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浙江省杭州二中白马湖学校2023-2024学年八年级上学期开学数学试卷（含答案）
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这是一份浙江省杭州二中白马湖学校2023-2024学年八年级上学期开学数学试卷（含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
浙江省杭州二中白马湖学校2023-2024学年八年级上学期开学数学试卷（解析版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列甲骨文中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列命题中是假命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．同旁内角互补
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
3．（3分）已知三角形三边的长分别为1、2、x，则x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（3分）下列长度的三条线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．6，15，17 B．7，12，15 C．13，15，20 D．7，24，25
5．（3分）到三角形三边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条高的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条角平分线的交点
6．（3分）直角三角形斜边上的高与中线分别为5cm和6cm，则它的面积为（ ）cm2．
A．30 B．60 C．45 D．15
7．（3分）小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使AB⊥BC，BO＝OC，点A、O、D在同一直线上，就能保证△ABO≌△DCO，可作为证明△ABO≌△DCO的依据的是（ ）
A．SSS B．ASA C．SAS D．HL
8．（3分）如图，已知钝角三角形ABC，依下列步骤尺规作图
步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连接AD，交BC的延长线于点H．
下列叙述正确的是（ ）
A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BAD
C．S△ABC＝BC•AH D．AB＝AD
9．（3分）如图：D，E分别是△ABC的边BC、AC上的点，若AB＝AC，则（ ）
A．当∠B为定值时，∠CDE为定值
B．当∠α为定值时，∠CDE为定值
C．当∠β为定值时，∠CDE为定值
D．当∠γ为定值时，∠CDE为定值
10．（3分）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O出发1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…”的路线运动，设第n秒运动到点Pn（n为正整数），则点P2023的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于x轴对称的点的坐标为 ．
12．（4分）等腰三角形的两边长分别为、3，则它的周长为 ．
13．（4分）若不等式（2a﹣3）x＜2a﹣3的解集为x＞1，则a的取值范围是 ．
14．（4分）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两动点，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则＝ ．
15．（4分）如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，按以下要求画图：以点A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第一条线段AA1；再以A1为圆心、1为半径向右画弧交OB于点A2，得第二条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第三条线段A2A3……这样一直画下去，最多能画 条线段．
16．（4分）在直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（3，4），使△OAP为等腰三角形，写出所有符合条件的点P的坐标 ．
三、解答题（本题有7个小题，共66分）
17．（6分）解不等式（组），并将其解集在数轴上表示出来．
（1）；
（2）．
18．（8分）已知关于x、y的方程组的解为正数，且x的值小于y的值．
（1）求a的取值范围；
（2）化简|8a+11|﹣|10a+1|．
19．（8分）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，∠1＝∠2．求证：△CDE是直角三角形．
20．（10分）已知A（﹣3，0），B（5，0），C（x，y）．
（1）若点C在第二象限内，且|x|＝3，|y|＝3，并求△ABC的面积；
（2）若点C在第四象限内，且△ABC的面积为8，|x|＝4
21．（10分）某校计划为教师购买甲、乙两种词典．已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元．
（1）求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？
（2）学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1600元，那么最多可购买甲种词典多少本？
22．（12分）如图所示，点P在∠AOB内，点M，BO的对称点，MN分别交OA，F．
（1）若∠AOB＝α°，则∠MON＝ ，∠EPF＝ （用含α的代数式表示）；
（2）①若△PEF的周长是10cm，求MN的长．
②若∠O＝45°，OP＝xcm，直接写出△PEF的周长的最小值（用含x的代数式表示）
23．（12分）在△ABC中，点D在直线AB上，点E在平面内，∠E＝∠BDC，AE＝CD
【问题解决】
（1）如图1，若点D在边BA的延长线上，求证：AD+BC＝BE；
【类比探究】
（2）如图2，若点D在线段AB上，请探究线段AD、BC与BE之间存在怎样的数量关系？并证明；
【拓展延伸】
（3）如图3，若点D在线段AB的延长线上，请直接写出线段AD
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列甲骨文中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此可得结论．
【解答】解：A．是轴对称图形；
B．不是轴对称图形；
C．是轴对称图形；
D．是轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题主要考查了轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合．
