甘肃省兰州市2022年中考数学试卷及答案

甘肃省兰州市2022年中考数学试卷

一、单选题

1．计算 的结果是（　　） 

A．±2 B．2 C． D．

2．如图，直线 ，直线c与直线a，b分别相交于点A，B， ，垂足为C．若 ，则 （　　）

A．52° B．45° C．38° D．26°

3．下列分别是2022年北京冬奥会、1998年长野冬奥会、1992年阿尔贝维尔冬奥运会、1984年萨拉热窝冬奥会会徽上的图案，其中是轴对称图形的是（　　） 

A． B．

C． D．

4．计算： （　　）

A． B． C． D．

5．如图， 内接于 ，CD是 的直径， ，则 （　　） 

A．70° B．60° C．50° D．40°

6．若一次函数 的图象经过点 ， ，则 与 的大小关系是（　　） 

A． B． C． D．

7．关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 （　　） 

A．-2 B．-1 C．0 D．1

8．已知 ， ，若 ，则 （　　） 

A．4 B．6 C．8 D．16

9．无色酚酞溶液是一中常见常用酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液酸碱性，通常情况下酚酞溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色．现有5瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液、火碱溶液，将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是（　　） 

A． B． C． D．

10．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE， ， ，则 （　　）

A．4 B． C．2 D．

11．已知二次函数 ，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（　　） 

A． B． C． D．

12．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角 形成的扇面，若 ， ，则阴影部分的面积为（　　） 

A． B． C． D．

二、填空题

13．因式分解： 　               　．

14．如图，小刚在兰州市平面地图的部分区域建立了平面直角坐标系，如果白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0），那么黄河母亲像的坐标是　          　．

15．如图，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将 沿DE翻折得到 ，点F落在AE上．若 ， ，则 　     　cm． 

16．2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：

估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是　     　．（结果精确到0.1）

三、解答题

17．解不等式： ． 

18．计算： ．

19．如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示， ， ， ， ，求 的大小． 

20．如图，小睿为测量公园的一凉亭AB的高度，他先在水平地面点E处用高1.5m的测角仪DE测得 ，然后沿EB方向向前走3m到达点G处，在点G处用高1.5m的测角仪FG测得 ．求凉亭AB的高度．（A，C，B三点共线， ， ， ， ．结果精确到0.1m）（参考数据： ， ， ， ， ， ） 

21．人口问题是“国之大者”．以习近平同志为核心的党中央高度重视人口问题，准确把握人口发展形势，有利于推动社会持续健康发展，为开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军创造良好的条件．某综合与实践研究小组根据我国第七次人口普查数据进行整理、描述和分析，给出部分数据信息：

信息一：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的频数分布直方图如下：

（数据分成6组： ， ， ， ， ， ）

信息二：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数（百万人）在 这一组的数据是：58，47，45，40，43，42，50；

信息三：2010——2021年全国大陆人口数及自然增长率；

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的中位数为　     　百万人．

（2）下列结论正确的是　     　．（只填序号）

①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100（百万人）的有2个地区；

②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢；

③2010-2021年全国大陆人口自然增长率持续降低．

（3）请写出2016-2021年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，结合变化趋势谈谈自己的看法．

22．综合与实践

问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车軎范、芯组成的（如图1），它的端面是圆形，如图2是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端A沿圆周移动，直到 ，在圆上标记A，B，C三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在A，B点上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为D点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，连接AD，BC相交于点O，即O为圆心．

（1）问题解决：请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图确定圆心O．如图3，点A，B，C在 上， ，且 ，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）

（2）类比迁移：小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果AB和AC不相等，用三角板也可以确定圆心O．如图4，点A，B，C在 上， ，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）

（3）拓展探究：小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图5，点A，B，C是 上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）请写出你确定圆心的理由： ▲ ．

