山东省潍坊市六县区2022-2023学年高一数学下学期期中试题(Word版附解析)
展开2022-2023学年度下学期期中质量监测高一数学
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由诱导公式进行求解.
【详解】.
故选:C
2. “角是第三象限角”是“”的( ).
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】结合角所在象限的性质及充分不必要条件进行判断即可.
【详解】当角是第三象限角时,
,,
于是,
所以充分性成立;
当,即时,
角是第二或第三象限角,
所以必要性不成立,
故选:A.
3. 为了得到函数的图像,只需把的图像上的所有点( )
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移1个单位 D. 向右平移1个单位
【答案】B
【解析】
【分析】由即可比较判断.
【详解】,故只需把的图像上的所有点向右平移个单位.
故选:B
4. 下列是函数的对称中心的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出函数的对称中心,逐个检验即可得出答案.
【详解】由可得,,
所以,函数的对称中心的是,.
对于A项,由,可得,故A项错误;
对于B项,由,可得,故B项错误;
对于C项,由,可得,故C项错误;
对于D项,由,可得,故D项正确.
故选:D.
5. 已知D是的边BC上的点,且,则向量( ).
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的加减法以及数乘的运算,可得答案.
【详解】由题意作图如下:
由,则,
.
故选:C.
6. 函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意,先分析函数的奇偶性,排除AC,再判断函数在上的符号,排除D,即可得答案.
【详解】∵f(x)定义域[-1,1]关于原点对称,且,
∴f(x)为偶函数,图像关于y轴对称,故AC不符题意;
在区间上,,,则有,故D不符题意,B正确.
故选:B.
7. 向量在向量上的投影向量的坐标为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据投影向量的求解公式即可求解.
【详解】在向量上的投影向量为.
故选:B
8. 某数学兴趣小组设计了一种螺线,作法如下:在水平直线上取长度为的线段,并作等边三角形,然后以点为圆心,为半径逆时针画圆弧,交线段的延长线于点;再以点为圆心,为半径逆时针画圆弧,交线段的延长线于点;再以点为圆心,为半径逆时针画圆弧,交线段的延长线于点;再以点为圆心,为半径逆时针画圆弧,;以此类推,得到的螺线如图所示.当螺线与直线有个交点(不含点)时,则螺线长度为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意,找到螺线画法的规律,确定每次划线时圆弧的半径以及圆心角,结合扇形的弧长公式可求得结果.
【详解】第1次画线:以点为圆心,扇形半径为,旋转,划过的圆弧长为;
第2次画线:以点为圆心,扇形半径为,旋转,
划过的圆弧长为,交累计1次;
第3次画线:以点为圆心,扇形半径为,旋转,
划过的圆弧长为3,交累计2次;
第4次画线:以点为圆心,扇形半径为,旋转,
划过的圆弧长为;
第5次画线:以点为圆心,扇形半径为,旋转,
划过的圆弧长为,交累计3次;
前5次累计画线;
第6次画线:以点为圆心,扇形半径为,旋转,
划过的圆弧长为,交累计4次,累计画线.
故选:A.
二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.
9. 以下各式化简结果正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据三角函数的同角基本关系和诱导公式逐一判断即可.
【详解】,故A正确;
,故B正确;
,故C正确;
,故D错误;
故选:ABC
10. 下列说法错误的是( )
A. 若,则 B. 若,则存在唯一实数使得
C. 若,,则 D. 与非零向量共线的单位向量为
【答案】ABC
【解析】
【分析】由数量积定义可知A错误;通过反例可确定BC错误;根据单位向量和共线向量定义可确定D正确.
【详解】对于A,若,则,无法得到,A错误;
对于B,若,,则,此时不存在满足的实数,B错误;
对于C,若,则,,无法得到,C错误;
对于D,,由单位向量和共线向量定义可知与共线的单位向量为,D正确.
故选:ABC.
11. 已知函数在上是单调函数,则下列结论中正确的有( )
A. 当时,的取值范围是
B. 当时,的取值范围是
C. 当时,的取值范围是
D. 当时,的取值范围是
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题意,结合正弦函数图像的周期性与单调性,即可求解.
【详解】根据题意,易知,即,因此.
当时,,因,所以,
又因为函数在上是单调函数,所以,
解得,故A正确,C错误;
当时,,因为,所以,
又因为函数在上是单调函数,所以,
解得,故B错误,D正确.
故选:AD.