2．（3分）下列命题中是假命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．同旁内角互补
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【分析】根据对顶角的性质对A进行判断；根据平行线的性质对B进行判断；根据直线公理对C进行判断；根据垂线段公理对D进行判断．
【解答】解：A、对顶角相等；
B、两直线平行，所以B选项为假命题；
C、两点确定一条直线；
D、垂线段最短．
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
3．（3分）已知三角形三边的长分别为1、2、x，则x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可得：1＜x＜3，然后在数轴上表示出来即可．
【解答】解：∵三角形的三边长分别是x，1，2，
∴x的取值范围是2＜x＜3，
故选：A．
【点评】此题考查了三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
4．（3分）下列长度的三条线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．6，15，17 B．7，12，15 C．13，15，20 D．7，24，25
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
【解答】解：A、∵62+154≠172，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形；
B、∵74+122≠152，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形；
C、∵133+152≠202，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形；
D、∵82+242＝258，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
5．（3分）到三角形三边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条高的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条角平分线的交点
【分析】直接利用三角形的内心性质进行判断．
【解答】解：到三角形三边的距离都相等的点是这个三角形的内心，即三个内角平分线的交点．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
6．（3分）直角三角形斜边上的高与中线分别为5cm和6cm，则它的面积为（ ）cm2．
A．30 B．60 C．45 D．15
【分析】据直角三角形斜边上中线性质求出斜边长，再根据直角三角形的面积公式求出面积即可．
【解答】解：∵直角三角形的斜边上的中线为6cm，
∴斜边为2×4＝12（cm），
∵直角三角形斜边上的高为5cm，
∴此直角三角形的面积为×12×5＝30（cm2），
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．
7．（3分）小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使AB⊥BC，BO＝OC，点A、O、D在同一直线上，就能保证△ABO≌△DCO，可作为证明△ABO≌△DCO的依据的是（ ）
A．SSS B．ASA C．SAS D．HL
【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出符合题意的答案．
【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABO＝∠OCD＝90°，
在△ABO和△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO（ASA），
则证明△ABO≌△DCO的依据的是ASA，
故选：B．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
8．（3分）如图，已知钝角三角形ABC，依下列步骤尺规作图
步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连接AD，交BC的延长线于点H．
下列叙述正确的是（ ）
A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BAD
C．S△ABC＝BC•AH D．AB＝AD
【分析】A，根据步骤1，2可以得到CA＝CD，BA＝BD，证得点B、点C在线段AD的垂直平分线上，继而作出判断；
B，要想证明AC平分∠BAD，就要说明∠BAC＝∠CAD，据此作出判断；
C，根据AH是BC边上的高，结合三角形的面积公式作出判断；
D，根据线段之间的和差关系，以及直角三角形中边的关系进行判断即可．
【解答】解：A、正确、BD，
∵CA＝CD，BA＝BD，
∴点C、点B在线段AD的垂直平分线上，
∴BH垂直平分线段AD．
B、错误，所以CA不一定平分∠BDA；
C、错误△ABC＝BC•AH；
D、错误，在Rt△ABH中，但AB不一定等于7倍的AH．
故选：A．
【点评】本题侧重考查线段垂直平分线判定，掌握线段垂直平分线的判定是解题关键．
9．（3分）如图：D，E分别是△ABC的边BC、AC上的点，若AB＝AC，则（ ）
A．当∠B为定值时，∠CDE为定值
B．当∠α为定值时，∠CDE为定值
C．当∠β为定值时，∠CDE为定值
D．当∠γ为定值时，∠CDE为定值
【分析】问题即是判断∠CDE与∠α、∠β、∠γ有无确定关系，通过等边对等角及外角与内角的关系探索求解．
【解答】解：由AB＝AC得∠B＝∠C，
由AD＝AE得∠ADE＝∠AED＝γ，
根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和可知，
∠AED＝∠C+∠CDE，∠ADC＝∠B+∠BAD，
即γ＝∠C+∠CDE，γ+∠CDE＝∠B+α．
故选：B．
【点评】本题充分运用等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，列等式代换，得出结论．
10．（3分）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O出发1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…”的路线运动，设第n秒运动到点Pn（n为正整数），则点P2023的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】每6个点一个循环，它们的纵坐标规律为：，0，，0，﹣，0，点P的横坐标规律为：，1，，2，，3，…，，即可求解．
【解答】解：每6个点一个循环，它的纵坐标规律为：，0，，0，﹣，0，
∵2023÷6＝337......7，
∴点P2023的纵坐标为，
点P的横坐标规律为：，1，，2，，3，......，，
∴点P2023的横坐标为，
∴点P2023的坐标（，），
