四川省成都市石室中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学（理）试卷（Word版附解析）

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1. 已知全集，能表示集合与关系的图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式化简集合，根据集合的关系即可求解.
【详解】全集，集合，，
所以，所以能表示集合、关系的图是选项B．
故选：B
2. 已知向量，，则在方向上投影长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
【详解】解：，，
则，，
故在方向上的投影长度为：．
故选：B．
3. 5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：
若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ）
A. 由题中数据可知，变量与正相关，且相关系数
B. 线性回归方程中
C. 残差的最大值与最小值之和为0
D. 可以预测时该商场手机销量约为1.72（千只）
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知数据，分析总体单调性，并注意到增量不相等，不是严格在一条直线上，从而判定A；求得样本中心点坐标，代入已给出的回归方程，求解，从而判定B；根据残差定义求得各个残差，进而得到残差的最大值与最小值，从而判定C；利用回归方程预测计算即可判定D.
【详解】从数据看y随x的增加而增加，故变量与正相关，由于各增量并不相等，故相关系数，故A正确；
由已知数据易得代入中得到，故B错误；
，
，，，，，
，，，，，
残差的最大值与最小值之和为0，故正确；
时该商场手机销量约为，故D正确.
故选：B
4. 方程表示双曲线的必要不充分条件可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用双曲线方程，求解的范围，然后根据集合关系，推出选项．
【详解】如果方程表示双曲线，则，解得：，
则方程表示双曲线的必要不充分条件所对应的集合必须真包含．
只有选项C满足题意．
故选：．
5. 执行如图所示的程序框图，若依次输入，，，则输出的结果为（ ）
A.
B.
C.
D. 以上都不对
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，该流程图的作用是求出、、中的最小数，再结合对数的运算性质比较出，，的大小关系即可．
【详解】根据题意，该流程图的作用是求出、、中的最小数，
，
，
，即输出的结果为．
故选：C．
6. 在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：的面积，
，
，
则，
，
，
，
，，，
，
．
故选：D．
7. 设等差数列的前项和为，已知，，，则的值为（ ）
A. 15B. 16C. 17D. 18
【答案】D
【解析】
【分析】由已知条件利用等差数列的下标定理即可求解.
【详解】解：由题意可得
即①
②
且等差数列满足
①②两式相加得
代入求和公式可得
解得
故选：D.
8. 如图是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三视图得到直观图，作，可证即为锥体的高，再利用等面积法求出高即可；
【详解】解：由三视图，可得如下直观图：
是棱长为的正方体的顶点.是所在棱的中点.
四棱锥过作在正方体中有平面，平面.
所以又，平面
所以平面
所以四棱锥的高为
由三视图可知，因为
所以
故四棱锥的高为
故选：.
9. 抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足，为线段的中点，设在上的射影为，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，，连接AF、BF，由抛物线定义得，由勾股定理可得|AB|2，进而根据基本不等式求得|AB|的取值范围，再利用此结论求的取值范围．
【详解】设，，，在上的射影分别为，，
则，，故，
又，所以，
因为，
所以，当且仅当时等号成立，
故．
故选：C．
【点睛】本题着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值等知识，属于中档题．
10. 如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且，点，分别为，的中点，在侧面上运动，且满足平面，以下命题错误的是（ ）
A.
B. 多面体的体积为定值
C. 侧面上存在点，使得
D. 直线与直线所成的角可能为
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，结合线线垂直的判定定理、线面垂直的性质，以及异面直线夹角的求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：连接，作图如下：
因为为正方体，故可得//，又，与是同一条直线，
故可得，则，故A正确；
对B：根据题意，，且线段在上运动，且点到直线的距离不变，
故△的面积为定值，又点到平面的距离也为定值，
故三棱锥的体积为定值，故B正确；
对C：取的中点分别为，连接，作图如下：
容易知在△中，，又，，
面面，故面面，
又G在侧面上运动，且满足平面，故的轨迹即为线段；
又因为为正方体，故面面，故，
则当与重合时，，故C正确；
对D：因为，故直线与所成角即为直线与所成角，即，
在中，，
故，
而当直线与直线BC所成的角为时，，
故直线与直线BC所成的角不可能为，故D错误.
故选：D.
