四川省成都外国语学校2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

绝密★启用前

2023年成都外国语学校高2023级第一次月考数学试题

高一数学试题

考试时间：120 分钟 满分：150 分

一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

2. 命题“，”的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

3. “”是“关于的一元二次方程有实数根”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 不等式解集为（    ）

A. 或 B.

C. 或 D.

5. 如果，则正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

6. 已知函数图象如图所示，则关于的不等式的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

7. 关于的不等式的解集为空集，则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 设函数，命题“存在，”是假命题，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.

9. 已知集合，，则（　　）

A. 0不可能属于B B. 集合可能是

C. 集合不可能是 D. 集合

10. 设正实数，满足，则下列说法正确的是（    ）

A. 的最小值为4 B. 的最大值为

C. 最小值为2 D. 的最小值为

11. 已知实数满足，且，则下列说法正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

12. 已知关于不等式，下列结论正确的是（    ）

A. 当时，不等式的解集为

B. 当时，不等式的解集可以表示为形式

C. 若不等式的解集恰为，则或

D. 若不等式的解集恰为，则

三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.

13. 写出一个使“”成立的充分条件为_______.

14. 集合的真子集的个数是___________.

15. 已知p：x>1或x<-3，q：x>a(a为实数)．若¬q的一个充分不必要条件是¬p，则实数a的取值范围是____．

16. 已知正数满足，则的最大值是___________.

四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. （1）已知，．求和的取值范围．

（2）已知，，求的取值范围．

18. 已知集合，.

（1）若，求实数k的取值范围；

（2）已知命题，命题，若p是q的必要不充分条件，求实数k的取值范围.

19. （1） 已知 ， 求函数的最大值．

（2）求函数的最小值.

（3）已知，且，若恒成立，求实数的取值范围.

20. 2020年新冠肺炎疫情在世界范围内爆发，疫情发生以后，佩戴口罩作为阻断传染最有效的措施，一度导致口罩供不应求.为缓解口罩供应紧张，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.已知生产口罩的固定成本为80万元，每生产万箱，需要另外投入的生产成本（单位：万元）为，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.

（1）求生产多少万箱时平均每万箱的成本最低，并求出最低成本；

（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？

21 已知函数．

（1）当，时，若“，”为真命题，求实数a的取值范围；

（2）若，，解关于x的不等式．

22. 已知函数.

（1）若不等式的解集为，求的取值范围；

（2）当时，解不等式；

（3）若不等式的解集为，且，求的取值范围.

绝密★启用前

2023年成都外国语学校高2023级第一次月考数学试题

高一数学试题

考试时间：120 分钟 满分：150 分

一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用自然数集的定义化简集合，再利用集合的并集运算即可得解.

【详解】因为，

又，

所以.

故选：A.

2. 命题“，”的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确答案.

【详解】原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，

注意到要否定结论而不是否定条件，所以D选项正确.

故选：D

3. “”是“关于的一元二次方程有实数根”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】先化简方程有实数根得到，再利用集合的关系判断得解.

【详解】因为关于的一元二次方程有实数根，

所以，所以或，

因为是集合或的真子集，

所以“”是“关于的一元二次方程有实数根”的充分不必要条件.

故选：A.

4. 不等式的解集为（    ）

A. 或 B.

C. 或 D.

【答案】D

【解析】

【分析】分式不等式解法.

【详解】由，得，即，

即，解得，D正确.

故选：D

5. 如果，则正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】C

【解析】

【分析】举例说明ABD是错误的，用作差法证明C是正确的．

【详解】取，则，故A错误；

取，则，故B错误；

由于，所以，则，故C正确；

取，则，，故D错误.

故选：C．

6. 已知函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】分析可得，，，利用二次不等式的解法解不等式，即可得解.

【详解】由二次函数的图象可知，函数的图象开口向上，且该函数的图象与轴相切，对称轴为直线，

所以，，且，则，，

不等式即，即，解得，

因此，不等式的解集为.

故选：B.

7. 关于的不等式的解集为空集，则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】由不等式的解集为空集，

当时，即时，不等式不成立，所以不等式的解集为空集；

当时，即时，要使得的解集为空集，

则满足，解得，

综上可得，实数的取值范围为.

故选：D.

8. 设函数，命题“存在，”是假命题，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，转化为命题“任意，”为真命题，进而得到在上恒成立，结合二次函数的性质，求得的最大值，即可求解.