故选：D．
【点评】本题考查点的规律；理解题意，根据所给图形的特点，结合平面直角坐标系中点的特点及正三角形边的特点，确定点的坐标规律是解题的关键．
二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于x轴对称的点的坐标为 （2，1） ．
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出答案．
【解答】解：点（2，﹣1）关于x轴对称的点的坐标为（5．
故答案为：（2，1）．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
12．（4分）等腰三角形的两边长分别为、3，则它的周长为 6+ ．
【分析】分类讨论：当腰为，则底边为3；当腰为3，则底边为，然后根据三角形三边的关系进行判断，再计算三角形周长．
【解答】解：当腰为，则底边为3，而+，所以这种情况舍去；
当腰为3，则底边为＝6+．
故答案为6+．
【点评】本题考查了二次根式的应用：把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．
13．（4分）若不等式（2a﹣3）x＜2a﹣3的解集为x＞1，则a的取值范围是 a＜ ．
【分析】本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，求得x的解集，再根据数轴上的解集，来求得a的值．
【解答】解：解不等式（2a﹣3）x＜7a﹣3，
当2a﹣8＞0，即a＞时，
原不等式可化为：x＜＝1，与已知相矛盾；
当3a﹣3＜0，即a＜时，
x＞＝4，符合题意，
故a的取值范围是a＜．
【点评】当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．本题需注意，在不等式两边都除以一个负数时，应只改变不等号的方向，余下运算不受影响，该怎么算还怎么算．
14．（4分）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两动点，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则＝ ．
【分析】首先根据题意推出△CAE≌△BCD，可知∠DCB＝∠CAE，因此∠AFG＝∠CAF+∠ACF＝∠ACF+∠DCB＝60°，所以∠FAG＝30°，即可推出结论．
【解答】解：∵AD＝BE，
∴CE＝BD，
∵等边三角形ABC，
∴△CAE≌△BCD，
∴∠DCB＝∠CAE，
∴∠AFG＝∠CAF+∠ACF＝∠ACF+∠DCB＝60°，
∵AG⊥CD，
∴∠FAG＝30°，
∴FG：AF＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的性质，解题的关键在于根据题意推出△CAE≌△BCD和∠AFG＝∠CAF+∠ACF＝∠ACF+∠DCB＝60°．
15．（4分）如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，按以下要求画图：以点A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第一条线段AA1；再以A1为圆心、1为半径向右画弧交OB于点A2，得第二条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第三条线段A2A3……这样一直画下去，最多能画 9 条线段．
【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB，∠A2A1C，∠A3A2B，∠A4A3C的度数．然后分析，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．
【解答】解：∵AO＝A1A，A1A＝A3A1，…，
∴∠AOA1＝∠OA4A，∠A1AA2＝∠A7A2A，…，
∵∠BOC＝9°，
∴∠A7AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A8A2B＝36°的度数，∠A4A5C＝45°，…，
∴9°n＜90°．
∴n＜10．
∵n为整数，
∴n＝9．
故答案为：8．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形外角的性质，解决本题的关键是找出规律．
16．（4分）在直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（3，4），使△OAP为等腰三角形，写出所有符合条件的点P的坐标 P1（﹣5，0），P2（，0），P3（5，0），P4（6，0） ．
【分析】分别以O、A为圆心，以OA长为半径作圆，与坐标轴交点即为所求点B，再作线段OA的垂直平分线，与坐标轴的交点也是所求的点B，作出图形，利用数形结合求解即可．
【解答】解：∵A（3，4），
∴OA＝6，
∴P1（﹣5，3），P2（，8），P3（5，5），P4（6，2）．
故答案为：P1（﹣5，4），P2（，8），P3（5，3），P4（6，8）．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
三、解答题（本题有7个小题，共66分）
17．（6分）解不等式（组），并将其解集在数轴上表示出来．
（1）；
（2）．
【分析】（1）不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：（1），
去分母得：2（3x﹣1）﹣3（8x+1）＞6，
去括号得：3x﹣2﹣15x﹣3＞5，
移项、合并得：﹣11x＞11，
解得：x＜﹣1，
；
（2），
由①得：x≤1，
由②得：x＞﹣2，
则不等式组解集为﹣8＜x≤1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式，掌握求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了是本题的关键．
18．（8分）已知关于x、y的方程组的解为正数，且x的值小于y的值．
（1）求a的取值范围；
（2）化简|8a+11|﹣|10a+1|．
【分析】（1）①﹣②得出3y＝﹣2a+10，求出y，①×2+②求出x，根据关于x、y的方程组的解为正数，且x的值小于y的值，得出，求出不等式组的解集即可；
（2）根据（1）中a的取值范围得出|8a+11+10a+1，求出即可．
【解答】（1）解：，
①﹣②得：6y＝﹣2a+10，
y＝，
①×2+②得：3x＝6a+11，
x＝，
∵关于x、y的方程组，且x的值小于y的值，
∴，
解得：﹣＜a＜﹣；
（2）解：∵﹣＜a＜﹣，
∴|8a+11|﹣|10a+1|＝8a+11+10a+1＝18a+12．
【点评】本题考查了绝对值、解方程组、解不等式组的应用，关键是得出关于a的不等式组，题目比较好，但有一定难度．
19．（8分）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，∠1＝∠2．求证：△CDE是直角三角形．
【分析】根据∠1＝∠2，得DE＝CE，利用“HL”可证明Rt△ADE≌Rt△BEC，根据全等三角形的性质得∠ADE＝∠BEC，从而得出∠BEC+∠AED＝90°，则△CDE是直角三角形．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴DE＝CE，
∵∠A＝∠B＝90°，
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL），
∴∠ADE＝∠BEC，
∵∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠BEC+∠AED＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∴△CDE是直角三角形．
【点评】本题考查了直角三角形的判定，全等三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
20．（10分）已知A（﹣3，0），B（5，0），C（x，y）．
（1）若点C在第二象限内，且|x|＝3，|y|＝3，并求△ABC的面积；
（2）若点C在第四象限内，且△ABC的面积为8，|x|＝4
【分析】（1）因为点C在第二象限内，所以x＜0，y＞0，因为|x|＝3，|y|＝3，所以x＝﹣3，y＝3，即点C的坐标为（﹣3，3），再根据点A（﹣3，0），B（5，0）的坐标，即可得出△ABC的面积；
（2）因为△ABC的面积为8，点C在第四象限内，所以×8×（﹣y）＝8，得y＝﹣2，由|x|＝4，得x＝4，即可得出点C的坐标．
【解答】解：（1）∵点C在第二象限内，
∴x＜0，y＞0，
∵|x|＝3，|y|＝3，
∴x＝﹣3，y＝3，
∴点C的坐标为（﹣3，3），
∵A（﹣5，0），0），
∴△ABC的面积＝×8×8＝12；
（2）∵△ABC的面积为8，点C在第四象限内，
∴×8×（﹣y）＝8，
∴y＝﹣4，
∵|x|＝4，
∴x＝4，
∴点C的坐标为（3，﹣2）．
【点评】本题考查直角坐标系内点的坐标的确定，解题的关键是正确处理线段长度与坐标之间的关系．
21．（10分）某校计划为教师购买甲、乙两种词典．已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元．
（1）求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？
（2）学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1600元，那么最多可购买甲种词典多少本？
【分析】（1）设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，根据“购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设学校购买甲种词典m本，则购买乙种词典（30﹣m）本，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过1600元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：每本甲种词典的价格为70元，每本乙种词典的价格为50元．
（2）设学校购买甲种词典m本，则购买乙种词典（30﹣m）本，
依题意，得：70m+50（30﹣m）≤1600，
解得：m≤5．
答：学校最多可购买甲种词典5本．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22．（12分）如图所示，点P在∠AOB内，点M，BO的对称点，MN分别交OA，F．
（1）若∠AOB＝α°，则∠MON＝ 2α° ，∠EPF＝ 180°﹣2α° （用含α的代数式表示）；
（2）①若△PEF的周长是10cm，求MN的长．
②若∠O＝45°，OP＝xcm，直接写出△PEF的周长的最小值（用含x的代数式表示）
【分析】（1）如图，连接OP、OM、ON，根据轴对称的性质可得△OMP和△EMP都是等腰三角形，且∠MOA＝∠AOP，进而可根据等腰三角形的性质得∠OME＝∠OPE，同理可得∠BOP＝∠BON，∠OPF＝∠ONF，于是可推得∠MON＝2∠AOB，∠EPF＝∠OPE+∠OPF＝∠OMN+∠ONM，再根据已知条件和三角形的内角和定理即可求出答案；
（2）①根据轴对称的性质可推出MN＝△PEF的周长，进而可得结果；
②易得△OMN是等腰直角三角形，且OM＝ON＝OP＝x，从而可根据勾股定理求出MN，而由轴对称的性质可知MN即为△PEF的周长的最小值，于是可得结果．
【解答】解：（1）如图，连接OP、ON．
∵M是点P关于AO的对称点，
∴OP＝OM，ME＝PE，
∴∠OMP＝∠OPM，∠EMP＝∠EPM，
∴∠OME＝∠OPE，
同理可得：OP＝ON，∠BOP＝∠BON，
∴OM＝ON，∠MON＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB＝4α°；
∴∠OMN+∠ONM＝180°﹣∠MON＝180°﹣2α°，
∴∠EPF＝∠OPE+∠OPF＝∠OMN+∠ONM＝180°﹣2α°，
故答案为：4α°，180°﹣2α°；
（2）①∵M、N分别是点P关于AO，
∴ME＝PE，NF＝PF，
∴MN＝ME+EF+FN＝PE+EF+PF＝△PEF的周长，
∵△PEF的周长等于10cm，
∴MN＝10cm；
②∵∠AOB＝45°，OM＝ON＝OP＝x，
∴∠MON＝2∠AOB＝90°，，
∵MN＝△PEF的周长，且△PEF的周长的最小值为MN的长，
∴△PEF的周长的最小值是cm．
【点评】本题考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．
23．（12分）在△ABC中，点D在直线AB上，点E在平面内，∠E＝∠BDC，AE＝CD
【问题解决】
（1）如图1，若点D在边BA的延长线上，求证：AD+BC＝BE；
【类比探究】
（2）如图2，若点D在线段AB上，请探究线段AD、BC与BE之间存在怎样的数量关系？并证明；
【拓展延伸】
（3）如图3，若点D在线段AB的延长线上，请直接写出线段AD
【分析】（1）先证∠EAB＝∠BCD，再由ASA证得△EAB≌△DCB，得出BE＝BD，AB＝BC，即可得出结论；
（2）先证∠EAB＝∠BCD，再由ASA证得△EAB≌△DCB，得出BE＝BD，AB＝BC，即可得出结论；
（3）先证∠EAB＝∠BCD，再由ASA证得△EAB≌△DCB，得出BE＝BD，AB＝BC，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠EAB+∠DCF＝180°，∠BCD+∠DCF＝180°，
∴∠EAB＝∠BCD，
在△EAB和△DCB中，
，
∴△EAB≌△DCB（ASA），
∴BE＝BD，AB＝BC，
∵BD＝AD+AB，
∴AD+BC＝BE；
（2）解：线段AD、BC与BE之间是BC﹣AD＝BE
∵∠EAB+∠DCF＝180°，∠BCD+∠DCF＝180°，
∴∠EAB＝∠BCD，
在△EAB和△DCB中，
，
∴△EAB≌△DCB（ASA），
∴BE＝BD，AB＝BC，
∵BD＝AB﹣AD，
∴BC﹣AD＝BE；
（3）解：线段AD、BC与BE之间是AD﹣BC＝BE
∵∠EAB+∠DCF＝180°，∠DCB+∠DCF＝180°，
∴∠EAB＝∠DCB，
在△EAB和△DCB中，
，
∴△EAB≌△DCB（ASA），
∴BE＝BD，AB＝BC，
∵BD＝AD﹣AB，
