q，连接BQ．
（1）如图1，当点M在EF上时，∠EMB＝　 　度；
（2）改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合）如图2，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．
​
23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，D，E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC＝∠A．

（1）求证：△ACD∽△DCB；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）若，AC＝10，求⊙O的半径．

24．（10分）某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同．
（1）求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．
25．（8分）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1x2和系数a，b，c，有如下关系：x1+x2＝﹣，x1x2＝．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，
∴m+n＝1，mn＝﹣1．
则 m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝　 　，x1x2＝　 　．
（2）类比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0 的两个实数根为m，n，求m2+n2的值；
（3）提升：已知实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0 且s≠t，求的值．
26．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣4）．

（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．
①如图，若点P在第三象限，且tan∠CPD＝2，求点P的坐标；
②直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E′落在y轴上时，请直接写出四边形PECE'的周长．

2023年内蒙古通辽市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题包括12道小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）
1．（3分）2023的相反数是（　　）
A．2023 B．﹣2023 C． D．
【分析】根据相反数的含义以及求法，在2023的前面添加﹣，求出2023的相反数即可．
【解答】解：2023的相反数是﹣2023．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．
2．（3分）在英语单词polynomial（多项式）中任意选出一个字母，选出的字母为“n“的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接根据概率公式解答即可．
【解答】解：∵英语单词polynomial中共10个字母，n只有一个，
∴任意选出一个字母，选出的字母为“n“的概率是．
故选：A．
【点评】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）＝是解题的关键．
3．（3分）如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S＝ah时，若△ABE平移到△DCF，a＝4，h＝3，则△ABE的平移距离为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．12
【分析】根据平移的性质结合矩形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥EF，BC＝AD＝a，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
∴四边形AEFD是矩形，
由平移的性质得BE＝CF，
∴EF＝BC＝4，
∴平行四边形ABCD的面积＝矩形AEFD的面积＝ah＝12，
∴△ABE的平移距离为4．
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，平移的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
4．（3分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣3的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数y＝2x﹣3中的k、b的符号确定其函数图象所经过的象限，即可判断．
【解答】解：∵一次函数y＝2x﹣3中的k＝2＞0，b＝﹣3＜0，
∴一次函数y＝2x﹣3的图象经过第一、三、四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限”是解题的关键．
5．（3分）二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（　　）
A．​ B．
C． D．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围，进而在数轴上表示即可．
【解答】解：二次根式在实数范围内有意义，
则1﹣x≥0，
解得：x≤1，
则实数x的取值范围在数轴上表示为：
．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及在数轴上表示不等式的解集，正确掌握相关定义是解题关键．
6．（3分）已知点A（x1，y1）B（x2，y2） 在反比例函数的图象上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定正确的是（　　）
A．y1+y2＜0 B．y1+y2＞0 C．y1﹣y2＜0 D．y1﹣y2＞0
【分析】根据反比例函数的图象和性质，由x1＜0＜x2，可判断y1＞0＞y2，进而得出答案．
【解答】解：∵反比例函数的图象在二、四象限，而x1＜0＜x2，
∴点A（x1，y1）在第二象限反比例函数的图象上，B（x2，y2） 在第四象限反比例函数的图象上，
∴y1＞0＞y2，
∴y1﹣y2＞0，
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的图象上点的坐标特征是正确解答的前提．
7．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜180°），点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD＝24°，则旋转角α的度数为（　　）

A．24° B．28° C．48° D．66°
【分析】由旋转的性质可得∠B＝∠ADE＝66°，AB＝AD，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解．
【解答】解：∵DE⊥AC，∠CAD＝24°，
∴∠ADE＝66°，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，
∴∠B＝∠ADE＝66°，AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝66°
∴∠BAD＝48°，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
8．（3分）下列命题：
①a3•a2＝a5；
②﹣π＞﹣3.14；
③圆周角等于圆心角的一半；
④将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是必然事件；
⑤在一组数据中，如果每个数据都增加4，那么方差也增加4．
其中真命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】分析所给的命题是否正确，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：①a3•a2＝a5，是真命题；
②﹣π＜﹣3.14，是假命题；
③在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，是假命题；
④将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是随机事件，是假命题；
⑤在一组数据中，如果每个数据都增加4，那么方差不变，是假命题．
其中真命题的个数是1．
故选：A．
【点评】主要主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
9．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交于点D，点C是半径OB上一动点，若OA＝1，则阴影部分周长的最小值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】作D点关于直线OB的对称点E，连接AE，与OB的交点为C点，此时阴影部分周长最小，最小值为AE的长与弧AD的和．
【解答】解：作D点关于直线OB的对称点E，连接AE，与OB的交点为C点，此时阴影部分周长最小，
在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交于点D，
∴∠AOD＝∠BOD＝30°，
由轴对称的性质，∠EOB＝∠BOD＝30°，OE＝OD，
∴∠AOE＝90°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∵OA＝1，
∴AE＝，的长＝＝，
∴阴影部分周长的最小值为，
故选：A．