12. 小说《三体》中的“水滴”是三体文明派往太阳系的探测器,由强相互作用力材料制成,被形容为“像一滴圣母的眼泪”.小明是《三体》的忠实读者,他利用几何作图软件画出了他心目中水滴的轴截面(如图),该水滴轴截面由线段AB,AC和优弧BC围成,设优弧BC所在圆的圆心为O,半径为R,其中,AB,AC与圆弧相切,已知水滴轴截面的水平宽度与竖直高度之比为,则( )
A. 优弧BC的长度 B.
C. D. “水滴”的轴截面的面积为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据条件可得,即可求出的长度,然后在中可得的大小,然后可算出优弧BC的长度、“水滴”的轴截面的面积,即可选出答案.
【详解】
连接,
因为水滴轴截面的水平宽度与竖直高度之比为,水平宽度为,竖直高度为,
所以,所以,故B正确,
因为AB,AC与圆弧相切,所以,
在中,,,,所以可得,故C正确,
所以优弧BC的长度,故A错误,
“水滴”的轴截面的面积为,故D正确,
故选:BCD
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 已知向量,.若向量与平行,则=________.
【答案】
【解析】
【分析】
运用向量加法公式和向量平行公式即可.
【详解】向量, ,所以,
若向量与平行,可得 ,解得.
故答案为:
14. 已知,且,则____________.
【答案】##2.2
【解析】
【分析】由,且,得到求解.
【详解】解:因为,且,
所以,
所以,
故答案为:
15. 已知,____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据三角函数的奇偶性,结合奇函数的性质,可得答案.
【详解】令,
由与为奇函数,则,
则
.
故答案为:.
16. 设正八边形的外接圆半径为,圆心是点,点在边上,则____________;若在线段上,且,则的取值范围为____________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】分析可知为线段的中点,可化简得出,再利用平面向量数量积的定义可求得的值;以点为坐标原点,、的方向分别为、轴的正方向建立平面直角坐标系,利用平面向量的坐标运算可出关于的线性表达式,即可得出的取值范围.
【详解】由正八边形的对称性可知,为线段的中点,
则,所以,,
故;
在正八边形中,,则,
以为坐标原点,、的方向分别为、轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系,
则、、、,
所以,,,,,
设,其中,则
,
因为,即
,
所以,,即.
故答案为:;.
四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知点(其中)在角的终边上,,且是第 象限角.从①一,②二,③三,④四,这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上,并据此解答以下问题:
(1)求、、的值;
(2)在(1)的条件下化简并求值:.
【答案】(1)条件选择见解析,答案见解析
(2)
【解析】
【分析】(1)根据三角函数的定义结合可求得的值,根据的取值确定角终边的位置,再结合三角函数的定义可求得、的值;
(2)利用诱导公式结合切化弦可求得所求代数式的值.
【小问1详解】
解:因为点(其中)在角的终边上,
由三角函数定义可得,解得,
故为第一或第四象限角,
若选①:若为第一象限角,则,则,;
若选④:若为第四象限角,则,则,.
【小问2详解】
解:
.
18. 设,是平面内不平行的非零向量,,.
(1)证明:,组成平面上向量的一组基底;
(2)请探究是否存在实数k,使得和平行?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;
(2).
【解析】
【分析】(1)证明不共线即可;
(2)设,然后可建立方程组求解即可.
【小问1详解】
假设共线,设,
则,
因为,是平面内不平行的非零向量,所以,无解,
所以不共线,所以,组成平面上向量的一组基底,
小问2详解】
假设存在实数k,使得和平行,
设,则,
因为,是平面内不平行的非零向量,所以,解得,
所以存在实数k,使得和平行,.
19. 在一次研究性学习中,小华同学在用“五点法”画函数在某一周期内的图像时,列表并填入的部分数据如下表:
x | |||||
0 | |||||
1 | 0 | -1 | 0 | 1 | |
0 | 0 |
(1)请利用上表中的数据,写出的值,并求函数的单调递减区间;
(2)将函数的图像向右平移个单位,再把所得图像上各点的横坐标缩小为原来的,纵坐标不变,得到函数的图像,若在上恒成立,求实数λ的取值范围.
【答案】(1),函数的单调递减区间为;
(2)
【解析】
【分析】(1)根据表格中的数据求出的解析式即可;
(2)首先根据函数图像的变换求出的解析式,然后求出的值域,然后由可得,然后可得答案.