【详解】由命题“存在，”的否定为命题“任意，”，

根据题意，可得命题“任意，”为真命题，

即对任意，不等式恒成立，

所以，即在上恒成立，

即在上恒成立，

令，

根据二次函数的性质，当时，，即的最大值为，

所以，即实数的取值范围为.

故选：D.

二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.

9. 已知集合，，则（　　）

A. 0不可能属于B B. 集合可能是

C. 集合不可能是 D. 集合

【答案】BCD

【解析】

【分析】由题可得，然后根据集合的关系及集合元素的特点进行逐一判断即可．

【详解】∵，∴，故D正确．

∵集合，

∵，∴集合可能是，故B正确；

∵，∴集合不可能是，故C正确；

∵，∴0可能属于集合，故A错误.

故选：BCD.

10. 设正实数，满足，则下列说法正确的是（    ）

A. 的最小值为4 B. 的最大值为

C. 的最小值为2 D. 的最小值为

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据基本不等式即可结合选项逐一求解.

【详解】对于A，，当且仅当时取等号，故A正确；

对于B，，当且仅当，即，时取等号，故B正确；

对于C，，则，当且仅当，即，时，故C错误；

对于D,，当且仅当，时取等号，故D正确．

故选：ABD．

11. 已知实数满足，且，则下列说法正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】对A，根据可得，再代入推导即可；对B，由推导即可；对C，举反例判断即可；对D，根据代入化简即可判断.

【详解】对A，根据可得，故即，即.

因为恒成立，故成立，故A正确；

对B，因为，故，故成立；

对C， 当时，满足且，但不成立，故C错误；

对D，因为，，因为，故，故D正确.

故选：ABD

12. 已知关于的不等式，下列结论正确的是（    ）

A. 当时，不等式的解集为

B. 当时，不等式的解集可以表示为形式

C. 若不等式的解集恰为，则或

D. 若不等式的解集恰为，则

【答案】AD

【解析】

【分析】A. 假设有解，求判别式可得b的范围；

B项作图，即可得到；

对于C、D两项，由题目可转化为，二次函数的给定范围与函数值范围相同，则应有，即可解得b的值，然后检验a的值即可.

【详解】A选项，若 有解，即有解，

则有，，

所以，.这与已知不相符，所以不等式无解，解集为；

B选项，作出的图象以及y=a，y=b的图象.由图可知，此时不等式的解集应由两部分组成；

C，D选项：因为不等式的解集恰为，即可以转化为二次函数在上的取值是.

则必有，即，解得，或.

又因为在R上的最小值为，则应有且.

当时，有.

即，解得，或，与不相符，舍去；

当时，有.

即，解得，a=0或a=4（舍去）.

所以，a=0,b=4.

故选：AD.

三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.

13. 写出一个使“”成立充分条件为_______.

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据充分条件的定义进行求解即可.

【详解】由一定能推出，

所以使“”成立的充分条件为，

故答案为：

14. 集合的真子集的个数是___________.

【答案】31

【解析】

【分析】先求出集合中元素个数，进而求出真子集的个数.

【详解】共5个元素，

则真子集的个数是.

故答案为：31

15. 已知p：x>1或x<-3，q：x>a(a为实数)．若¬q的一个充分不必要条件是¬p，则实数a的取值范围是____．

【答案】

【解析】

【分析】由充分不必要条件的概念转化为集合真子集的关系求解参数的取值范围即可.

【详解】由已知得¬p：-3≤x≤1，¬q：x≤a．

设，

若¬p是¬q的充分不必要条件，则¬p⇒¬q，¬q⇒¬p，

所以集合是集合的真子集.

所以．

故答案为：.

16. 已知正数满足，则最大值是___________.

【答案】

【解析】

【分析】令，则，，利用基本不等式，并结合一元二次不等式的求法可得的范围，进而得到答案.

【详解】令，因为，，所以.

则，

所以，

当且仅当即时等号成立.

所以，即，解得，

所以的最大值为.

故答案为：.

四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. （1）已知，．求和的取值范围．

（2）已知，，求的取值范围．

【答案】（1），；（2）.

【解析】

【分析】（1）根据不等式的性质，求出和的范围，再利用性质求解作答.

（2）令，求出的值，根据不等式的性质即可得到结果.

【详解】（1）因为，由不等式的性质可得，；，

因此，即；，即，

所以，.

（2）令，，即，

则有，解得，

而，，于是，，

所以，，即，

所以.

18. 已知集合，.

