2023-2024学年浙江省杭州市余杭区八年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年浙江省杭州市余杭区八年级（上）开学数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  要使分式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  一组数据共个，分为组，第至第组的频数分别为，，，，第组的频率为，则第组的频数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知：，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，直线，则为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  已知分式，，其中，则与的关系是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  把一副三角板按如图所示摆放，使，点恰好落在的延长线上，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  若的值为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  用若干个形状，大小完全相同的长方形纸片围成正方形，个长方形纸片围成如图所示的正方形，其阴影部分的面积为；个长方形纸片围成如图所示的正方形，其阴影部分的面积为；个长方形纸片围成如图所示的正方形，其阴影部分的面积为(    )

 

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  用科学记数法表示 ______ ．

12.  已知，则代数式的值为______．

13.  若分式方程有增根，则______．

14.  已知，，则 ______ ．
已知，则 ______ ．

15.  如图，已知，，，则            ．

16.  观察下列等式：，，，若，则 ______ 用含的代数式表示

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
因式分解：
；
．

18.  本小题分
先化简，再求值：
，其中；
，其中．

19.  本小题分
“触发青春灵感，点亮科学生活”某中学举行了“科普知识”竞赛，为了解此次“科普知识”竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的不完整的统计表和统计图，如图所示．
 

请根据图表信息解答以下问题．
中 ______ ，一共抽取了______ 个参赛学生的成绩；
补全频数分布直方图；
计算扇形统计图中“”与“”对应的圆心角度数；
若成绩在分以上包括分的为“优”等，所抽取学生成绩为“优”的占所抽取学生的百分比是多少？

20.  本小题分
如图，，．
判定与的大小关系，并说明理由；
若平分，于点，，求的度数．
 

21.  本小题分
已知关于，的方程组为实数．
若，试探究方程组的解，之间的关系；
若方程组的解满足，求分式的值．

22.  本小题分
为改善生态环境，促进国土绿化，某市甲、乙两支志愿者队伍分别参加了两地的植树活动．
甲队在地植树，如果每人种棵，还剩下棵树苗；如果每人种棵，则缺少棵树苗求甲队志愿者的人数和地需种植的树苗数．
乙队在地植树，原计划植树棵，由于另有新加入的志愿者共同参与植树，每日比原计划多种，结果提前天完成任务问原计划每天植树多少棵？

23.  本小题分
如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图的正方形．

由图可以直接写出，，之间的一个等量关系是______ ；
根据中的结论，解决下列问题：，，求的值；
两个正方形，如图摆放，边长分别为，若，，求图中阴影部分面积和．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．
【解答】
解：、，故此选项错误；
B、，故此选项正确；
C、，故此选项错误；
D、 ，故此选项错误，
故选：．

2.【答案】 

【解析】A.是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B.没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；
C.没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；
D.把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；
故选：．
根据因式分解的定义是把一个多项式化为几个整式的积的形式的变形，可得答案．
本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式的变形是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】【分析】
根据分式有意义得出分母不为，列式计算可得答案．
本题考查了分式有意义的条件，分式有意义即分母不为零．
【解答】
解：由题意得，，
解得．
故选：．

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，得
第五组频数是，
故第六组的频数是．
故选：．
首先根据频数总数频率，求得第五组频数；再根据各组的频数和等于总数，求得第六组的频数．
本题是对频率、频数灵活运用的综合考查．用到的知识点：各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于；频率、频数的关系：频率频数数据总数．

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
故选：．
把所求式子变形为，再整体代入即可．
本题考查平方差公式的应用，解题的关键是掌握平方差公式．

6.【答案】 

【解析】解：，
所对应的同旁内角为，
又与的角是对顶角，
．
故选：．
本题主要利用两直线平行，同旁内角互补以及对顶角相等进行做题．
本题重点考查了平行线的性质及对顶角相等，是一道较为简单的题目．

7.【答案】 

【解析】解：

，
而，
，
故选：．
先将通分后变为同分母分式相加，再观察、关系即可得答案．
本题考查分式的加减，解题的关键是将通分变为同分母分式相加．

8.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键．
依据平行线的性质，即可得到的度数，再根据，即可得到的度数．
【解答】
解：，
，
又，
．