【点评】本题考查了弧长的计算，勾股定理，轴对称﹣最短路线问题，证得△AOE为等腰直角三角形是解题的关键．
10．（3分）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
求作：Rt△ABC的外接圆．
作法：如图2，
（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；
（2）作直线PQ，交AB于点O；
（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O即为所求作的圆．​
​下列不属于该尺规作图依据的是（　　）

A．两点确定一条直线
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
【分析】根据线段的垂直平分线的性质及直角三角形的性质作图判定．
【解答】解：由作图得：PQ垂直平分AB，
∴O为AB的中点，
∴AO＝BO，
∵∠C＝90°．
∴CO＝AO＝BO，
∴⊙O是△ABC的外接圆，
故选：A．
【点评】本题考查了复杂作图，掌握线段的垂直平分线的性质及直角三角形的性质是解题的关键．
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0，1），点A（4，1），以点P为中心，把点A按逆时针方向旋转60°得到点B，在M1（﹣1，﹣），M2（﹣，0），M3（1，﹣1），M4（2，2）四个点中，直线PB经过的点是（　　）

A．M1 B．M2 C．M3 D．M4
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得B（2，1+2 ），利用待定系数法可得直线PB的解析式，依次将M1，M2，M3，M4四个点的一个坐标代入y＝x+1中可解答．
【解答】解：∵点A（4，1），点P（0，1），

∴PA⊥y轴，PA＝4，
由旋转得：∠APB＝60°，AP＝PB＝4，
如图，过点B作BC⊥y轴于C，
∴∠BPC＝30°，
∴BC＝2，PC＝2 ，
∴B（2，1+2 ），
设直线PB的解析式为：y＝kx+b，
则，
∴，
∴直线PB的解析式为：y＝x+1，
当x＝﹣1时，y＝﹣+1，
∴点M1（﹣1，﹣）不在直线PB上，
当x＝﹣时，y＝﹣1+1＝0，
∴M2（﹣，0）在直线PB上，
当x＝1时，y＝+1，
∴M3（1，）不在直线PB上，
当x＝2时，y＝2+1，
∴M4（2，2）不在直线PB上．
故选：B．
【点评】本题考查的是图形旋转变换，待定系数法求一次函数的解析式，确定点B的坐标是解本题的关键．
12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1 下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2b+3c＜0；④不等式ax2+bx+c＜﹣x+c的解集为0＜x＜2．其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用二次函数的图象和性质依次判断即可．
【解答】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，
∴a＞0，b＜0，c＞0，
∴abc＜0，
∴①正确．
∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴②错误．
∵抛物线过点（2，0），
∴4a+2b+c＝0，
∴b＝﹣2a﹣，a＝﹣，
∵a+b+c＜0，
∴a﹣2a﹣+c＜0，
∴2a﹣c＞0，
∴﹣a﹣c﹣c＞0，
∴﹣2a﹣3c＜0，
∴2a+3c＞0，
∴③错误．
如图：

设y1＝ax2+bx+c，y2＝﹣x+c，
由图值，y1＞y2时，x＜0或x＞x1，
故④正确．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
二、填空题（本题包括5道小题，每小题3分，共15分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）
13．（3分）已知一组数据：3，4，5，5，6，则这组数据的众数是 　5　．
【分析】根据众数的定义（一组数据中，出现次数最多的数据，叫这组数据的众数）得出即可．
【解答】解：在数据3，4，5，5，6中，5出现了2次，出现的次数最多，
则这组数据的众数为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了众数的定义，能熟记众数的定义是解此题的关键．
14．（3分）将一副三角尺如图所示放置，其中AB∥DE，则∠CDF＝　105　度．

