2022-2023学年北京市东城区汇文中学高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年北京市东城区汇文中学高二上学期期中数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知直线的倾斜角是，则该直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据倾斜角和斜率的关系求斜率即可.
【详解】因为倾斜角为，所以直线的斜率.
故选：D.
2．已知直线在轴上的截距为-2，则此直线方程可以为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】将代入各项直线方程中求值即可.
【详解】A、B、D：将代入方程，可得，不合要求；
C：时，，符合要求；
故选：C
3．“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先根据椭圆知识求出方程表示椭圆的充要条件，再根据必要不充分条件的概念可得结果.
【详解】因为方程表示椭圆的充要条件是，即且，故“”是“方程表示椭圆”的必要而不充分条件.
故选：B.
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了必要不充分条件，属于基础题.
4．下列说法中，
①若两直线平行，则其斜率相等;
②若两直线斜率之积为-1，则这两条直线垂直;.
③若直线与直线垂直，则.
其中正确命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据直线倾斜角与斜率关系、直线垂直的判定判断各项的真假，即可得结果.
【详解】①若两直线平行且两线都垂直于x轴，此时斜率不存在，错误；
②若两直线斜率之积为-1，则这两条直线垂直，正确；
③若直线与直线垂直，则，，错误.
正确命题为②.
故选：A
5．直线截圆所得劣弧所对的圆心角为，则r的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件用圆的半径r表示出圆心到直线距离即可计算作答.
【详解】因直线截圆所得劣弧所对的圆心角为，令劣弧的两个端点为A，B，圆心为O，
于是得为正三角形，圆心O到直线AB：的距离为正的高，
因此，，解得，
所以r的值为.
故选：C
6．已知双曲线：的一个焦点为，则双曲线的一条渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题知,双曲线的焦点在轴上,进而计算,再求渐近线方程即可得答案.
【详解】解:由题知,双曲线的焦点在轴上,
所以,
所以双曲线的渐近线为
故选:B
7．设，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且满足，则的面积为（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】D
【解析】设，由双曲线的性质可得的值，再由，根据勾股定理可得的值，进而求得，即得.
【详解】设，，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，，，，，，的面积为.
故选：D
【点睛】本题考查双曲线的性质，难度不大.
8．如图，已知ABCDEF为正六边形，若以C，F为焦点的双曲线恰好经过A，B，D，E四点，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】以正六边形中心为原点，为x轴，过作垂线为y轴建系，令正六边形的边长为2，求出各顶点坐标，由焦点坐标、点在双曲线上求双曲线参数，进而求离心率.
【详解】如下图，以正六边形中心为原点，为x轴，过作垂线为y轴，
令正六边形的边长为2，则、、、、，，
令所求双曲线为且，A、B、D、E在双曲线上，
所以，解得，故，
则.
故选：D
9．已知椭圆C的焦点为，.过点的直线与C交于A，B两点.若的周长为8，则椭圆C的标准方程为（ ）
A．1B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题设可设椭圆方程为 ，根据焦点三角形的周长得，进而求参数b，即可得标准方程.
【详解】由题设，椭圆焦点在y轴上，若所求椭圆方程为 ，
因为的周长为8，则，故，而，则，
所以椭圆方程为.
故选：C
10．阿基米德是古希腊著名的数学家､物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知在平面直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由椭圆的面积为和两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，结合椭圆的性质，得到关于的方程组，从而可得答案.
【详解】椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，且椭圆的面积为，所以，又因为两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，所以得，解得，
所以椭圆的标准方程是.
故选：A
11．已知圆锥曲线的离心率为方程的根，则满足条件的有（ ）个不同的值
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】解方程得或，讨论、，结合椭圆、双曲线性质判断焦点位置，进而求参数值，即可得结果.
【详解】由，则或，
当时，曲线为椭圆，
当椭圆的焦点在x轴上时,，则，可得符合；
当椭圆的焦点在y轴上时，，则，可得符合；
当时，曲线为双曲线，则，故，可得符合.
综上，有3个不同的值.
故选：C
12．已知双曲线：的右焦点为，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】若左焦点，连接，由题意知为矩形，设，则，，，在直角△、直角△中应用勾股定理列方程可得，且得到关于双曲线参数的齐次方程，即可得离心率.
【详解】如下图，若左焦点，连接，
因为A、B关于原点对称且，所以为矩形，
设，则，，，
在直角△中，即，
所以，
在直角△中，即，
所以.
故选：B
二、填空题
13．a，b，c是两两不等的实数，则经过、两点的直线的倾斜角为____________.
【答案】##45°
【分析】根据倾斜角与斜率关系，利用斜率两点式求倾斜角正切值，即可确定其大小.
【详解】由题设，若直线的倾斜角为，则，
所以.
故答案为：
14．过双曲线的左顶点，且与直线平行的直线方程为____________.
【答案】
【分析】由双曲线方程确定顶点坐标，根据直线平行确定斜率，应用点斜式写出直线方程.