（1）若，求实数k的取值范围；

（2）已知命题，命题，若p是q的必要不充分条件，求实数k的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用分式不等式的解法，解得集合，根据集合之间的关系，可列不等式，可得答案；

（2）根据必要不充分条件，可得集合之间的关系，利用分类讨论，可列不等式，可得答案.

【小问1详解】

由，移项可得，通分并合并同类项可得，等价于，解得，则；

由，则，即，解得.

【小问2详解】

p是q的必要不充分条件等价于.

①当时，，解得，满足.

②当时，原问题等价于（不同时取等号）

解得.

综上，实数k的取值范围是.

19. （1） 已知 ， 求函数的最大值．

（2）求函数的最小值.

（3）已知，且，若恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

【分析】（1）根据题意，化简，结合基本不等式，即可求解；

（2）根据题意，化简，结合基本不等式，即可求解；

（3）根据题意，结合，利用基本不等式，求得，转化为，即可求解.

【详解】解：（1）因为，可得，

则

当且仅当时，即时，等号成立，

又因为，所以函数的最大值为．

（2）因为，可得，

则，

当且仅当时，即时等号成立，

故函数的最小值为.

（3）因为，且，

所以

，

当且仅当，即时取等号，所以，

因为恒成立，所以，

即，解得，所以实数的取值范围是.

20. 2020年新冠肺炎疫情在世界范围内爆发，疫情发生以后，佩戴口罩作为阻断传染最有效的措施，一度导致口罩供不应求.为缓解口罩供应紧张，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.已知生产口罩的固定成本为80万元，每生产万箱，需要另外投入的生产成本（单位：万元）为，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.

（1）求生产多少万箱时平均每万箱的成本最低，并求出最低成本；

（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？

【答案】（1）生产20万箱时，平均每万箱成本最低，为56万元；（2）130．

【解析】

【分析】

（1）可得出平均每万箱的成本为，再利用基本不等式可求；

（2）可得利润为，利用二次函数的性质即可求解.

【详解】（1）设生产万箱时平均每万箱的成本为，

则，

因为，所以，

当且仅当，即时等号成立．

所以，当时取到最小值，

即生产20万箱时平均每万箱成本最低，最低成本为56万元．

（2）设生产万箱时所获利润为，

则，即，，

即，

所以，

所以生产130万箱时，所获利润最大为3300万元．

21. 已知函数．

（1）当，时，若“，”为真命题，求实数a的取值范围；

（2）若，，解关于x的不等式．

【答案】（1）；   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）将，代入函数，并结合题意可转化成方程在上有解，分和两种情况进行讨论即可得到答案；

（2）将，代入函数，分，，，，五种情况进行讨论，即可得到对应解集.

【小问1详解】

当，时，，

因为“，使得”为真命题，即方程在上有解，

当时，，即，符合题意；

当时，解得，符合题意，

综上所述，实数的取值范围为.

【小问2详解】

当，时，

原不等式即为，

①当时，则，解得，

故不等式的解集为；

②当时，，解原不等式可得，

此时原不等式的解集为；

③当时，，解原不等式可得或，

此时，原不等式的解集为或；

④当时，原不等式即为，解得，

此时，原不等式的解集为；

⑤当时，，解原不等式可得或，

此时，原不等式的解集为或；

综上所述，当时，原不等式的解集为或；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为或；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为．

【点睛】方法点睛：对含参一元二次不等式进行求解时，要对参数进行分类讨论，难点在于分类讨论时标准的确定，主要是按照二次函数的开口，根的大小进行分类求解的

22. 已知函数.

（1）若不等式的解集为，求的取值范围；

（2）当时，解不等式；

（3）若不等式的解集为，且，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）当，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，   

（3）

【解析】

【分析】（1）分和两种情况求解即可，

（2）分三种情况解不等式，

（3）由条件知对任意的，不等式恒成立，即恒成立，然后求出的最小值即可

【小问1详解】

当时，即，则由 ，得，不合题意，

当，即时，由不等式的解集为得

，解得，

所以的取值范围为

【小问2详解】

因为，所以，即，

当，即时，解得，所以不等式的解集为，

当，即时，，

因为，所以不等式的解集为，

当，即时，，

因为 ，所以，所以，

所以不等式解集为，

综上，当，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，

小问3详解】

因为不等式的解集为，且，

所以对任意的，不等式恒成立，

即，

因为

所以恒成立，

令，则，，

所以，

令，因为函数在

基本不等式可得，当且仅当，即时取等号，

因为上递减，在上递增，而当时，，当时，，

所以的最大值为4，

所以的最小值为1，

所以，

所以的取值范围为