∴AD﹣BC＝BE．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平角的定义等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
浙江省杭州二中白马湖学校2023-2024学年八年级上学期开学数学试卷（解析版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列甲骨文中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列命题中是假命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．同旁内角互补
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
3．（3分）已知三角形三边的长分别为1、2、x，则x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（3分）下列长度的三条线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．6，15，17 B．7，12，15 C．13，15，20 D．7，24，25
5．（3分）到三角形三边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条高的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条角平分线的交点
6．（3分）直角三角形斜边上的高与中线分别为5cm和6cm，则它的面积为（ ）cm2．
A．30 B．60 C．45 D．15
7．（3分）小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使AB⊥BC，BO＝OC，点A、O、D在同一直线上，就能保证△ABO≌△DCO，可作为证明△ABO≌△DCO的依据的是（ ）
A．SSS B．ASA C．SAS D．HL
8．（3分）如图，已知钝角三角形ABC，依下列步骤尺规作图
步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连接AD，交BC的延长线于点H．
下列叙述正确的是（ ）
A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BAD
C．S△ABC＝BC•AH D．AB＝AD
9．（3分）如图：D，E分别是△ABC的边BC、AC上的点，若AB＝AC，则（ ）
A．当∠B为定值时，∠CDE为定值
B．当∠α为定值时，∠CDE为定值
C．当∠β为定值时，∠CDE为定值
D．当∠γ为定值时，∠CDE为定值
10．（3分）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O出发1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…”的路线运动，设第n秒运动到点Pn（n为正整数），则点P2023的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于x轴对称的点的坐标为 ．
12．（4分）等腰三角形的两边长分别为、3，则它的周长为 ．
13．（4分）若不等式（2a﹣3）x＜2a﹣3的解集为x＞1，则a的取值范围是 ．
14．（4分）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两动点，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则＝ ．
15．（4分）如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，按以下要求画图：以点A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第一条线段AA1；再以A1为圆心、1为半径向右画弧交OB于点A2，得第二条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第三条线段A2A3……这样一直画下去，最多能画 条线段．
16．（4分）在直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（3，4），使△OAP为等腰三角形，写出所有符合条件的点P的坐标 ．
三、解答题（本题有7个小题，共66分）
17．（6分）解不等式（组），并将其解集在数轴上表示出来．
（1）；
（2）．
18．（8分）已知关于x、y的方程组的解为正数，且x的值小于y的值．
（1）求a的取值范围；
（2）化简|8a+11|﹣|10a+1|．
19．（8分）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，∠1＝∠2．求证：△CDE是直角三角形．
20．（10分）已知A（﹣3，0），B（5，0），C（x，y）．
（1）若点C在第二象限内，且|x|＝3，|y|＝3，并求△ABC的面积；
（2）若点C在第四象限内，且△ABC的面积为8，|x|＝4
21．（10分）某校计划为教师购买甲、乙两种词典．已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元．
（1）求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？
（2）学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1600元，那么最多可购买甲种词典多少本？
22．（12分）如图所示，点P在∠AOB内，点M，BO的对称点，MN分别交OA，F．
（1）若∠AOB＝α°，则∠MON＝ ，∠EPF＝ （用含α的代数式表示）；
（2）①若△PEF的周长是10cm，求MN的长．
②若∠O＝45°，OP＝xcm，直接写出△PEF的周长的最小值（用含x的代数式表示）
23．（12分）在△ABC中，点D在直线AB上，点E在平面内，∠E＝∠BDC，AE＝CD
【问题解决】
（1）如图1，若点D在边BA的延长线上，求证：AD+BC＝BE；
【类比探究】
（2）如图2，若点D在线段AB上，请探究线段AD、BC与BE之间存在怎样的数量关系？并证明；
【拓展延伸】
（3）如图3，若点D在线段AB的延长线上，请直接写出线段AD
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列甲骨文中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此可得结论．
【解答】解：A．是轴对称图形；
B．不是轴对称图形；
C．是轴对称图形；
D．是轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题主要考查了轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合．
2．（3分）下列命题中是假命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．同旁内角互补
