新余市第四中学2023届九年级上学期第二次阶段检测数学试卷(含解析)

2022－2023学年江西省新余四中九年级数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1．在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ）

A．等边三角形 B．直角三角形 C．正五边形 D．正六边形

2．在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（    ）

A． B． C． D．

3．若点与点关于原点对称，则的值为（    ）

A． B． C． D．

4．电影《长津湖》一上映，第一天票房亿元，若每天票房的平均增长率相同，三天后累计票房收入达亿元，平均增长率记作，方程可以列为(   )

A． B．

C． D．

5．如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于E，AB＝8，OD＝5，则CE的长为（    ）

A．4 B．2 C． D．1

6．如图，矩形中，，，，分别是直线，上的两个动点，，沿翻折形成，连接，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7．一元二次方程的根是      ．

8．如图，是的直径，，则等于      ．

9．已知二次函数与一次函数的图象相交于点和，如图所示，则使不等式成立的的取值范围是      ．

10．一个圆锥的底面半径，高，则这个圆锥的侧面积是      ．

11．如图，将正方形绕点A逆时针旋转度得到正方形，连接，，点分别为，的中点，连接，若的长度为1，则的长度为             ．

12．如图所示，已知二次函数的部分图象，下列结论中：

；

；

若为任意实数，则有；

若函数图象经过点，则；

当函数图象经过时，方程的两根为，，则．

其中正确的结论有      ．

三、解答题（本大题共12小题，共84.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13．解方程：．

14．已知：A、B、C、D是⊙O上的四个点，且，求证：AC=BD．

15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与x轴交于点A、B（点A在点B左侧）．

（1）求二次函数的解析式及顶点坐标；

（2）根据图象直接写出当y＞0时，自变量x的取值范围．

16．如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，．

(1)求证：；

(2)连接，若，求的度数．

17．已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，．

(1)求k的取值范围；

(2)若，求k的值．

18．在中，，点在以为直径的半圆外．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．

(1)在图①中作弦，使；

(2)在图②中以为边作一个的圆周角．

19．如图，三个顶点的坐标分别为，，．

(1)请画出将绕点顺时针旋转后得到的图形；

(2)请画出将关于原点成中心对称的图形；

(3)当绕点顺时针旋转后得到时，点对应旋转到点，请直接写出点的坐标．

20．如图，内接于⊙，是⊙的直径．直线与⊙相切于点，在上取一点使得．线段，的延长线交于点．

（1）求证：直线是⊙的切线；

（2）若，，求阴影部分的面积（结果保留）．

21．恰逢新余桔子成熟的时节，为增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导某农户进行桔子种植和销售，已知桔子的种植成本为元/千克，经市场调查发现，今年销售期间桔子的销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足的函数图象如图所示．

(1)根据图象信息，求与的函数关系式；

(2)请同学们求一下这位农户销售桔子获得的最大利润．

22．如图所示，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连结，在第一象限内的抛物线上，是否存在一点，使的面积最大？最大面积是多少？

23．我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形．

如图，与的三边，，分别相切于点，，则叫做的外切三角形，以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形．

