四川省成都外国语学校2023-2024学年高三数学（理）上学期入学考试试卷（Word版附解析）

成都外国语学校2023–2024学年度高2021级高三上学期入学考试

数学试卷（理科）

考试时长：120分钟  满分：150分

一、选择题（每小题5分，共60分）

1. 设集合，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据集合交集补集运算.

【详解】由，，得，

所以，

故选：B

2. 底面半径为1的圆锥的侧面展开扇形面积是它的底面积的两倍，则母线长为（    ）

A. 1 B.  C. 2 D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据圆锥的侧面积和底面积的关系列方程，从而求得母线长.

【详解】设圆锥的母线长为，依题意，圆锥的底面半径，

则.

故选：C

3. 已知，则的共轭复数（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据除法运算化简复数，利用共轭复数概念直接求解即可.

【详解】因为，所以，

所以.

故选：D

4. 已知A为抛物线上一点，为抛物线焦点，，点A到轴的距离为6，则（    ）

A. 2 B. 8 C. 6 D. 10

【答案】B

【解析】

【分析】根据抛物线的焦半径公式列式计算，即得答案.

【详解】由题意A为抛物线上一点，点A到轴的距离为6，

则点A的横坐标为，

故由可得，即，

故选：B

5. 水稻是世界上最重要的粮食作物之一，也是我国以上人口的主粮．以袁隆平院士为首的科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明”．育种技术的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献．在应用该技术的两块面积相等的试验田中，分别种植了甲、乙两种水稻，观测它们连续6年的产量（单位：）如表所示：

甲、乙两种水稻连续6年产量

根据以上数据，下列说法正确的是（    ）

A. 甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数小

B. 甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小

C. 甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等

D. 甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定

【答案】B

【解析】

【分析】分别计算两种水稻产量的平均数、中位数、极差、方差即可判断四个选项的正误.

【详解】对于A：甲种水稻产量的平均数：，

乙种水稻产量的平均数：，

所以甲种水稻产量的平均数和乙种水稻产量的平均数相等，故A不正确；

对于B：甲种水稻产量分别为，中位数为，

乙种水稻产量分别为：，中位数为，

所以甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小，故B正确；

对于C：甲种水稻产量的极差为：，乙种水稻产量的极差为：，

甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差不相等，故C不正确；

对于D：甲种水稻的产量的方差为：

，

乙种水稻的产量的方差为：

甲种水稻产量的平均数和乙种水稻产量的平均数相等，

乙种水稻的产量的方差小于甲种水稻的产量的方差，

所以乙种水稻的产量比甲种水稻的产量稳定，故D不正确，

故选：B.

6. 若实数x，y满足，则的最大值为（    ）

A. 8 B. 6 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据约束条件，作出不等式组所表示的平面区域，再作直线：平移求解.

【详解】：作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，

其中，，.

作直线：，平移直线，

当其经过点时，有最大值8，

故选：A.

7. 在上随机取一个数，则事件“直线与圆有公共点”发生的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据直线与圆有公共点，求出的范围，再根据几何概型的概率公式计算即可.

【详解】若直线，即与圆有公共点，

则圆心到直线距离，故解得或，

由几何概型的概率公式，得事件“直线与圆有公共点”发生的概率为.

故选：A.

8. 第十四届全国人民代表大会于3月5日至13日在北京召开，政府工作报告总结了过去五年的巨大成就，绘就出未来五年的美好蓝图，既鼓舞人心，又催人奋进.为学习贯彻会议精神，现组织4名宣讲员宣讲会议精神，分配到3个社区，每个宣讲员只分配到1个社区，每个社区至少分配1名宣讲员，则不同的分配方案共有（    ）

A. 72 B. 12 C. 36 D. 24

【答案】C

【解析】

【分析】4名宣讲员分配到3个社区，每个社区至少1人，则按1，1，2分配，计算即可．

【详解】将4名宣讲员分到3个社区，每个社区至少1人，则分配方式为1，1，2，

所以不同的分配方案共有．

故选：C．

9. 我国魏晋时期的数学家刘徽用“割圆术”科学地求出了圆周率的结果.他的方法是从直径为2尺的圆内接正六边形开始割圆，依次得正十二边形、正二十四边形……割得越细，正多边形面积和圆面积之差越小，他通过计算正3072边形的面积估算出了的值.某同学利用刘徽的“割圆术”思想设计了如图所示的程序框图，则输出的值为（    ）

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

【答案】B

【解析】

【分析】模拟执行程序，即可计算输出值.

【详解】执行第一次循环，；

执行第二次循环，；

执行第三次循环，；

执行第四次循环，.

执行第五次循环，；

执行第六次循环，；

执行第七次循环，.