【分析】利用平行线的性质和三角尺各角的度数进行计算即可．
【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠BDE＝∠B＝30°．
∴∠CDF＝180°﹣∠EDF﹣∠BDE＝180°﹣45°﹣30°＝105°．
故答案为：105．
【点评】本题主要考查平行线的性质的简单运用．另外，一定要把一副三角尺各角的度数作为常识牢记于心．
15．（3分）点Q的横坐标为一元一次方程3x+7＝32﹣2x的解，纵坐标为a+b的值，其中a，b满足二元一次方程组，则点Q关于y轴对称点Q'的坐标为 　（﹣5，﹣4）　．
【分析】结合已知条件分别求得x，a+b的值，然后根据关于y轴对称的点的坐标性质即可求得答案．
【解答】解：3x+7＝32﹣2x，
移项，合并同类项得：5x＝25，
系数化为1得：x＝5；

①+②得：a+b＝﹣4；
则Q（5，﹣4），
那么点Q关于y轴对称点Q'的坐标为（﹣5，﹣4），
故答案为：（﹣5，﹣4）．
【点评】本题考查解一元一次方程及二元一次方程组和关于y轴对称的点的坐标性质，结合已知条件求得x，a+b的值是解题的关键．
16．（3分）如图，等边三角形ABC的边长为6cm，动点P从点A出发以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交边AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧，当点D落在BC边上时，点P需移动 　1　s．

【分析】根据等边三角形的性质得到角与边的等量关系，从而证明△BDP≌APQ，由此得到边之间的关系，进而求解．
【解答】解：设点P需移动t秒，点D落在BC边上，如图所示．
∵三角形PQD是等边三角形，
∴∠DPQ＝60°，
∴∠BPD＝180°﹣∠APQ﹣∠DPQ＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴∠BDP＝180°﹣∠B﹣∠BPD＝180°﹣60°﹣30°＝90°．
∠AQP＝180°﹣∠APQ﹣∠A＝180°﹣90°﹣60°＝30°．
∵∠BDP＝∠APQ＝90°，DP＝PQ，∠BPD＝∠AQP＝30°，
∴△BDP≌△APQ（ASA）．
∴BP＝AB﹣AP＝6﹣2t，BD＝AP＝2t，
∵∠BPD＝30°，
∴BD＝BP，即2t＝（6﹣2t），
∴t＝1．
故答案为：1．

【点评】本题通过动点问题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定及其性质的运用．
17．（3分）某款“不倒翁”（如图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B，若该圆半径是10cm，∠P＝60°，则主视图的面积为 　（100+）　cm2．

【分析】根据题意，先找到圆心O，然后根据PA，PB分别与 ，所在圆相切于点A，B．∠P＝60°可以得到∠AOB的度数，然后即可得到优弧AMB对应的圆心角，再根据弧长公式计算即可，再根据等边三角形和顶角为120°等腰三角形的面积公式分别计算即可．
【解答】解：OA⊥PA，OB⊥PB，OA，OB交于点O，如图，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，PA＝PB，
∵∠P＝60°，
∴∠AOB＝120°，且△PAB为等边三角形，
∴优弧AMB对应的圆心角为360°﹣120°＝240°，AB＝OA＝10（cm），
∴优弧AMB的面积是：＝（cm2），S△PAB＝×（10）2＝75（cm2），S△AOB＝×102＝25（cm2），
∴主视图的面积＝+75+25＝（100+）（cm2），
故答案为：（100+）．

【点评】本题考查弧长的计算、切线的性质，解答本题的关键是求出优弧AMB的度数．
三、解答题（本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出
18．（5分）计算：．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝9+1﹣10
＝0．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
19．（5分）以下是某同学化简分式的部分运算过程：
解：原式＝……第一步
＝……第二步
＝……第三步
……
（1）上面的运算过程中第 　一　步开始出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
【分析】（1）利用分式的混合运算法则判断得出答案；
（2）利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）上面的运算过程中第一步开始出现了错误；
故答案为：一；

（2）原式＝÷
＝•
＝．
【点评】此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
20．（5分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东72°方向，距离灯塔100nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东40°方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
​

【分析】根据题意可得：PC⊥AB，EF∥AB，从而可得∠A＝∠EPA＝72°，∠B＝∠BFP＝40°，然后在Rt△APC中，利用锐角三角函数的定义求出PC的长，再在Rt△BPC中，利用锐角三角函数的定义求出BP的长，即可解答．
【解答】解：如图：