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【分析】根据对顶角的性质对A进行判断；根据平行线的性质对B进行判断；根据直线公理对C进行判断；根据垂线段公理对D进行判断．
【解答】解：A、对顶角相等；
B、两直线平行，所以B选项为假命题；
C、两点确定一条直线；
D、垂线段最短．
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
3．（3分）已知三角形三边的长分别为1、2、x，则x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可得：1＜x＜3，然后在数轴上表示出来即可．
【解答】解：∵三角形的三边长分别是x，1，2，
∴x的取值范围是2＜x＜3，
故选：A．
【点评】此题考查了三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
4．（3分）下列长度的三条线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．6，15，17 B．7，12，15 C．13，15，20 D．7，24，25
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
【解答】解：A、∵62+154≠172，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形；
B、∵74+122≠152，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形；
C、∵133+152≠202，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形；
D、∵82+242＝258，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
5．（3分）到三角形三边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条高的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条角平分线的交点
【分析】直接利用三角形的内心性质进行判断．
【解答】解：到三角形三边的距离都相等的点是这个三角形的内心，即三个内角平分线的交点．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
6．（3分）直角三角形斜边上的高与中线分别为5cm和6cm，则它的面积为（ ）cm2．
A．30 B．60 C．45 D．15
【分析】据直角三角形斜边上中线性质求出斜边长，再根据直角三角形的面积公式求出面积即可．
【解答】解：∵直角三角形的斜边上的中线为6cm，
∴斜边为2×4＝12（cm），
∵直角三角形斜边上的高为5cm，
∴此直角三角形的面积为×12×5＝30（cm2），
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．
7．（3分）小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使AB⊥BC，BO＝OC，点A、O、D在同一直线上，就能保证△ABO≌△DCO，可作为证明△ABO≌△DCO的依据的是（ ）
A．SSS B．ASA C．SAS D．HL
【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出符合题意的答案．
【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABO＝∠OCD＝90°，
在△ABO和△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO（ASA），
则证明△ABO≌△DCO的依据的是ASA，
故选：B．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
8．（3分）如图，已知钝角三角形ABC，依下列步骤尺规作图
步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连接AD，交BC的延长线于点H．
下列叙述正确的是（ ）
A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BAD
C．S△ABC＝BC•AH D．AB＝AD
【分析】A，根据步骤1，2可以得到CA＝CD，BA＝BD，证得点B、点C在线段AD的垂直平分线上，继而作出判断；
B，要想证明AC平分∠BAD，就要说明∠BAC＝∠CAD，据此作出判断；
C，根据AH是BC边上的高，结合三角形的面积公式作出判断；
D，根据线段之间的和差关系，以及直角三角形中边的关系进行判断即可．
【解答】解：A、正确、BD，
∵CA＝CD，BA＝BD，
∴点C、点B在线段AD的垂直平分线上，
∴BH垂直平分线段AD．
B、错误，所以CA不一定平分∠BDA；
C、错误△ABC＝BC•AH；
D、错误，在Rt△ABH中，但AB不一定等于7倍的AH．
故选：A．
【点评】本题侧重考查线段垂直平分线判定，掌握线段垂直平分线的判定是解题关键．
9．（3分）如图：D，E分别是△ABC的边BC、AC上的点，若AB＝AC，则（ ）
A．当∠B为定值时，∠CDE为定值
B．当∠α为定值时，∠CDE为定值
C．当∠β为定值时，∠CDE为定值
D．当∠γ为定值时，∠CDE为定值
【分析】问题即是判断∠CDE与∠α、∠β、∠γ有无确定关系，通过等边对等角及外角与内角的关系探索求解．
【解答】解：由AB＝AC得∠B＝∠C，
由AD＝AE得∠ADE＝∠AED＝γ，
根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和可知，
∠AED＝∠C+∠CDE，∠ADC＝∠B+∠BAD，
即γ＝∠C+∠CDE，γ+∠CDE＝∠B+α．
故选：B．
【点评】本题充分运用等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，列等式代换，得出结论．
10．（3分）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O出发1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…”的路线运动，设第n秒运动到点Pn（n为正整数），则点P2023的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】每6个点一个循环，它们的纵坐标规律为：，0，，0，﹣，0，点P的横坐标规律为：，1，，2，，3，…，，即可求解．
【解答】解：每6个点一个循环，它的纵坐标规律为：，0，，0，﹣，0，
∵2023÷6＝337......7，
∴点P2023的纵坐标为，
点P的横坐标规律为：，1，，2，，3，......，，
∴点P2023的横坐标为，
∴点P2023的坐标（，），
故选：D．
【点评】本题考查点的规律；理解题意，根据所给图形的特点，结合平面直角坐标系中点的特点及正三角形边的特点，确定点的坐标规律是解题的关键．
二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于x轴对称的点的坐标为 （2，1） ．
