山东省济宁市兖州区2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

2022—2023学年第二学期期中质量检测

高一数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知向量，，则

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【详解】因为，所以=（5，7），故选A.

考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.

2. 已知复数，则的虚部为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数的除法运算法则化简，再由虚部的定义求解即可.

【详解】复数

所以的虚部为，

故选：C.

3. 在中，已知，则角等于（    ）

A. 或 B. 或 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据正弦定理解三角形即可，要注意角度的取值范围.

【详解】根据正弦定理有，

题中

又中，，选项ABC错误，选项D正确

故选：D.

4. 将曲线C1：上的点向右平移个单位长度，再将各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到曲线C2，则C2的方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据三角函数的变换规则计算可得.

【详解】解：将向右平移个单位长度得到，再将各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得到；

故选：A

5. 已知向量，向量．若向量与向量垂直，则（    ）

A.  B.  C. 3 D. 5

【答案】A

【解析】

【分析】由向量与垂直求出，根据模长的坐标表示即得.

【详解】因为，向量与垂直，

所以，所以，即，

∴.

故选：A.

6. 在中，，，，D，E分别是边上的三等分点，则的值是（    ）

A. 6 B.  C. 8 D.

【答案】B

【解析】

【分析】以作为基底分别表示出，再根据平面向量的数量积运算即可求出．

【详解】因为D，E分别是边上的三等分点，不妨设，，所以，

由可得，，即，同理可得，

，所以．

故选：B．

7 已知，若，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知可得，，应用同角三角函数平方关系求出，，进而利用差角正弦公式求.

【详解】由题设，，，

∴，，

∴

故选：C

8. 2022年北京冬奥会，首钢滑雪大跳台（如图1）是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．某校研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A（如图2）距离地面的高度AB（AB与地面垂直），在赛道一侧找到一座建筑物PQ，测得PQ的高度为25.4米，并从P点测得A点的仰角为30°；在赛道与建筑物PQ之间的地面上的点M处测得A点，P点的仰角分别为75°和30°（其中B，M，Q三点共线），该学习小组利用这些数据估算得赛道造型最高点A距离地面的高度约为（    ）（参考数据：，，）

A. 58 B. 60 C. 66 D. 68

【答案】B

【解析】

【分析】在中，求得PM，在中，利用正弦定理求得AM，然后在中，由 求解.

【详解】解：如图所示：

由题意得：，

在中，，

在中，由正弦定理得，

所以，

在中， ，

故选：B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知复数，则下列结论中正确的是（    ）

A. 对应的点位于第二象限 B. 的虚部为2 C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，根据复数的几何意义判断A，根据共轭复数及复数的概念判断B，根据复数的模判断C，根据复数代数形式的乘法运算判断D.

【详解】因为，

所以在复平面内对应的点为，位于第一象限，故A错误；

，则复数的虚部为，故B错误，

，故C正确；

，故D正确；

故选：CD

10. 《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形（图2）中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，且，则下列说法正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】根据正八边形的性质、平面向量数量积的定义及向量加法的平行四边形法则判断即可；

【详解】解：依题意，故A错误；

，故B正确；

因为，即，

所以以，为邻边的平行四边形为正方形，对角线长为，所以，故C正确；

因为，所以，故D错误；

故选：BC

11. 已知函数（其中）的部分图象如图所示.则下列结论正确的是（    ）

A. 函数的图象关于直线对称

B. 函数的图象关于点对称

C. 函数在区间上单调递增

D. 与图象的所有交点的横坐标之和为

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据图像求出函数解析式，再逐个选项判断即可.

【详解】由题意，，，

所以，又，

可得，又，

所以，所以.

因为，

所以不是函数的对称轴，A错；

，

所以是对称中心，B正确；

时，，

所以在上单调递增，C正确；

，，

所以或，

即或，

又，

所以，它们的和为，D正确.

故选：BCD

12. 如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记．在上述坐标系中，若，，则（    ）

A.  B.  C.  D. 与夹角的余弦值为

【答案】AD

【解析】

【分析】由题设，且，利用向量数量积的运算律求、和，进而求夹角，即可判断各项正误.

【详解】由题意，，且，A正确；

所以，则，，则，B错误；

，故C错误；

由上知：，D正确.

故选：AD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.

13. 已知，，，且是与方向相同的单位向量，则在上的投影向量为______.

【答案】

【解析】

【分析】利用向量夹角公式以及向量投影公式直接求解.

【详解】设与夹角，则，

所以在上的投影向量为，

故答案为：.

14. 在中，若，，的面积为，则的值为_______.

【答案】

【解析】

【分析】首先求出，由面积求出，再由余弦定理计算可得.