由题意得：PC⊥AB，EF∥AB，
∴∠A＝∠EPA＝72°，∠B＝∠BFP＝40°，
在Rt△APC中，AP＝100海里，
∴PC＝AP•sin72°≈100×0.95＝95（海里），
在Rt△BCP中，BP＝≈≈148（海里），
∴B处距离灯塔P约有148海里．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟练掌锐角三角函数的定义是解题的关键．
21．（10分）党的十八大以来，习近平总书记对推动全民阅读、建设书香中国高度重视，多次作出重要指示．×××中学在第28个“世界读书目”到来之际，对全校2000名学生阅读课外书的情况进行了解，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告（不完整）：
调查方式
抽样调查
调查对象
xx中学部分学生
平均每周阅读课外书的时间大约是（只能单选，每项含最小值，不含最大值）
A.8小时以上
B.6﹣8小时
C.4﹣6小时
D.0﹣4小时

请解答下列问题：
（1）求参与本次抽样调查的学生人数；
（2）求图2中扇形A所占百分比；
（3）估计该校2000名学生中，平均每周阅读课外书的时间在“6﹣8小时”人数；
（4）在学生众多阅读书籍中，学校推荐阅读书目为四大名著：《三国演义》《红楼梦》《西游记》《水浒传》（分别记为甲、乙、丙、丁），现从这4部名著中选择2部为课外必读书籍，请用列表法或画树状图法中任意一种方法，求《西游记》被选中的概率．
【分析】（1）用D组的人数除以所占的百分比即可；
（2）用扇形A的圆心角除以360°即可；
（3）用2000乘以B组的百分比即可；
（4）画树状图得出所有等可能的结果数和《西游记》被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）33÷11%＝300（人），
答：参与本次抽样调查的学生人数为300人；
（2）×100%＝32%，
答：图2中扇形A所占百分比为32%；
（3）2000×（100%﹣32%﹣11%﹣41%）＝320（人），
答：估计该校2000名学生中，平均每周阅读课外书的时间在“6﹣8小时”人数为320人；
（2）画树状图，如图所示：

所有等可能的情况有12种，其中《西游记》被选中的情况有6种，
所以《西游记》被选中的概率为＝．
【点评】此题考查了扇形统计图，条形统计图和列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（6分）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：
操作一：对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM，延长PM交CD于点Q，连接BQ．
（1）如图1，当点M在EF上时，∠EMB＝　30　度；
（2）改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合）如图2，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．
​
【分析】（1）由折叠可得AE＝BE＝AB，∠AEM＝∠BEM＝90°，AB＝BM，故BE＝BM，从而可得∠EMB＝30°；
（2）证明Rt△BMQ≌Rt△BCQ（HL），可得∠MBQ＝∠CBQ．
【解答】解：（1）由折叠可得：AE＝BE＝AB，∠AEM＝∠BEM＝90°，AB＝BM，
∴BE＝BM，
∴∠EMB＝30°；
故答案为：30；
（2）∠MBQ＝∠CBQ，理由如下：
∵在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M处，
∴AB＝BM，∠A＝∠BMP＝90°，
∴BC＝AB＝BM，∠BMQ＝∠C＝90°，
∵BM＝BM，
∴Rt△BMQ≌Rt△BCQ（HL）；
∴∠MBQ＝∠CBQ．
【点评】本题考查正方形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质和正方形性质．
23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，D，E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC＝∠A．

（1）求证：△ACD∽△DCB；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）若，AC＝10，求⊙O的半径．

