山东省济宁市2022-2023学年高二数学下学期期末试题（Word版附解析）

2022—2023学年度第二学期质量检测

高二数学试题

2023.07

本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自已的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用集合的交集运算即可；

【详解】，，

又

，

故选：C.

2. 命题“R，”的否定是（    ）

A. R， B. R，

C R， D. R，

【答案】D

【解析】

【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断.

【详解】含有一个量词的特称命题的否定，在否定结论的同时将存在量词改为全称量词，

即命题“R，”的否定是“R，”，

故选：D.

3. 已知幂函数在上单调递减，则（    ）

A.  B.  C. 3 D. 或3

【答案】B

【解析】

【分析】根据幂函数的定义求出的值，再根据条件即可求出结果.

【详解】因为函数为幂函数，

所以，即，解得或，

又在上单调递减，所以，

故选：B.

4. 设是数列的前项和，已知且，则（    ）

A. 101 B. 81 C. 32 D. 16

【答案】B

【解析】

【分析】分类讨论和，构造，化简得到通项公式即可求解.

【详解】时，，

时，①

②

由得：，且n=1时也满足，

故是首项为1，公比为3的等比数列，，

故选：B.

5. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】C

【解析】

【分析】先求导，根据在点处的切线、直线垂直斜率之积为求解.

【详解】，，则，

故选：C.

6. “”是“函数在区间上单调递增”的（    ）

A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据复合函数的单调性判定的范围，并且注意定义域.

【详解】因为在区间单调递增，

则，

是必要不充分条件，

故选：A.

7. 已知甲袋中装有个红球，个白球，乙袋中装有3个红球，4个白球，先从甲袋中任取1球放入乙袋中，再从乙袋中任取出1球，若取出的是红球的概率为，则从甲袋中任取一个球，取出的是红球的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据概率的可加性原则，分别计算两种情况概率然后求和，找到的关系，然后求解即可；

【详解】先从甲袋中任取1球放入乙袋中，有两种情况；

第一种，抽到红球放入，最后取出红球的概率为：；

第二种，未抽到红球放入，最后取出红球的概率为：；

根据题意，，解得：，

则从甲袋中任取一个球，取出的是红球的概率为：；

故选：C.

8. 已知函数的定义域为，都有，函数，且为奇函数，则不等式的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数为奇函数，得到，然后结合题意，根据函数的单调性求解；

【详解】解析：因为为奇函数，

所以，即，

所以 ， 所以，

所以等价于

又因为，都有

所以函数在上单调递减，

所以，

解得，

所以不等式的解集为.

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列结论中正确的是（    ）

A. 样本相关系数的绝对值越接近1，则成对样本数据的线性相关程度越强

B. 样本相关系数的绝对值越接近0，则成对样本数据的线性相关程度越弱

C. 已知变量，具有线性相关关系，在获取的成对样本数据，，…，中，，，…，和，，…，的均值分别为和，则点必在其经验回归直线上

D. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越宽，说明模型的拟合效果越好

【答案】ABC

【解析】

【分析】A, B选项根据样本相关系数的意义判断即可；C选项根据样本中心点在经验回归直线上判断；D选项由残差点分布的水平带状区域宽窄说明模型的拟合效果判断.

【详解】选项A，B，由样本相关系数的意义可知，

样本相关系数的绝对值越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，

样本相关系数的绝对值越接近0，则成对样本数据的线性相关程度越弱

故选项A，B正确;

点必在其经验回归直线上, 故选项C正确;

在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好，故选项D错误；

故选：ABC.

10. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加演出，下列说法中正确的是（    ）

A. 若甲不在正中间，则不同的排列方式共有96种

B. 若甲、乙、丙三人互不相邻，则不同的排列方式共有6种

C. 若甲、丙、丁从左到右的顺序一定，则不同的排列方式共有20种

D. 若甲不在两端、丙和丁相邻，则不同的排列方式共有24种

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A：先排甲同学，再排剩余的同学，结合分步乘法计数原理运算求解；对于B：先排甲、丙、丁同学，再排剩余的同学，结合分步乘法计数原理运算求解；对于C：利用插空法运算求解；对于选项D：利用间接法运算求解.