【详解】由双曲线方程知：其左顶点为，
根据直线平行关系知：所求直线的斜率为2，
所以所求直线为，则.
故答案为：
15．以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为_____________.
【答案】
【分析】由双曲线方程写出顶点、焦点坐标，根据题设写出椭圆方程即可.
【详解】由双曲线方程知：顶点坐标为，焦点坐标为，
所以所求椭圆的焦点为，左右顶点为，即，
故，则椭圆方程为.
故答案为：
16．圆与圆的位置关系为_____________.（从“相离”“相交”“相切”“内含”中选一个填入）
【答案】内含
【分析】写出圆的标准形式求出圆心和半径，判断圆心距与两半径的不等关系，即可得答案.
【详解】由的标准形式为，即圆心为，半径为1；
由的标准形式为，即圆心为，半径为；
所以圆心距为1，故两圆为内含关系.
故答案为：内含
17．下列说法中，①方程表示一条直线；
②方程表示的曲线为椭圆；
③方程表示的曲线为双曲线；
④方程表示的曲线为圆心在轴上的一个圆.
以上叙述正确的有____________（写出所有序号）
【答案】①②
【分析】①④将两边平方并整理即可判断，②③根据几何意义，结合椭圆、双曲线的定义判断即可.
【详解】①两边平方得，整理得表示一条直线，正确；
②几何意义为点到的距离和为4且的距离小于4，故的轨迹为椭圆，正确；
③几何意义为点到的距离与到的距离差为1且的距离大于1，故的轨迹为双曲线的一支，错误；
④两边平方并整理得，即且去掉点，其圆心为，曲线为圆心在轴上且去掉点的一个圆，错误.
故答案为：①②
18．已知实数、、、满足：，，，则的最大值为______．
【答案】
【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值．
【详解】设A（x1，y1），B（x2，y2），
=（x1，y1），=（x2，y2），
由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，
可得A，B两点在圆x2+y2=1上，
且•=1×1×cs∠AOB=，
即有∠AOB=60°，
即三角形OAB为等边三角形，
AB=1，
+的几何意义为点A，B两点
到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，
显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，
可设AB：x+y+t=0，（t＞0），
由圆心O到直线AB的距离d=，
可得2=1，解得t=，
即有两平行线的距离为=，
即+的最大值为+，
故答案为+．
【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．
三、解答题
19．在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，.
(1)设线段的中点为，求中线所在直线的方程；
(2)求边上的高所在直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由中点坐标公式得中点坐标为，进而根据点斜式方程求解即可；
（2）先根据直线的斜率得高的斜率，再根据点斜式方程求解即可.
【详解】（1）解：由题意，三个顶点坐标分别为，，，
设中点坐标为，由中点公式可得，，
即中点坐标为，又由斜率公式，可得，
所以中线所在直线的方程为，即
（2）解：由，可得，
所以上的高所在直线的斜率为，
则上的高所在直线的方程为，即.
20．（1）中心在原点，焦点在轴上的双曲线W，经过点，且其实轴长与椭圆：的焦距相等，求双曲线的标准方程：
（2）已知A，B是椭圆：上两点，且A，B两点关于x轴对称，点A在第二象限，点，为等边三角形，求点坐标.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由椭圆方程求焦距，即得双曲线实轴长，再令双曲线为，根据所过的点求得，即可得方程；
（2）若且，结合M坐标和为等边三角形列方程组求参数m、n.
【详解】（1）由题设，椭圆：的焦距为2，则双曲线实轴长，即，
又焦点在轴上，令双曲线为，经过，故，则，
所以双曲线的标准方程为.
（2）由题设，若且，则，
又，为等边三角形，则，
综上，可得，故.
21．（1）已知圆心在轴上且过点的圆与轴相切，求该圆的方程；
（2）过点作圆：的切线，求方程.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）令圆心为，写出圆的方程，根据点在圆上求参数m，即可得方程；
（2）讨论切线的斜率，结合点线距离公式，分别求出圆的切线方程即可.
【详解】（1）由题设，令圆心为，则圆的方程为，
又在圆上，故，可得，
所以圆的方程为.
（2）圆：的圆心为，半径为2，
当切线斜率不存在时有，显然与：相切，满足要求；
当切线斜率存在时，设切线为，即，
由切线与圆心距离等于半径，则，可得，
所以切线方程为，即，
综上，切线方程为或.
22．已知椭圆：，点，过点的直线与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)若直线的斜率为，求的面积；
(2)设直线和直线的斜率分别为和，求证：为定值.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题设有直线为，代入椭圆方程整理得，应用韦达定理、相交弦的弦长公式及点线距离公式、三角形面积公式求的面积；
（2）由题设，令直线联立椭圆整理，应用韦达定理得、，利用斜率两点式可得，进而化简即可证.
【详解】（1）由题设，直线为，即，代入椭圆：，
整理得：，则，，
所以，则，
又到直线距离为，故的面积为.
（2）由题设，直线的斜率一定存在，设直线，
联立椭圆并整理得：，则，，
，，且，，
则为定值.