11. 已知直线：与圆心为且半径为的圆相交于，两点，直线：与圆交于，两点，则四边形的面积的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知可得圆的方程，求得交点，坐标，进而可得与中点坐标，求得直线恒过定点，当与垂直时，四边形的面积最大，可求得四边形的面积的最大值．
【详解】解：根据题意，圆的圆心为且半径为，
所以圆的方程为，即，
直线：与圆相交于，两点，
则有，解得或，所以、的坐标为，，
则，且的中点为，
直线：，变形可得，直线恒过定点，
当与垂直时，四边形的面积最大，
此时的方程为，变形可得，经过点，
所以，
故四边形的面积的最大值，
故，
所以四边形的面积的最大值为．
故选：B．
12. 已知函数在区间上有且仅有4个极值点，给出下列四个结论：
①在区间上有且仅有3个不同的零点；②的最小正周期可能是；
③的取值范围是；④在区间上单调递增.
其中正期结论个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】令，，则,，结合条件可得有4个整数符合题意，可求出的取值范围，再利用三角函数图象性质逐项分析即可得出结论.
【详解】由函数，
令，可得，，
因为在区间上有且仅有4个极值点，即可得有且仅有4个整数符合题意，
解得，即，可得，
即，解得，即③正确；
对于①，当时，，即可得，
显然当时，在区间上有且仅有3个不同的零点；
当时，在区间上有且仅有4个不同的零点；即①错误；
对于②，的最小正周期为，易知，
所以的最小正周期可能是，即②正确；
对于④，当时，；
由可知，
由三角函数图象性质可知在区间上单调递增，即④正确；
即可得②③④正确.
故选：C
【点睛】方法点睛：求解三角函数中的取值范围时，经常利用整体代换法由图象性质限定出取值范围即可求得结果，特别注意端点处的取值能否取到等号即可.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若，则的共轭复数为______．
【答案】
【解析】
【分析】化简复数，可得的共轭复数．
【详解】依题意，
所以的共轭复数为
故答案为：
14. 在的展开式中，含的项的系数是______用数字作答
【答案】
【解析】
【分析】首先得出展开式的通项为，然后分别令和得出其展开式的常数项和含的项，分两类情形即可得出所求的答案．
【详解】解：因为，
又因为展开式的通项为，
所以令，则其常数项；
令，则其含的项为，
所以原展开式中含的项的系数为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．
15. 已知为等腰三角形，其中，点D为边AC上一点，.以点B、D为焦点的椭圆E经过点A与C，则椭圆E的离心率的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】借助椭圆定义与所给数量关系，结合余弦定理计算即可得.
【详解】
连接点与中点，即有，由，故，
由，则，即，
由椭圆定义可得、，
故，
即，则、，
由故，
则，即，
解得（负值舍去）.
故答案为：.
【点睛】求离心率的常用方法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程并求解.
16. 若函数与的图像在实数集上有且只有个交点，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】问题等价于仅有个解，进一步可等价于仅有个解，设，利用导数研究函数的性质，作出其图像，利用图像即可得解．
【详解】解：依题意，仅有个解，显然不是该方程的解，则，即仅有个解，
设，定义域关于原点对称，且满足，即为奇函数，
考虑时的情况，，，
当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
则函数极大值，且当时，；当时，；
作出函数的大致图像如图所示：
由于仅有个解，故与函数的图像仅有个交点，
结合图像可得或，解得或．
故答案为：．
三、解答题：本题共7小题，共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知数列的首项为，且满足，数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求．
【答案】17.
18.
【解析】
【分析】（1）由数列的递推式推得为常数列，可得所求通项公式；
（2）由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．
【小问1详解】
，
，
；
【小问2详解】
由（1）得，
①，
②，
得，
．
18. 某企业有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为6，9，12，员工隶属于甲部门．现在医务室通过血检进行一种流行疾病的检查，已知该种疾病随机抽取一人血检呈阳性的概率为，且每个人血检是否呈阳性相互独立．
（1）现采用分层抽样的方法从中抽取9人进行前期调查，求从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人，并求员工被抽到的概率；
（2）将甲部门的6名员工随机平均分成2组，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈阴性，则可断定本组血样全部为阴性，不必再化验；若结果呈阳性，则本组中至少有一人呈阳性，再逐个化验．记为甲部门此次检查中血样化验的总次数，求的分布列和期望．
【答案】（1）分别抽人，人，人，；（2）分布列见解析，.
【解析】
【分析】（1）根据分层抽样规则求出从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取的人数，再根据古典概型的概率公式计算可得；
（2）记“每组血样化验结果呈阴性”为事件，利用相互独立事件的概率公式求出，则可取值，分别求出概率，列出分布列，求出数学期望即可；
【详解】（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为，
由于采用分层抽样的方法从中抽取人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取人，人，人.
记事件：“员工被抽到”，由于每位员工被抽到的概率相等，
所以员工被抽到的概率为.