【详解】对于选项A：因为甲不在正中间，则甲的不同的排列方式有种，

剩余的四人全排列，不同的排列方式有种，

所以不同的排列方式共有种，故A正确；

对于选项B：若甲、乙、丙三人互不相邻，则甲、乙、丙三人在首位、中间和末位，

则不同的排列方式有种，

剩余的2人全排列，不同的排列方式有种，

所以不同的排列方式共有种，故B错误；

对于选项C：若甲、丙、丁从左到右的顺序一定，则有四个间隔空位，

若乙、戊不相邻，把乙、戊安排四个间隔空位中，不同的排列方式共有种；

若乙、戊相邻，把两人看成整体安排四个间隔空位中，不同的排列方式共有种；

所以不同的排列方式共有种，故C正确；

对于选项D：若丙和丁相邻，不同的排列方式共有种，

若甲在两端、丙和丁相邻，则不同的排列方式共有种，

所以甲不在两端、丙和丁相邻，则不同的排列方式共有种，故D正确；

故选：ACD.

11. 已知，，则下列条件中可以使得的最小值为4的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】利用基本不等式依次求出最值即可求解.

【详解】选项A，若时，，

当且仅当时等号成立，即，故A错误；

选项B，若时，，

当且仅当时等号成立，即，故B正确；

选项C，若时，两边平方得，

因为，所以，即，

当且仅当等号成立，故C正确；

选项D，若，则，

因为，所以，

所以，即，

当且仅当时等号成立，故D错误；

故选：BC.

12. 已知函数，，则下列说法中正确的是（    ）

A.  B. 函数与函数有相同的最大值

C.  D. 方程有且仅有一个实数根

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A，对求导后，可得在内单调递减，又，利用单调性即可判断；对于B，由A可得，对求导后可得，从而可判断；对于C，由，再在内单调递减即可判断；对于D，结合函数图像易知方程在内有且仅有一个实数根，再证明在内恒成立，即可判断.

【详解】对于A：，则当时，单调递增，

当时，单调递减，所以，

又，所以，故A错误；

对于：由A可得，

因为，则当时，单调递增，

当时，单调递减，所以，B正确；

对于C：若，即，

即，结合函数在内单调递减，且，故C正确；

对于D：结合函数图像易知，方程在内有且仅有一个实数根，

下面证明，在内恒成立，

，即

当时，单调递减且，所以，D正确.

故选：BCD

【点睛】关键点睛：对于C，注意到，从而利用函数在内单调递减，即可判断.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 某次数学考试中，学生成绩，若，则__________．

【答案】##

【解析】

【分析】根据学生成绩服从正态分布，由正态分布的对称性可得，即可得答案.

【详解】由于学生成绩，

所以

故答案为：.

14. 的展开式中的常数项为__________（用数字作答）.

【答案】

【解析】

【分析】利用二项展开式的通项公式求解.

【详解】由二项展开式的通项公式得

，

由解得，则常数项为，

故答案为：.

15. 已知函数则__________．

【答案】2

【解析】

【分析】由函数的周期性可知，再根据相应的范围代入相应的解析式中即可求解.

【详解】当时，由得，

即时，的周期为，，

则，

故答案为：.

16. 如图1，抛物线上任意两点连接所得的弦与抛物线围成一个弓形区域，求抛物线弓形区域的面积是古希腊数学家阿基米得最优美的成果之一，阿基米德的计算方法是：将弓形区域分割成无数个三角形，然后将所有三角形的面积加起来就可以得到弓形区域的面积．第一次分割，如图2，在弓形区域里以为底边分割出一个三角形，确保过顶点的抛物线的切线与底边平行，称为一级三角形；第二次分割，如图3，以，两个边，为底边，在第一次分割得到的两个弓形区域继续分割出两个三角形，，确保过顶点，的抛物线的切线分别与，平行，，都称为二级三角形；重复上述方法，继续分割新产生的弓形区域……，借助抛物线几何性质，阿基米德计算得出任意一级的所有三角形的面积都相等，且每个三角形的面积都是其上一级的一个三角形面积的．设抛物线的方程为，直线的方程为，请你根据上述阿基米德的计算方法，求经过次分割后得到的所有三角形面积之和为__________．

【答案】

【解析】

【分析】理解新定义的概念，先找到一级三角形的面积，再根据三角形面积的数量关系判定每一级三角形的面积构成等比数列，利用等比数列求和进行计算.

【详解】,,

设与直线平行的抛物线的切线的切点为，

则，解得，所以，

所以点到直线的距离为，

由解得或所以，

所以，

根据规律，每一级三角形的个数是上一级个数的2倍，

每一级三角形的面积是上一级的面积的，

则每一级三角形的面积，

故经过次分割后得到的所有三角形面积之和为：

.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题考查新定义问题，解题关键是找到关于面积的数量关系．本题中先求出，然后根据每一级三角形的面积的数量关系，表示出，由等比数列求和公式求解．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知等差数列的前项和为，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由，得，，从而求得，进而求得通项公式；

（2）利用分组求和方法，结合公式法即可求解

【小问1详解】

由，得，，

则，解得，

所以，数列的通项公式.