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出答案．
【解答】解：点（2，﹣1）关于x轴对称的点的坐标为（5．
故答案为：（2，1）．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
12．（4分）等腰三角形的两边长分别为、3，则它的周长为 6+ ．
【分析】分类讨论：当腰为，则底边为3；当腰为3，则底边为，然后根据三角形三边的关系进行判断，再计算三角形周长．
【解答】解：当腰为，则底边为3，而+，所以这种情况舍去；
当腰为3，则底边为＝6+．
故答案为6+．
【点评】本题考查了二次根式的应用：把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．
13．（4分）若不等式（2a﹣3）x＜2a﹣3的解集为x＞1，则a的取值范围是 a＜ ．
【分析】本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，求得x的解集，再根据数轴上的解集，来求得a的值．
【解答】解：解不等式（2a﹣3）x＜7a﹣3，
当2a﹣8＞0，即a＞时，
原不等式可化为：x＜＝1，与已知相矛盾；
当3a﹣3＜0，即a＜时，
x＞＝4，符合题意，
故a的取值范围是a＜．
【点评】当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．本题需注意，在不等式两边都除以一个负数时，应只改变不等号的方向，余下运算不受影响，该怎么算还怎么算．
14．（4分）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两动点，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则＝ ．
【分析】首先根据题意推出△CAE≌△BCD，可知∠DCB＝∠CAE，因此∠AFG＝∠CAF+∠ACF＝∠ACF+∠DCB＝60°，所以∠FAG＝30°，即可推出结论．
【解答】解：∵AD＝BE，
∴CE＝BD，
∵等边三角形ABC，
∴△CAE≌△BCD，
∴∠DCB＝∠CAE，
∴∠AFG＝∠CAF+∠ACF＝∠ACF+∠DCB＝60°，
∵AG⊥CD，
∴∠FAG＝30°，
∴FG：AF＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的性质，解题的关键在于根据题意推出△CAE≌△BCD和∠AFG＝∠CAF+∠ACF＝∠ACF+∠DCB＝60°．
15．（4分）如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，按以下要求画图：以点A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第一条线段AA1；再以A1为圆心、1为半径向右画弧交OB于点A2，得第二条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第三条线段A2A3……这样一直画下去，最多能画 9 条线段．
【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB，∠A2A1C，∠A3A2B，∠A4A3C的度数．然后分析，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．
【解答】解：∵AO＝A1A，A1A＝A3A1，…，
∴∠AOA1＝∠OA4A，∠A1AA2＝∠A7A2A，…，
∵∠BOC＝9°，
∴∠A7AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A8A2B＝36°的度数，∠A4A5C＝45°，…，
∴9°n＜90°．
∴n＜10．
∵n为整数，
∴n＝9．
故答案为：8．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形外角的性质，解决本题的关键是找出规律．
16．（4分）在直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（3，4），使△OAP为等腰三角形，写出所有符合条件的点P的坐标 P1（﹣5，0），P2（，0），P3（5，0），P4（6，0） ．
【分析】分别以O、A为圆心，以OA长为半径作圆，与坐标轴交点即为所求点B，再作线段OA的垂直平分线，与坐标轴的交点也是所求的点B，作出图形，利用数形结合求解即可．
【解答】解：∵A（3，4），
∴OA＝6，
∴P1（﹣5，3），P2（，8），P3（5，5），P4（6，2）．
故答案为：P1（﹣5，4），P2（，8），P3（5，3），P4（6，8）．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
三、解答题（本题有7个小题，共66分）
17．（6分）解不等式（组），并将其解集在数轴上表示出来．
（1）；
（2）．
【分析】（1）不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：（1），
去分母得：2（3x﹣1）﹣3（8x+1）＞6，
去括号得：3x﹣2﹣15x﹣3＞5，
移项、合并得：﹣11x＞11，
解得：x＜﹣1，
；
（2），
由①得：x≤1，
由②得：x＞﹣2，
则不等式组解集为﹣8＜x≤1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式，掌握求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了是本题的关键．
18．（8分）已知关于x、y的方程组的解为正数，且x的值小于y的值．
（1）求a的取值范围；
（2）化简|8a+11|﹣|10a+1|．
【分析】（1）①﹣②得出3y＝﹣2a+10，求出y，①×2+②求出x，根据关于x、y的方程组的解为正数，且x的值小于y的值，得出，求出不等式组的解集即可；
（2）根据（1）中a的取值范围得出|8a+11+10a+1，求出即可．
【解答】（1）解：，
①﹣②得：6y＝﹣2a+10，
y＝，
①×2+②得：3x＝6a+11，
x＝，
∵关于x、y的方程组，且x的值小于y的值，
∴，
解得：﹣＜a＜﹣；
（2）解：∵﹣＜a＜﹣，
∴|8a+11|﹣|10a+1|＝8a+11+10a+1＝18a+12．
【点评】本题考查了绝对值、解方程组、解不等式组的应用，关键是得出关于a的不等式组，题目比较好，但有一定难度．
19．（8分）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，∠1＝∠2．求证：△CDE是直角三角形．
【分析】根据∠1＝∠2，得DE＝CE，利用“HL”可证明Rt△ADE≌Rt△BEC，根据全等三角形的性质得∠ADE＝∠BEC，从而得出∠BEC+∠AED＝90°，则△CDE是直角三角形．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴DE＝CE，
∵∠A＝∠B＝90°，
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL），
∴∠ADE＝∠BEC，