如图，与四边形的边，，，分别相切于点，，，，则四边形叫做的外切四边形．

(1)如图，试探究圆外切四边形的两组对边，与，之间的数量关系，猜想：______（横线上填“”，“”或“”）；

(2)利用图证明你的猜想；

(3)若圆外切四边形的周长为．相邻的三条边的比为．求此四边形各边的长．

24．如图，已知二次函数和二次函数图象的顶点分别为M，N，与y轴分别交于点E，F．

(1)函数的最小值为 ，当二次函数的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是

(2)当时，直接写出a的值，

(3)若二次函数的图象与x轴的右交点为，当为等腰三角形时，求方程的解．

1．D

解析：解：．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

B．不一定是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不合题意；

D．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意．

故选：D．

2．B

解析：解：∵的顶点坐标为（0，0）

∴将二次函数的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（-2，1），

∴所得抛物线对应的函数表达式为，

故选B

3．A

解析：解：点与点关于原点对称，

，，

，．

．

故选：．

4．D

解析：解：第一天票房约亿元，且以后每天票房的增长率为，

第二天票房约亿元，第三天票房约亿元．

依题意得：．

故选：D．

5．B

解析：解：连接OA，如图，

∵AB⊥CD，

∴AE＝BEAB＝4，

在Rt△OAE中，OE3，

∴CE＝OC﹣OE＝5﹣3＝2．

故选：B．

6．C

解析：解：如图作点关于的对称点，连接，．

在中，

，，

．，

，

，

是定值，

当、、、共线时，定值最小，最小值，

的最小值为，

故选：C．

7．，

解析：解：，

或，

所以，．

故答案为：，．

8．##64度

解析：解：，

，

故答案为：．

9．

解析：解：观察函数图象知，当时，直线在抛物线的上方，即，

故答案为：．

10．

解析：解：圆锥的母线，

∴圆锥的侧面积．

11．

解析：解：连接BE，

∵在中，点分别为，的中点，

∴是的中位线，

∵的长度为1，

∴，

∵正方形绕点逆时针旋转，

∴，

∴为等边三角形，

∴，

∵四边形是正方形，

∴，

∴，

故答案为：．

12．②④⑤

解析：解：由抛物线开口向上，因此，

对称轴是直线，因此、同号，所以，

抛物线与轴的交点在负半轴，因此． ，

所以，故①不正确；

由对称轴可得，

由图象可知，当时，，即，

，

又，

，

因此②正确；

当时，，

当时，，

即，

（为任意实数）时，有，

因此③不正确；

函数图象经过点，即，而，

，

，

因此④正确；

当函数图象经过时，方程的两根为，，而对称轴为，

，，

，

因此⑤正确；

综上所述，正确的结论有：②④⑤，

故答案为：②④⑤．

13．

解析：解：方法一：

原方程可化为．

．

方法二：

配方，得，

即．

直接开平方，得，

．

14．详见解析

解析：证明：∵

∴

∴

15．（1），；（2）或．

解析：解：（1）将代入得，

，

，

，

顶点坐标为；

（2）令得，

解得，，

，，

当时，自变量的取值范围是或．

16．(1)见解析

(2)

解析：（1）证明：是等边三角形，

，．

线段绕点顺时针旋转，得到线段，

，．

．

．

在和中，

，

．

（2）解：如图，

，，

为等边三角形．

，

，

．

．

17．(1)

(2)2

解析：（1）解：关于的一元二次方程有两个不等实数根，

此方程根的判别式，

解得．

（2）解：由题意得：，

解得或，

由（1）已得：，

则的值为2．

18．(1)见解析

(2)见解析

解析：（1）解：如图：连接，即为，

在中，，

，

又四边形是圆内接四边形，

，

，

；

（2）解：如图：过点A作的垂线，交半圆于点，连接，，

，

又，

．

19．(1)见解析

(2)见解析

(3)

解析：（1）解：如图，即为所求；

（2）如图，即为所求；

（3）根据（1）的图可得的坐标．

20．（1）见解析；（2）

解析：（1）证明：连接OC，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∵DA＝DC，

∴∠DAC＝∠DCA，

∵直线与⊙相切于点，

∴∠DAO＝90°，

∴∠DAC+∠OAC＝90°，

∴∠DCA+∠OCA＝90°，

∴∠DCO＝90°，

∴OC⊥DC，

又∵点C在⊙上，

∴直线是⊙的切线；

（2）解：∵∠CAB＝30°，

∴∠COB＝2∠CAB＝60°，

又∵OB＝OC，

∴BOC为等边三角形，

∴OB＝OC＝BC＝2，

∴，

∵∠OCE＝90°，∠COB＝60°，

∴∠E＝90°－∠COB＝30°，

∴OE＝2OC＝4，

∴在RtCOE中，，

∴

，

∴

∴阴影部分的面积为．

21．(1)

(2)元

解析：（1）当时，设，

则，

解得：，

当时，，

当时，，

．

（2）设利润为，则：

当时，

，

开口向下，对称轴为直线，

时，元，

当时，，

随的增大而增大，

时，元，

，

最大利润为元．

22．（1）；（2）存在，当时，面积最大为16，此时点点坐标为．

解析：解：（1）∵抛物线过点，

∴．

∵抛物线的对称轴为直线，

∴可设抛物线为．

∵抛物线过点，

∴，解得．

∴抛物线的解析式为，即．

（2）存在，设点的坐标为，连结、、．

∵点A、关于直线对称，且

∴．

∴

．

∵

∴当时，面积最大为16，此时点点坐标为．

23．(1)

(2)见解析

(3)，，，

解析：（1）解：与四边形的边，，，分别相切于点，，，，

猜想，

故答案为：；

（2）解：已知：四边形的四边，，，都于相切于，，，，

求证：，

证明：，和相切，

，

同理：，，，

，

即：圆外切四边形的对边和相等；

（3）解：相邻的三条边的比为∶∶，

设此三边为，，，

根据圆外切四边形的性质得，第四边为，

圆外切四边形的周长为，

，

，

此四边形的四边的长为，，，．

即此四边形各边的长为：，，，．

24．(1)4；

(2)a的值为

(3)方程的解为或或

解析：（1）∵二次函数，

∴顶点M坐标为，

∵，

∴函数的最小值为4，

∵二次函数的对称轴为，当时，y随x的增大而减小；

二次函数的对称轴为，当时，y随x的增大而减小；

∴当二次函数的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是，

故答案为：4；．

（2）由二次函数可知，

由二次函数可知，

∵，

∴

，

∴，

∴；

（3）由为等腰三角形，可分如下三种情况：

①如图，

当时，过点N作轴，垂足为点D，

则有，，

在中，，即，

∴（不合题意，舍去），

∴，

由抛物线的对称轴为，

∴它与x轴的另一个交点坐标为，

∴方程的解为；

②如图，

当时，过轴，垂足为G，

则有，，，

∴在中，，即，

又∵，

∴，

解得，

∴，

则抛物线的左交点坐标，

∴方程的解为；

③当时，

在中， ，即，

解得（不合题意，舍去），

∴，

则抛物线的左交点坐标，

∴方程的解为．

综上所述，当为等腰三角形时，方程的解为或或．