【分析】（1）由相似三角形的判定可得出答案；
（2）连接OD，由圆周角定理得出∠ADB＝90°，证出OD⊥CD，由切线的判定可得出结论；
（3）由相似三角形的性质得出∴，由比例线段求出CD和BC的长，可求出AB的长，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠DCB＝∠ACD，∠BDC＝∠BAD，
∴△ACD∽△DCB；
（2）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠ODB，
∵∠BDC＝∠A，
∴∠BDC+∠ODB＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴OD⊥CD，
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ADB＝90°，tan∠BED＝，
∴tan∠BAD＝，
∵△BDC∽△DAC，
∴，
∵AC＝10，
∴，
∴CD＝6，
∴，
∴BC＝，
∴AB＝AC﹣BC＝10﹣＝．
∴⊙O的半径为．
【点评】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，圆周角定理，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
24．（10分）某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同．
（1）求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．
【分析】（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物（x+10）吨，根据“A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同”列方程即可得解；
（2）先根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组求出m的取值范围，再根据题意列出一次函数解析式，利用次函数的性质，即可求出答案．
【解答】解：（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物（x+10）吨，
由题意得：，
解得：x＝90，
当x＝90时，x（x+10）≠0，
∴x＝90是分式方程的根，
∴x+10＝90+10＝100，
答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物100吨；
（2）设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，
由题意得：，
解得：10≤m≤12，
w＝1.2m+2（30﹣m）＝﹣0.8m+60；
∵﹣0.8＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝12时，w最小，此时w＝﹣0.8×12+60＝50.4，
∴购买A型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是50.4万元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意找出题目中的相等关系，不等关系列出分式方程，一元一次不等式组及列出一次函数关系式是解决问题的关键．
25．（8分）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1x2和系数a，b，c，有如下关系：x1+x2＝﹣，x1x2＝．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，
∴m+n＝1，mn＝﹣1．
则 m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝　﹣　，x1x2＝　﹣　．
（2）类比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0 的两个实数根为m，n，求m2+n2的值；
（3）提升：已知实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0 且s≠t，求的值．
【分析】（1）利用根与系数的关系，即可得出x1+x2及x1x2的值；
（2）利用根与系数的关系，可得出m+n＝﹣，mn＝﹣，将其代入m2+n2＝（m+n）2﹣2mn中，即可求出结论；
（3）由实数s、t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0，且s≠t，可得出s，t是一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根，利用根与系数的关系，可得出s+t＝﹣，st＝﹣，结合（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st，可求出s﹣t的值，再将其代入＝中，即可求出结论．
【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣；
故答案为：﹣，﹣；
（2）∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两根分别为m，n，
∴m+n＝﹣，mn＝﹣，
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝+1＝；
（3）∵实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0，且s≠t，
∴s，t是一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根，
∴s+t＝﹣，st＝﹣，
∵（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st＝（﹣）2﹣4×（﹣）＝，
∴t﹣s＝±，
∴＝＝＝±．
【点评】本题考查根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．
26．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣4）．

（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．
①如图，若点P在第三象限，且tan∠CPD＝2，求点P的坐标；
②直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E′落在y轴上时，请直接写出四边形PECE'的周长．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可．
（2）①设出点P坐标，作辅助线，求出PE，CE，根据，列出方程求出x的值即可；
②证明四边形PECE′是菱形，得出PE＝CE，分别表示出PE和CE，从而列出方程，即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线 与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣4），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为．
答：抛物线的解析式为．
（2）①设P（x，），如图，过点C作CE⊥PD于E，

∴∠PEC＝∠CED＝90°，
∵C（0，﹣4），
∴OC＝4，
∵PD⊥x轴，
∴∠PDO＝90°，
∵∠DOC＝90°，
∴四边形DOCE是矩形，
∴DE＝OC＝4，OD＝CE＝﹣x，
∴＝，
∵，
∴，
∴（舍去），
∴＝，
∴P（﹣．
②设P（m，），
对于，当y＝0时，，
解得x1＝1，x2＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
∵OC＝4，
∴，
当点P在第三象限时，如图，过点E作EF⊥y轴于F，

则四边形DEFO是矩形，
∴EF＝OD＝﹣m，
∵点E与点E′关于PC对称，
∴∠ECP＝∠E′CP，CE＝CE′，
∵PE∥y轴，
∴∠EPC＝∠PCE′，
∴PE＝CE，
∴PE＝CE′，
∴四边形PECE′是菱形，
∵EF∥OA，
∴△CEF∽△CBO，
∴，
∴，
∴，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣4，
∴，
∴＝，
∵，
∴，
解得（舍去），
∴，
∴四边形PECE′的周长C＝4CE＝4×，
当点P在第二象限时，如图，

同理可得，
解得（舍去），
∴，
∴四边形PECE′的周长C＝4CE＝4×，
综上，四边形PECE′的周长为或．
【点评】本题考查了求一次函数和二次函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是正确分类，作辅助线，表示出线段的数量．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/7/6 10:40:50；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557