【小问2详解】

由（1）知，

所以，

18. 为研究在校学生每天玩手机时间是否大于1小时和学生近视之间的关联性，某视力研究机构采取简单随机抽样的方法，调查了2000名在校学生，得到成对样本观测数据，样本中有的学生近视，有的学生每天玩手机超过1小时，而每天玩手机超过1小时的学生近视率为．

（1）根据上述成对样本观测数据，完成如下列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析每天玩手机时间是否超过1小时会不会影响视力．

（2）从近视的学生中随机抽取8人，其中每天玩手机时间超过1小时的2人，不超过1小时的6人，现从8人中随机选出3人，设3人中每天玩手机时间超过1小时的学生人数为，求随机变量的分布列．

参考公式：

参考数据：下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．

【答案】（1）列联表见解析，长时间（每天超过1小时）玩手机与视力情况有关联   

（2）分布列见解析

【解析】

分析】（1）先列出列联表，根据独立性检验公式求解即可；

（2）由离散型随机变量的分布列求解.

【小问1详解】

根据列联表中的数据，经计算得到

根据小概率值的独立性检验，我们认为长时间（每天超过1小时）玩手机与视力情况有关联．

【小问2详解】

随机变量的可能取值为0，1，2．

则，，，

所以的分布列为

19. 已知函数．

（1）若函数为偶函数，求的值；

（2）当时，若函数在上的最小值为0，求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)由为偶函数，直接求解即可.

(2)先分段讨论，找出，讨论函数的单调性，由此找到最小值.

【小问1详解】

若函数为偶函数，

则，即，

所以，

所以.

【小问2详解】

时，,

当时，

在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增，

又，，所以，解得，

当时，在内单调递增，

所以，解得（舍），

综上:.

20. 已知函数．

（1）若是函数的极值点，求的值；

（2）若函数有两个零点，求的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）求导，利用导数研究函数的单调性、极值.

（2）利用导数研究函数的单调性、图象，根据函数有两个零点求解.

【小问1详解】

函数的定义域为，

因为，所以，

若是函数的极值点，则，所以．

当时，若则，函数在上单调递增，

若则，函数在上单调递减，

所以是函数的极小值点，此时.

【小问2详解】

由（1）知，

若，则，函数在区间上单调递增，

若，则，函数在区间上单调递减，

所以是函数的极小值点，，

当时，，当时，，

所以若函数有两个零点，则仅需，

所以．

21. 甲乙两名同学玩“猜硬币，向前进”的游戏，规则是：每一局抛一次硬币，甲乙双方各猜一个结果，要求双方猜的结果不能相同，猜对的一方前进2步，猜错的一方后退1步，游戏共进行局，规定游戏开始时甲乙初始位置一样．

（1）当时，设游戏结束时甲与乙的步数差为，求随机变量的分布列；

（2）游戏结束时，设甲与乙的步数差为，求，（结果用表示）．

【答案】（1）分布列见解析；   

（2），．

【解析】

【分析】（1）根据二项分布的概率公式求解即可；

（2）设在局游戏结束时，甲共猜对了次，则，可得，根据二项分布的期望与方差公式及性质即可求解.

【小问1详解】

当时，随机变量所有可能取值为，，3，9，

，

，

，

，

所以，随机变量的分布列为

【小问2详解】设在局游戏结束时，甲共猜对了次，则，

因为，甲与乙的步数差，

所以，，

．

22. 已知函数．

（1）讨论的单调性;

（2）设函数，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【解析】

【分析】(1)求导，用导数研究函数的单调性；

（2）恒成立问题，分离参数得到，令，则.

【小问1详解】

函数的定义域为，，

①当时，，函数在上单调递减；

②当时，令，得，

函数在上单调递增；

令，得，

函数在上单调递减．

综上，当时，函数在上单调递减；

当时，函数单调递增区间，

单调递减区间为．

【小问2详解】

因为函数，对任意，不等式恒成立，

等价于对任意，恒成立．

令，

则，

令，则

若，则，在上单调递增，

若，则，在上单调递减，

所以．

又因为，，

所以有两个实根，且，．

所以当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

所以函数有两个极小值点为．

因为是的根，所以，即，

所以函数的一个极小值为

．

同理，函数的另一个极小值为，

所以，

所以若对任意，不等式恒成立，则．

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，

（1）若，，总有成立，故；

（2）若，，有成立，故；

（3）若，，有成立，故；

（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．