执行第八次循环，；

执行第九次循环，；

因为，所以结束循环，输出.

故选：B

10. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作一条直线与双曲线右支交于、两点，坐标原点为，若，，则该双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】作出图形，分析可知为直角三角形，设，在中，利用勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理可求出该双曲线的离心率的值.

详解】如下图所示：

因为，则，，

所以，，

因为，则，

设，则，则，

由勾股定理可得，即，

整理可得，因为，解得，所以，，，

由勾股定理可得，即，整理可得，

因此，该双曲线的离心率为.

故选：B.

11. 设，，则的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】构造，，求导得到函数单调性，从而得到，故，再构造，，求导得到函数单调性，从而得到，得到，得到答案.

【详解】设，，

则在上恒成立，

故在上单调递减，

又，故，即，

故，

令，，

则恒成立，

故在上单调递增，

又，故，即，

故，

综上：.

故选：D

12. 如图，在棱长为1的正方体中，点分别在线段和上．给出下列四个结论中所有正确结论的个数有（    ）个

①的最小值为1

②四面体体积为

③存在无数条直线与垂直

④点为所在边中点时，四面体的外接球半径为

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】由公垂线的性质判断A;由线面平行的性质及锥体的体积公式判断B;根据线面垂直的判定及面面平行的判定定理结合条件判断C;利用坐标法，根据正弦定理及球的性质结合条件可求四面体的外接球半径判断D.

【详解】对于A:因为是正方体，

所以平面,平面,

又因为平面,平面,

所以,

，即是与的公垂线段，

因为公垂线段是异面直线上两点间的最短距离，

所以当分别与重合时，最短为1，故A正确;

对于B,因为是正方体，

所以平面平面，且平面

所以平面，

当点在上运动时，点到平面的距离不变，距离，

由可知，当点在上运动时，到的距离不变，

所以的面积不变，

所以所以B错误;

对于C,连接，因为平面，平面，

且,所以，

又平面，

所以平面，当不在线段端点时，

过作交于 ，过作交于，

平面交线段于,

因为平面，平面 ,

故平面，同理平面,

又平面，

所以平面平面，

故平面，又平面，

所以，因为点在线段上，

所以存在无数条直线，故C正确;

对于D,如图,以点为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则,

所以,

则的外接圆的半径为

所以可得等腰的外接圆圆心为,

设四面体的外接球球心为，则平面，

所以可设四面体的外接球球心为，

由，

可得,解得，

所以四面体的外接球的半径为故D错误.

故选:AC.

二、填空题（每小题5分，共20分）

13. 某市物价部门对本市5家商场某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示，由散点图可知，销售量与价格之间有较好的线性相关关系，若其线性回归直线方程是，则_______.

【答案】

【解析】

【分析】利用回归直线必经过样本中心得到关于的方程，从而得解.

【详解】依题意，得，

，

所以.

故答案为：.

14. 若的二项展开式中的系数是，则实数的值是________．

【答案】2

【解析】

【分析】利用二项式展开式通项，结合对应项的值列方程求参数即可.

【详解】题设二项式展开式通项为，，

所以，即，故，则.

故答案为：2

15. 若函数在上单减，则实数的取值范围为______．

【答案】

【解析】

【分析】求出的单调减区间，由为减区间的子集求出的取值范围.

【详解】，

当时，，在为增函数，

当时，由得，故的单调减区间为，

因为在上单减，所以，解得.

故答案为：

16. 已知函数与轴有两个交点，则实数的取值范围为__________．

【答案】

【解析】

【分析】求出函数的导数，就、、分类讨论，而当时，再就、、分类讨论单调性并结合零点存在定理判断零点个数，从而得到参数的取值范围，注意可以转化到的情形.

【详解】函数与轴有两个交点即有两个不同的解.

（1）当时，，令，则，故符合.

（2）当时，，

当时，；当时，，

所以在上为增函数，在上为减函数，

而，当时，，

故在上有且只有一个零点，

当，即，即时，

结合的单调性可得：在上有且只有一个零点，

故此时符合题设.

当时，即，即时，

结合的单调性可得：在上无零点，故舍.

当时，即，即时，

结合的单调性可得：在上有且只有一个零点，

下证：，

设，则，

当时，，当时，，

故在上为增函数，在上为减函数，故，

故恒成立，所以，故，所以，

而，其中，

设，则，

故为上的减函数，故，

故对任意的成立，故对任意的成立，

因为，故成立，故，所以，

故，故在有且只有一个零点，

故与轴有3个不同的交点，舍.

故当时，仅有能使得与轴有2个不同的交点.

（3）当时，因为方程等价于，

其中，由（2）可知仅有能使得与轴有2个不同的交点.

即.