【详解】因为，所以，则，

又，解得，

由余弦定理，

所以.

故答案为：

15. 将函数的图象向左平移个单位长度．得到函数g(x)的图象，若g(x)是奇函数，则φ＝_______．

【答案】

【解析】

【分析】首先根据平移规律求函数的解析式，再根据函数是奇函数，求的值.

【详解】函数向左平移个单位长度，得到函数，

函数是奇函数，所以，则，，

则，，因为，所以.

故答案为：

16. 如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形的斜边，直角边、，点在以为直径的半圆上．已知以直角边、为直径的两个半圆的面积之比为3，，则______．

【答案】

【解析】

【分析】由以直角边、为直径的两个半圆的面积之比为3，可得，进而可得，从而利用两角差的余弦公式即可求解.

【详解】解：因为以直角边、为直径两个半圆的面积之比为3，所以，

所以在直角三角形中，

因为，所以，

所以，

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知复数，

（1）当取什么值时，复数是纯虚数；

（2）当复数在复平面内对应的点位于第四象限时，求的取值范围．

【答案】（1） ；（2） .

【解析】

【分析】（1）根据实部为零，虚部不为零得到方程，解得即可；

（2）依题意可得，再解一元二次不等式组即可；

【详解】（1）当时，解得或，解得且，即时，复数为纯虚数．

（2）当复数在复平面内对应的点位于第四象限时，，解得或，解得，所以

18. 已知向量，，且与的夹角为.

（1）求；

（2）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由向量的夹角公式，求得，所以，求得，即可求得；

（2）根据，求得，再结合向量与共线时，求得，即可求得实数的取值范围.

【小问1详解】

解：向量，，可得，，且，

因为与的夹角为，可得，

解得或（舍），所以，则，

所以.

【小问2详解】

解：由向量，，

可得，，

由，解得，

当向量与共线时，可得，解得，

所以实数的取值范围为.

19. 记的内角的对边分别为，已知．

（1）证明：；

（2）若，求的周长．

【答案】（1）见解析    （2）14

【解析】

【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；

（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解.

【小问1详解】

证明：因为，

所以，

所以，

即，

所以；

【小问2详解】

解：因为，

由（1）得，
由余弦定理可得，

则，

所以，

故，

所以，

所以的周长为.

20. 学军中学11月在杭州乐园举行了秋游活动，其中“旋转木马”项目受到了师生们的喜爱．假设木马旋转时为逆时针方向的水平匀速圆周运动，圆心为O，半径为5米，周期为1分钟．如图，在旋转木马右侧有一固定相机C（C，O两点分别在AB的异侧），若记木马一开始的位置为点A，与C的直线距离为7米．110秒后木马的位置为点B，与C的直线距离为8米．

（1）求弦长的值；

（2）求旋转中心O到C点的距离．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先求出木马旋转的角度，进而得到，从而求得弦长的值；

（2）在三角形中，先根据余弦定理求出，进而得到，又在三角形中，根据余弦定理即可求得．

【小问1详解】

连接

由木马旋转的角度为，即，

所以三角形为等边三角形，所以；

【小问2详解】

连接，

在三角形中，

由余弦定理有，

因为，所以，

又，

在三角形中，由余弦定理有，

故旋转中心O到C点距离为．

21. 已知向量（cosx，cosx），（cosx，sinx）．

（1）若∥，，求x的值；

（2）若f（x）•，，求f（x）的最大值及相应x的值．

【答案】（1）或（2）的最大值为，此时

【解析】

【分析】（1）利用向量共线得到三角方程，转化为三角函数求值问题，易解；

（2）把数量积转化为三角函数，利用角的范围结合单调性即可得到最大值．

【详解】解：（1）∵，，

，

∴，

∴，

∴cosx＝0或，

即cosx＝0或tanx，

∵，

∴或；

（2）

∵，

∴，

∴，

∴，

故f（x）的最大值为，此时．

【点睛】本题考查三角函数的图像与性质，考查了向量共线与数量积的坐标运算，考查转化能力与计算能力.

22. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.

（1）设函数，试求的伴随向量；

（2）由（1）中函数的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象，已知，问在的图象上是否存在一点P，使得．若存在，求出Р点坐标；若不存在，说明理由.

【答案】（1）   

（2）存在，

【解析】

【分析】（1）根据辅助角公式进行化简，结合伴随向量的定义进行求解即可；

（2）根据三角函数的图象变换关系求出的解析式，结合向量垂直建立方程关系进行求解．

【小问1详解】

，故；

【小问2详解】

，

所以，

假设存在点，使得，

则，

即，

因，所以，

所以，

又因为，

所以当且仅当时，和同时等于，此时，