∵∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠BEC+∠AED＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∴△CDE是直角三角形．
【点评】本题考查了直角三角形的判定，全等三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
20．（10分）已知A（﹣3，0），B（5，0），C（x，y）．
（1）若点C在第二象限内，且|x|＝3，|y|＝3，并求△ABC的面积；
（2）若点C在第四象限内，且△ABC的面积为8，|x|＝4
【分析】（1）因为点C在第二象限内，所以x＜0，y＞0，因为|x|＝3，|y|＝3，所以x＝﹣3，y＝3，即点C的坐标为（﹣3，3），再根据点A（﹣3，0），B（5，0）的坐标，即可得出△ABC的面积；
（2）因为△ABC的面积为8，点C在第四象限内，所以×8×（﹣y）＝8，得y＝﹣2，由|x|＝4，得x＝4，即可得出点C的坐标．
【解答】解：（1）∵点C在第二象限内，
∴x＜0，y＞0，
∵|x|＝3，|y|＝3，
∴x＝﹣3，y＝3，
∴点C的坐标为（﹣3，3），
∵A（﹣5，0），0），
∴△ABC的面积＝×8×8＝12；
（2）∵△ABC的面积为8，点C在第四象限内，
∴×8×（﹣y）＝8，
∴y＝﹣4，
∵|x|＝4，
∴x＝4，
∴点C的坐标为（3，﹣2）．
【点评】本题考查直角坐标系内点的坐标的确定，解题的关键是正确处理线段长度与坐标之间的关系．
21．（10分）某校计划为教师购买甲、乙两种词典．已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元．
（1）求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？
（2）学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1600元，那么最多可购买甲种词典多少本？
【分析】（1）设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，根据“购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设学校购买甲种词典m本，则购买乙种词典（30﹣m）本，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过1600元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：每本甲种词典的价格为70元，每本乙种词典的价格为50元．
（2）设学校购买甲种词典m本，则购买乙种词典（30﹣m）本，
依题意，得：70m+50（30﹣m）≤1600，
解得：m≤5．
答：学校最多可购买甲种词典5本．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22．（12分）如图所示，点P在∠AOB内，点M，BO的对称点，MN分别交OA，F．
（1）若∠AOB＝α°，则∠MON＝ 2α° ，∠EPF＝ 180°﹣2α° （用含α的代数式表示）；
（2）①若△PEF的周长是10cm，求MN的长．
②若∠O＝45°，OP＝xcm，直接写出△PEF的周长的最小值（用含x的代数式表示）
【分析】（1）如图，连接OP、OM、ON，根据轴对称的性质可得△OMP和△EMP都是等腰三角形，且∠MOA＝∠AOP，进而可根据等腰三角形的性质得∠OME＝∠OPE，同理可得∠BOP＝∠BON，∠OPF＝∠ONF，于是可推得∠MON＝2∠AOB，∠EPF＝∠OPE+∠OPF＝∠OMN+∠ONM，再根据已知条件和三角形的内角和定理即可求出答案；
（2）①根据轴对称的性质可推出MN＝△PEF的周长，进而可得结果；
②易得△OMN是等腰直角三角形，且OM＝ON＝OP＝x，从而可根据勾股定理求出MN，而由轴对称的性质可知MN即为△PEF的周长的最小值，于是可得结果．
【解答】解：（1）如图，连接OP、ON．
∵M是点P关于AO的对称点，
∴OP＝OM，ME＝PE，
∴∠OMP＝∠OPM，∠EMP＝∠EPM，
∴∠OME＝∠OPE，
同理可得：OP＝ON，∠BOP＝∠BON，
∴OM＝ON，∠MON＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB＝4α°；
∴∠OMN+∠ONM＝180°﹣∠MON＝180°﹣2α°，
∴∠EPF＝∠OPE+∠OPF＝∠OMN+∠ONM＝180°﹣2α°，
故答案为：4α°，180°﹣2α°；
（2）①∵M、N分别是点P关于AO，
∴ME＝PE，NF＝PF，
∴MN＝ME+EF+FN＝PE+EF+PF＝△PEF的周长，
∵△PEF的周长等于10cm，
∴MN＝10cm；
②∵∠AOB＝45°，OM＝ON＝OP＝x，
∴∠MON＝2∠AOB＝90°，，
∵MN＝△PEF的周长，且△PEF的周长的最小值为MN的长，
∴△PEF的周长的最小值是cm．
【点评】本题考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．
23．（12分）在△ABC中，点D在直线AB上，点E在平面内，∠E＝∠BDC，AE＝CD
【问题解决】
（1）如图1，若点D在边BA的延长线上，求证：AD+BC＝BE；
【类比探究】
（2）如图2，若点D在线段AB上，请探究线段AD、BC与BE之间存在怎样的数量关系？并证明；
【拓展延伸】
（3）如图3，若点D在线段AB的延长线上，请直接写出线段AD
【分析】（1）先证∠EAB＝∠BCD，再由ASA证得△EAB≌△DCB，得出BE＝BD，AB＝BC，即可得出结论；
（2）先证∠EAB＝∠BCD，再由ASA证得△EAB≌△DCB，得出BE＝BD，AB＝BC，即可得出结论；
（3）先证∠EAB＝∠BCD，再由ASA证得△EAB≌△DCB，得出BE＝BD，AB＝BC，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠EAB+∠DCF＝180°，∠BCD+∠DCF＝180°，
∴∠EAB＝∠BCD，
在△EAB和△DCB中，
，
∴△EAB≌△DCB（ASA），
∴BE＝BD，AB＝BC，
∵BD＝AD+AB，
∴AD+BC＝BE；
（2）解：线段AD、BC与BE之间是BC﹣AD＝BE
∵∠EAB+∠DCF＝180°，∠BCD+∠DCF＝180°，
∴∠EAB＝∠BCD，
在△EAB和△DCB中，
，
∴△EAB≌△DCB（ASA），
∴BE＝BD，AB＝BC，
∵BD＝AB﹣AD，
∴BC﹣AD＝BE；
（3）解：线段AD、BC与BE之间是AD﹣BC＝BE
∵∠EAB+∠DCF＝180°，∠DCB+∠DCF＝180°，
∴∠EAB＝∠DCB，
在△EAB和△DCB中，
，
∴△EAB≌△DCB（ASA），
∴BE＝BD，AB＝BC，
∵BD＝AD﹣AB，
∴AD﹣BC＝BE．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平角的定义等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
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