（2）甲部门的6名员工随机平均分成2组，每组3人，记“每组血样化验结果呈阴性”为事件，
由于每个人血检是否呈阳性相互独立，所以，
则可取值：2，5，8，
﹔
，
所以的分布列为下表：
则的期望为．
【点睛】方法点睛：本题考查分层抽样，古典概率､相互独立事件的概率以及离散型随机变量的分布列和数学期望，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列，组合，概率知识求出取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.
19. 如图，已知梯形与所在平面垂直，，，，，，，，连接，．
（1）若边上一点，，求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）作，交于点，连接，作，交于点，交于点，接着证明，以及，可得四边形为平行四边形，可得证
（2）求出平面BEF的法向量和平面BFC的法向量，利用向量法能求出二面角E-BF-C的余弦值．
【小问1详解】
如图，作，交于点，连接，作，交于点，交于点．
因为 ，，所以 ，，
，，
，，
，，
，且，四边形为平行四边形．
，又平面，平面，
平面．
【小问2详解】
平面平面，平面平面CDEF=DE，
，平面，
平面．
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则，
，
设平面的法向量为
，
取，得．
，
设平面的法向量为，
由，
取，得，
，
二面角为钝二面角，
二面角的余弦值为 .
20. 已知椭圆的离心率为，焦距为，过的左焦点的直线与相交于、两点，与直线相交于点．
（1）若，求证：；
（2）过点作直线的垂线与相交于、两点，与直线相交于点．求的最大值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求出直线的方程，将直线的方程与椭圆的方程联立，求出点、的横坐标，再利用弦长公式可证得成立；
（2）分析可知直线的斜率存在且不为零，设直线方程为，则直线方程为，其中，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可得出的表达式，同理可得出的表达式，利用基本不等式可求得的最大值.
【小问1详解】
证明：设、，因为椭圆的焦距为，所以，解得．
又因为椭圆的离心率，所以，所以，
所以椭圆的方程为.
因为直线经过、，，
所以，直线的方程为，
设点、，联立可得，
由，得，.
所以，
，
因此，.
【小问2详解】
证明：若直线、中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线平行，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在且不为零，设直线方程为，
则直线方程为，其中．
联立可得，
设、，则，
由韦达定理可得，，
易知且，将代入直线的方程可得，即点，
所以
，
同理可得，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最大值为.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
21. 已知函数.
（1）若在区间上恒成立，求实数的取值范围；
（2）若函数和有公切线，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，用导数法解即可；
（2）设函数在点处与函数在点处有相同的切线，
由，化简得到，然后将问题转化为关于的方程有解求解.
【小问1详解】
由题意，当时，设，
则，
，
令，得（舍负）
在上单调递减，在上单调递增，
.
根据题意的取值范围为.
【小问2详解】
设函数在点处与函数在点处有相同的切线，
则，
，代入
得.
问题转化为：关于的方程有解，
设，则函数有零点，
，当时，
.
问题转化为：的最小值小于或等于0.
，
设，则
当时，，当时，.
在上单调递减，在上单调递增，
的最小值为.
由知，
故.
设，
则，
故在上单调递增，
当时，，
的最小值等价于.
又函数在上单调递增，
.
【点睛】方法点睛：对于函数与函数有相同的切线问题，一般设函数在点处与函数在点处有相同的切线，由，利用消元法，转化为方程有解求解.
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程．
（1）求和的直角坐标方程；
（2），直线与交于，两点，其中点在第一象限，求点的极坐标及点的极径．
【答案】（1）；；
（2）点的极坐标为，点的极径为．
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，消去参数，即可求出曲线的直角坐标方程，再结合极坐标公式，即可求解；
（2）联立两个直角坐标方程，再结合极坐标公式，即可求解．
【小问1详解】
曲线的参数方程为，（为参数），
则，即，，，
与相除得，
联立，解得，
故曲线的直角坐标方程为；
直线的极坐标方程．
其中，，
则，
故直线的直角坐标方程为；
小问2详解】
设，，
联立，解得或，
点在第一象限，
则点的坐标为，点的坐标为，
故点的极坐标为，
点的极径为．
23. 已知函数，．
（1）求函数的最小值；
（2）设，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）写出分段函数形式，分析、的性质及最值，即可确定最小值；
（2）利用分析法，将问题化为证明，进一步转化为证即可.
【小问1详解】
由题设，而在、、上均能取到最小值，
对于在上递减，上为常数，上递增，且连续，
所以的最小值在上取得，即时，最小值为.
【小问2详解】
由，仅当取等号，
要证，即证，则，
需证，而，即，
所以恒成立，故得证.
时间
1
2
3
4
5
销售量（千只）
0.5
0.8
1.0
1.2
1.5
2
5
8