【小问1详解】
由表格中数据可得,,解得,
所以,
所以,
令,解得,
所以函数的单调递减区间为,
【小问2详解】
将函数的图像向右平移个单位,得到的图像,
再把所得图像上各点的横坐标缩小为原来的,纵坐标不变,得到函数的图像,
由可得,
当时,,
因为在上恒成立,所以,解得.
20. 已知向量,.
(1)求、和的值;
(2)令,,若存在正实数和,使得,求此时的最小值.
【答案】(1),
(2)当,时,,且的最小值为
【解析】
【分析】(1)化简平面向量的坐标,利用平面向量的模长公式可求得、的值,利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值;
(2)由可得出,化简可得出,利用基本不等式可求得的最小值,利用基本不等式成立的条件可求得、的值.
【小问1详解】
解:由题意可得,
则,,
.
【小问2详解】
解:因为,,且,
则,
所以,,
若存在正实数和,使得,
由基本不等式可得,
当且仅当时,等号成立,此时,的最小值为.
21. 北方某养殖公司有一处矩形养殖池ABCD,如图所示,米,米,为了便于冬天给养殖池内的水加温,该公司计划在养殖池内铺设三条加温带OE,EF和OF,考虑到整体规划,要求O是边AB的中点,点E在边BC上,点F在边AD上,且.
(1)设∠BOE=α,试将 的周长l表示成α的函数关系式,并求出此函数的定义域;
(2)在(1)的条件下,为增加夜间水下照明亮度,决定在两条加温带OE和OF上按装智能照明装置,经核算,两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为400元,试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低?并求出最低费用.
(备用公式:,)
【答案】(1)
(2)当米时,照明装置费用最低,最低费用为元.
【解析】
【分析】(1)根据三角函数定义及勾股定理,可表示出三边,进而周长l表示成α的函数关系式,根据点E、F的极限位置求出函数的定义域;
(2)利用三角函数换元法,令,,再利用函数单调性求出的范围,可解此题.
【小问1详解】
在中,由,可得,
在中,由,可得,
又在中,由勾股定理得
,
所以,
当点F在点D时,此时α的值最小,,
当点E在点C时,此时α的值最大,,
故函数的定义域为;
【小问2详解】
根据题意,要使费用最低,只需最小即可,
由(1)得,
设,则,
则,
由,得,
令,易知在上为增函数,
所以当时,最小,且最小值为,此时,
所以当米时,照明装置费用最低,最低费用为元.
22. 已知函数的图象相邻两条对称轴间的距离为,且过点.
(1)若函数是偶函数,求的最小值;
(2)令,记函数在上的零点从小到大依次为、、、,求的值;
(3)设函数,,如果对于定义域D内的任意实数,对于给定的非零常数,总存在非零常数,若恒有成立,则称函数是上的级周期函数,周期为.是否存在非零实数,使函数是上的周期为的级周期函数?请证明你的结论.
【答案】(1)
(2)
(3)存在,且满足题意,其中满足,证明见解析
【解析】
【分析】(1)根据题意求出函数的最小正周期,可求得的值,再根据函数的图象过点结合的取值范围,可求得的值,求出的表达式 ,根据该函数为偶函数可得出的等式,即可求得的最小值;
(2)由已知可得,令,则,作出直线与函数在上的图象,利用对称性可求得的值;
(3)分析可知,恒有成立,且有,分析可得,分别讨论关于的方程或的解是否存在,在第一种情况下,可得出恒成立,可得出的值;在第二种情况下,利用数形结合可得出结论.
【小问1详解】
解:因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为,
所以,函数的最小正周期为,
因为,则,所以,,
又因为函数的图象过点,则,
因为,所以,,
因为函数为偶函数,
所以,,解得,
故当时,取最小值,且其最小值为.
【小问2详解】
解:由,可得,
因为,则,
令,则,所以,,,
设,如下图所示:
由图可知,直线与函数在上的图象有四个交点,
点、关于直线对称,点、关于直线对称,
点、关于直线对称,
所以,,,,即,
即,解得.
【小问3详解】
解:因为,所以,,
假设存在非零实数,使得函数是上的周期为的级周期函数,
即,恒有,
则,恒有成立,
则,恒有成立,
当时,,则,,
所以,,,
要使得恒成立,则有.
当时,则,即,令,其中,
则,,
且函数在上的图象是连续的,
由零点存在定理可知,函数在上有唯一的零点,
此时,恒成立,则,即;
当时,则,即,作出函数、图象如下图所示:
由图可知,函数、的图象没有公共点,
故方程无实数解.
综上所述,存在满足题意,其中满足.
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