综上，实数的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】思路点睛：导数背景下的零点个数问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，并结合零点存在定理来判断零点的存在性，而取点判断函数值的符号需要结合函数解析式的形式和极值来合适选择.

三、解答题（共70分）

17. 已知函数，

（1）当时，求的最值；

（2）求的单调区间．

【答案】（1），无最大值．   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）判断单调性求最值.

（2）讨论的正负求其单调性.

【小问1详解】

当时定义域为，则，

所以当时，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以在处取得极小值即最小值，即，无最大值．

【小问2详解】

定义域为，且，

当时恒成立，所以在上单调递减，

当时，令解得，令，解得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

综上可得：当时在上单调递堿；

当时在上单调递减，在上单调递增．

18. 2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，、，、，、、，，统计结果如图所示：

（1）试估计这100名学生得分的平均数；

（2）从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在，的人数为，试求的分布列和数学期望．

【答案】（1）70.5分   

（2）分布列见解析，

【解析】

【分析】（1）根据频率分布直方图估计平均数的求法直接解决即可；

（2）求得的可能取值及对应概率，完成分布列，根据期望公式求解即可．

【小问1详解】

由频率分布直方图的数据，可得这100名学生得分的平均数：

分．

【小问2详解】

由频率分布直方图的数据，可得，，，，，的人数之比为，

在，分组中抽6人，在，分组中抽3人，在，分组中抽取2人，

的可能取值为，

则，

的分布列为：

．

19. 如图，在三棱台中，若平面，，，，为中点，为棱上一动点（不包含端点）．

（1）若为的中点，求证：平面；

（2）是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出长度；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析   

（2）存在，

【解析】

【分析】（1）取中点，易证得四边形为平行四边形，得到，由线面平行的判定可证得结论；

（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据面面角的向量求法可构造方程求得的值，由此可得结果.

【小问1详解】

分别取中点，连接，

则为的中位线，，，

又，，，，

四边形为平行四边形，，

又平面，平面，平面.

【小问2详解】

以为坐标原点，正方向为轴可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，

，，，

设，则，

，

令平面的法向量为，

则，令，则，，；

又平面的一个法向量，

，

解得：或（舍），

，，即的长为.

20. 已知椭圆的离心率为是的左、右焦点，是的上顶点，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）是椭圆的右顶点，斜率为的直线与交于两点（与不重合）.设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)由已知得点由结合从而可解；

(2) 设点直线的方程为利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤即可求解.

【小问1详解】

由已知得点则，

①

又由有，，即②

联立①②解得

故椭圆的方程为.

【小问2详解】

设点直线的方程为

联立整理得：

则即

由韦达定理得：(*)

又点则故

将代入整理得：

将(*)代入得：

因为所以，即解得或

因与不重合，所以，故

所以(**)

所以

将(**)代入得

故

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

21. 已知函数，.

（1）若经过点的直线与函数的图像相切于点，求实数a的值；

（2）设，若有两个极值点为，，且不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题意，对函数求导，根据导数的几何意义进行求解即可；

（2）将有两个极值点为，，转化为方程在上有两个不同的根，根据根的判别式求出的取值范围，将不等式恒成立，转化为恒成立，通过构造函数，将问题转化为函数极值问题，进而即可求解.

【小问1详解】

的定义域为，

由，得，则，

因为经过点的直线与函数的图像相切于点，

所以，

所以，解得，

【小问2详解】

，则，

因为有两个极值点为，，

所以在上有两个不同的根，

此时方程在上有两个不同的根，

则，且，解得，

若不等式恒成立，则恒成立，

因为

不妨设，

则，

因为，所以，

所以在上递减，所以，

所以，

即实数的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数几何意义，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是将极值点问题转化为方程在上有两个不同的根，求出的范围，再将不等式恒成立，则恒成立，然后构造关于的函数，利用导数求出其范围，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.

22. 在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，直线l的参数方程为：（t为参数），直线l与曲线C分别交于两点.

（1）写出曲线C和直线l的普通方程；

（2）若点，求的值.

【答案】（1）;   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用极坐标和直角坐标方程得转化公式即可得出曲线C的普通方程，消去直线l参数方程中的t即可得直线l的普通方程；（2）联立直线l的参数方程和曲线C的普通方程得出关于参数的一元二次方程，利用参数的几何意义和韦达定理即可求得的值.

【小问1详解】

将等号两边同时乘以可得，

所以；即；

所以曲线C的普通方程为；

将消去参数t可得，，整理得；

即直线l的普通方程为

【小问2详解】

注意到在直线l上，直线倾斜角为，， ，

解得

所以直线参数方程为为参数），

联立C的直角坐标方程与l的参数方程得

整理得，

设方程的解为，则，，异号.

不妨设，，

有.