23．如图，在 中， ， ， ，M为AB边上一动点， ，垂足为N．设A，M两点间的距离为xcm（ ），B，N两点间的距离为ycm（当点M和B点重合时，B，N两点间的距离为0）． 

小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小明的探究过程，请补充完整．

（1）列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值：

请你通过计算，补全表格： 　     　；

（2）描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点 ，并画出函数y关于x的图像； 

（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：　                 　．

（4）解决问题：当 时，AM的长度大约是　     　cm．（结果保留两位小数） 

24．掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为 ，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．

（1）求y关于x的函数表达式；

（2）根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．

25．如图，点A在反比例函数 的图象上， 轴，垂足为 ，过 作 轴，交过B点的一次函数 的图象于D点，交反比例函数的图象于E点， ．

（1）求反比例函数 和一次函数 的表达式：

（2）求DE的长．

26．如图， 是 的外接圆，AB是直径， ，连接AD， ，AC与OD相交于点E． 

（1）求证：AD是 的切线； 

（2）若 ， ，求 的半径． 

27．在平面直角坐标系中， 是第一象限内一点，给出如下定义： 和 两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k． 

（1）求点 的“倾斜系数”k的值； 

（2）①若点 的“倾斜系数” ，请写出a和b的数量关系，并说明理由； 

②若点 的“倾斜系数” ，且 ，求OP的长；

（3）如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC： 运动， 是正方形ABCD上任意一点，且点P的“倾斜系数” ，请直接写出a的取值范围． 

28．综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点， ，EP与正方形的外角 的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明； 

（1）【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．

（2）【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合）， 是等腰直角三角形， ，连接CP，可以求出 的大小，请你思考并解答这个问题． 

（3）【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合）， 是等腰直角三角形， ，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出 周长的最小值．当 时，请你求出 周长的最小值． 