9.【答案】 

【解析】解：设，
的值为，
，解得，
．
故选：．
可设，根据的值为，可求的值，再整体代入可求的值．
考查了分式的值，关键是整体思想的运用．

10.【答案】 

【解析】解：因为图中阴影部分的面积是，
所以阴影正方形的边长为．
同理图中阴影正方形的边长为．
设小长方形的长为，宽为，
则，解得．
所以小长方形的长为，宽为．
又图中阴影正方形的边长为：，
所以图中阴影正方形的面积为：．
故选：．
由图和图阴影部分的面积，可求出小长方形的长和宽，进而解决问题．
本题考查完全平方公式的几何背景，能根据图图中阴影正方形的面积求出小长方形的长和宽是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：用科学记数法可以表示为．
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．

12.【答案】 

【解析】解：，




，
故答案为：．
根据的值和完全平方差公式可以解答本题．
本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．

13.【答案】 

【解析】解：等式两边同乘，得：，
解得：，
方程有增根，
即，
．
故答案为：．
分式方程去分母转化为整式方程，求得，由分式方程有增根，得到最简公分母为求出的值，据此得出关于的方程求出的值即可．
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

14.【答案】   

【解析】解：，，




；
故答案为：；
，
，
，
，
．
故答案为：．
利用同底数幂的乘法、除法和幂的乘方运算计算；
利用同底数幂的乘法和幂的乘方运算计算．
本题考查了同底数幂的乘法、除法和幂的乘方运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法、除法和幂的乘方运算法则．

15.【答案】 

【解析】解：如图：

，，
，
，，
．
故答案为：．
根据平行线的性质，可得的度数，已知，利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和解题．
本题主要考查了平行线的性质，三角形的内外角关系．解题的关键是掌握平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．

16.【答案】 

【解析】解：，





．
故答案为：．
由题意可得，再将代入即可求解．
本题考查了规律型：数字的变化类，是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：．

17.【答案】解：；


． 

【解析】利用提公因式法分解因式；
利用完全平方公式和平方差公式分解因式．
本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法．

18.【答案】解：

，
当时，原式；



，
当时，原式． 

【解析】先根据完全平方公式和多项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可；
先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式和分式的化简求值，能正确根据整式的运算法则和分式的运算法则进行计算是解此题的关键．

19.【答案】，；


“”对应的圆心角度数为，
“”对应的圆心角度数为；
所抽取学生成绩为“优”的占所抽取学生的百分比是． 

【解析】解：由频数分布表知，
本次抽查的学生人数为人，
故答案为：、；
补全频数分布直方图如下：

见答案；见答案．
由频数分布直方图可得的值，根据组人数及其所占百分比可得总人数；
根据频数分布表可补全图形；
用分别乘以、组人数所占比例即可；
用、组人数和除以被调查的总人数即可．
本题考查的是频数分布直方图、频数分布表和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

20.【答案】证明：理由如下：
，
，
又，
，
，
；
平分，
，
又，
，
又，
，
，
，，
，，
． 

【解析】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定进行计算是解决本题的关键．
根据平行线的性质可得，已知，所以，即，根据平行线的性质两直线平行，同位角相等即可得出答案；
因为平分，所以，根据三角形内角和与邻补角的性质，得到，可计算出的度数，因为，，根据平行线的性质可得，即可得出答案．

21.【答案】解：解方程组，
得当时，，
则，，
；
由，可得，
即，
，
可得，
把代入分式得． 

【解析】本题考查二元一次方程组的解法和应用，代数式求值，代入法是常用的方法．
求出方程组的解，即可得出，之间的关系；
把方程组的解代入，可得，即，可得，再代入所求式子计算即可．

22.【答案】解：设甲队志愿者有人，地需种植的树苗数为棵；
由题意得：
解得：
答：甲队志愿者有人，地需种植的树苗数为棵；

设原计划每天植树棵；
由题意得：
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：原计划每天植树棵． 

【解析】根据“人，每人种棵的树苗数总数量；人，每人种棵的树苗数总数量”列方程组，解出可得答案；
根据原计划植树的天数现在植树的天数列分式方程，解出可得答案．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组和分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程或方程组．

23.【答案】 

【解析】解：大正方形的面积等于个小长方形和小正方形面积之和，
．
．
故答案为：；
由得：．

．
；
，为正方形，边长分别为，，
，．
．
．
，．
，
．
，，
，
．
根据大正方形的面积等于个小长方形和小正方形面积之和，可得结论；
利用中关系式计算可得结论；
利用三角形的面积公式计算出阴影部分的面积，然后整体代入即可．
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，利用图形面积之间的关系得到，，之间的等量关系式是解题的关键．