答案解析部分

1．【答案】B

2．【答案】C

3．【答案】D

4．【答案】A

5．【答案】C

6．【答案】A

7．【答案】B

8．【答案】A

9．【答案】B

10．【答案】C

11．【答案】B

12．【答案】D

13．【答案】（a+4）（a-4）

14．【答案】（-4，1）

15．【答案】

16．【答案】0.9

17．【答案】解：去括号得：2x-6<8，

移项得：2x<8+6，

合并同类项得：2x<14，

系数化1得：x<7，

故不等式的解集为：x<7．

18．【答案】解： ，

= ，

= ，

= ．

19．【答案】解：∵ ， 

∴ ，

∴ ，

∴在 和 中，

∴ ，

∴ ．

20．【答案】解：由题意得：

BC＝FG＝DE＝1.5，DF＝GE＝3，∠ACF＝90°，

设CF＝x，

∴CD＝CF+DF＝（x+3），

在Rt△ACF中，∠AFC＝42°，

∴AC＝CF•tan42°≈0.9x（m），

在Rt△ACD中，∠ADC＝31°，

∴tan31° ，

∴x＝6，

经检验：x＝6是原方程的根，

∴AB＝AC+BC＝0.9x+1.5＝6.9（m），

∴凉亭AB的高约为6.9m．

21．【答案】（1）40

（2）①②

（3）解：2016﹣2021年全国大陆人口数增长缓慢，全国大陆人口自然增长率持续降低．

22．【答案】（1）解：如图所示，点O就是圆的圆心．

（2）解：如图所示，点O就是圆的圆心．

（3）解：如图所示 ，点O就是圆的圆心．

；

弦的垂直平分线经过圆心．

23．【答案】（1）3.2

（2）解：如图所示，

（3）y随x的增大而减小

（4）1.67

24．【答案】（1）解：∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处，

∴设 ，

∵ 经过点(0， )，

∴

解得∶

∴ ，

∴y关于x的函数表达式为 ；

（2）解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶

∵对于二次函数 ，当y=0时，有

∴ ，

解得∶ ，   (舍去)，

∵ >6.70，

∴该女生在此项考试中是得满分．

25．【答案】（1）解：∵点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，AB⊥x轴，

∴S△AOB＝ |k|＝3，

∴k＝6，

∴反比例函数为y＝ ，

∵一次函数y＝ x+b的图象过点B（3，0），

∴ ×3+b＝0，解得b＝ ，

∴一次函数为 ；

（2）解：∵过C（5，0）作CD⊥x轴，交过B点的一次函数y＝ x+b的图象于D点，

∴当x＝5时y＝ ＝ ； ，

∴E（5， ），D（5，3），

∴DE＝3﹣ ．

26．【答案】（1）证明：∵ ， 

∴∠COD=90°，

∵∠BOC+∠COD+∠AOD=180°，

∴∠BOC +∠AOD=90°，

∵ ，

∴∠ADO +∠AOD=90°，

∵∠ADO +∠AOD+∠OAD=180°，

∴∠OAD=90°，

∵OA是⊙O的半径，

∴AD是⊙O的切线；

（2）解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠B+∠BAC=90°，

∵∠BAC+∠CAD=∠OAD=90°，

∴∠B=∠CAD，

∵∠B+∠BOC+∠OCB=∠ADO+∠CAD+∠AED=180°，∠ADO=∠BOC，

∴∠AED=∠OCB，

∵OB=OC，

∴∠B=∠OCB，

∴∠AED=∠CAD，

∴DE=AD= ，

∵OC=OA，

∴∠OAC=∠OCA，

∵OC⊥OD，

∴∠COE=90°，

∴tan∠OAC= tan∠OCA= ，

设OC=OA=R，

则OE= R，

在Rt△OAD中，∠OAD=90°，

由勾股定理，得OD2=OA2+AD2，

即 ，

解得：R=2或R=0(不符合题意，舍去），

∴⊙O的半径为2．

27．【答案】（1）解：由题意，得 ， ， 

∵3> ，

∴点 的“倾斜系数”k=3；

（2）解：①a=2b或b=2a，

∵点 的“倾斜系数” ，

当 =2时，则a=2b；

当 =2时，则b=2a，

∴a=2b或b=2a；

②∵ 的“倾斜系数” ，

当 =2时，则a=2b

∵ ，

∴2b+b=3，

∴b=1，

∴a=2，

∴P(2，1)，

∴OP= ；

当 =2时，则b=2a，

∵ ，

∴a+2a=3，

∴a=1，

∴b=2，

∴P(1，2)

∴OP= ；

综上，OP= ；

（3）解： +1<a<3+

28．【答案】（1）解：AE＝EP，

理由如下：取AB的中点F，连接EF，

∵F、E分别为AB、BC的中点，

∴AF＝BF＝BE＝CE，

∴∠BFE＝45°，

∴∠AFE＝135°，

∵CP平分∠DCG，

∴∠DCP＝45°，

∴∠ECP＝135°，

∴∠AFE＝∠ECP，

∵AE⊥PE，

∴∠AEP＝90°，

∴∠AEB+∠PEC＝90°，

∵∠AEB+∠BAE＝90°，

∴∠PEC＝∠BAE，

∴△AFE≌△ECP（ASA），

∴AE＝EP；

（2）解：在AB上取AF＝EC，连接EF，

由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE，

∵AF＝EC，AE＝EP，

∴△FAE≌△CEP（SAS），

∴∠ECP＝∠AFE，

∵AF＝EC，AB＝BC，

∴BF＝BE，

∴∠BEF＝∠BFE＝45°，

∴∠AFE＝135°，

∴∠ECP＝135°，

∴∠DCP＝45°；

（3）解：作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，

由（2）知，∠DCP＝45°，

∴∠CDG＝45°，

∴△DCG是等腰直角三角形，

∴点D与G关于CP对称，

∴AP+DP的最小值为AG的长，

∵AB＝4，

∴BG＝8，

由勾股定理得AG＝ ，

∴△ADP周长的最小值为AD+AG＝ ．