山东省烟台市第一中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题

2023－2024学年暑假假期作业检测

一、单选题

1．设，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

2．在三棱锥中，是平面上一点，且，则（    ）

A．1 B．2 C． D．

3．已知向量不共线，，，，则（    ）

A．与共线  B．与共线

C．A，B，C，D四点不共面 D．A，B，C，D四点共面

4．如图，在三棱柱中，分别是的中点，为的重心，则（    ）

A． B．

C． D．

5．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点所在区域的面积为（    ）

A． B． C． D．

6．如图，在中，已知，，，，则（    ）

A．－45 B．13 C．－13 D．－37

7．若的内角所对的边分别为，且满足，则下列结论正确的是（    ）

A．一定为锐角  B．

C．  D．的最小值为

8．已知向量满足，，则的最小值是（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

二、多选题

9．已知四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使成为空间的一个基底的是（    ）

A． B．

C． D．

10．已知是空间中的一个基底，则下列说法正确的是（    ）

A．存在不全为零的实数，使得

B．对空间任一向量，存在唯一的有序实数组，使得

C．在中，能与，构成空间另一个基底的只有

D．不存在另一个基底，使得

11．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中正确的是（    ）

A．平面

B．直线与平面所成的角等于

C．的面积与的面积相等

D．三棱锥的体积为定值

12．如图，已知二面角的大小为分别是的中点，分别在，上，，且平面，则以下说法正确的是（    ）

A．四点共面

B．平面

C．若直线交于点，则三点共线

D．若的面积为6，则的面积为3

三、填空题

13．如图，平行六面体中，，，，则线段的长度______．

14．某单位对全体职工的某项指标进行调查．现按照性别进行分层抽样，得到男职工样本20个，其平均数和方差分别为7和4；女职工样本5个，其平均数和方差分别为8和1，以此估计总体方差为______．

15．如图，在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱外接球的表面积为______；设为线段上的动点，则的最小值为______．

16．如图，在三棱锥木块中，两两垂直，，点为的重心，沿过点的平面将木块锯开，且使截面平行于直线和，则该截面的面积为______．

17．（2022•安徽单元测试）6如图，直三棱柱中，，，分别为，的中点．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的大小；

（3）线段上是否存在点，使平面？若存在，求；若不存在，说明理由．

18．（2021·安徽精选题）已知函数，．

（Ⅰ）若函数的图象关于直线对称，求的最小值；

（Ⅱ）若函数在上有零点，求实数的取值范围．

2022－2023学年暑假假期作业检测参考答案

1．【参考答案】C【试题解析】解：．故选C．

2．B【详解】因为，所以，因为是平面上一点，即四点共面，所以，所以．故选：B．

3．D【详解】对于A，∵，∴不存在实数，使得成立，∴与不共线，A错误；对于B，∵，，∴，又，∴不存在实数，使得成立，∴与不共线，B错误；对于C、D，若A、B、C、D四点共面，则有，

∴，即，故，故A，B，C，D四点共面，C错误，D正确．故选：D．

4．A【详解】解：由题意可得：

．故选：A

5．【参考答案】C解：因为表示以为圆心，1为内圆半径，2为外圆半径的圆环区域，点所在区域的面积为，故选C．

6．【参考答案】D【解答】解：，∵，

∴，∴，整理可得∴，∴，∴．

故选：D．

7．【参考答案】BC【解答】解：由题得，，∴，对于A，由题可得，，，∵，∴，又∵，∴，故C为钝角，A错误．对于B，由，∴，∵，∴，故B正确，对于C，∵由正弦定理得，即，即，∴，故C正确．对于D，

，，，当且仅当时，等号成立，，则的最大值为，故D错误故选BC．

8．【参考答案】D【解答】解：因为，所以，由向量的几何意义得，故选D．

9．AC【详解】解：对于选项ACD，由，可得四点共面，即共面，所以选项A中，不共面，可以构成基底，选项C中，不共面，可以构成基底；选项D中，因为，所以，可得四点共面，即共面，无法构成基底，故选项D错误；对于选项B，根据平面向量基本定理，选项B中，因为，得共面，无法构成基底，故选项B错误．故选：AC．

10．BC【详解】对于A，若存在不全为零的实数，使得，不能构成空间的一个基底，所以A错；对于B，因为构成空间的一个基底，所以对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得，所以B对；对于C，因为，，所以，不能与，构成空间另一个基底；又因为设若，所以与，构成空间另一个基底；所以在中，能与，构成空间另一个基底的只有，所以C对；对于D，存在，根据向量运算几何意义，表示以为顶点，以为相邻三边的长方体对角线，绕此对角线长方体旋转，基底也变为另一基底，都满足，所以D错误．故选：BC．

11．【解答】解：如图所示：由，而平面，平面，故平面，可知平面，故A正确；由正方体特点可得底面，故就是直线与平面所成的角，显然等于，故B也正确；B到的距离为，到的距离大于上下底面中心的连线，则到的距离大于1，∴的面积大于的面积，故C错误；连结交于，则为三棱锥的高，，三棱锥的体积为为定值，D正确．故选ABD．

12．【参考答案】ACD【解答】解：对于A、因为分别是，的中点，所以．又因为分别在上，，所以，因此且，所以四点共面，因此A正确；对于B、由A知：且，因此与必相交于一点．又因为平面，所以平面，即与平面有一个交点，因此B不正确；对于C、由B知：与相交于一点，且平面，同理可得平面，因此平面，平面，所以三点共线，因此C正确；对于D、过在平面作于，连接．因为平面，，平面，以，，因为，，、平面，，所以平面，而平面，因，所以是二面角的平面角．又因为的面积为6，二面角的大小为，所以，．又因为，所以，因此D正确．故选ACD．

13．．【详解】根据平行四边形法则可得，所以，，所以，故答案为：．

14．【参考答案】3.56

【解答】解：设男职工指标分别为，，，……，女职工指标分别为，，，，，则本次调查的总样本的平均数，本次调查的总样本的方差是

15．【参考答案】；

【解答】解：因为，，，所以，所以外接圆的圆心为的中点，半径，设直三棱柱外接球的半径为，则，所以该直三棱柱外接球的表面为；直三棱柱中，侧面与底面垂直，又，易知平面，平面，∴平面平面，把绕展开至与平面垂直的位置则共面，如图：连接，则的长即为最短距离，在中，，由余弦定理，得．故答案为；．

16．【参考答案】【解答】解：根据题意，在平面内，过点作分别交，于，在平面内，过作交于，在平面内；过作交于，连接，因为，且点为的重心则，，因为，所以，因为，，所以，因，，，平面，平面，所以平面，因为，，所以平面，因为平面，所以，所以四边形是矩形即，故答案为：．

17．【参考答案】（1）证明：取中点，连接，在中，因为为中点，所以，．在矩形中，因为为中点，所以，．

所以，．所以四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面．

（2）解：连接，相交于点，连，∵，∴与面所成角即与面所成角．

∵三棱柱为直棱柱，所以平面，进而由线面垂直的性质得到，，，为平面中两条相交直线，所以平面，又．所以平面，平面，∴，又，，为平面的两条相交直线，∴面，∴为所求的线面角，∴，∴；

（3）解：线段上存在点，且为中点时，有平面．

证明如下：连接，在正方形中易证．

又平面，所以从而平面．

所以．同理可得，，为平面内两条相交直线，所以平面．故线段上存在点，使得平面．．

18．【参考答案】解：（Ⅰ）

，由，，解得，，即函数的对称轴为，．∵的图象关于直线对称，∴当时，有最小值．

（Ⅱ）若函数在上有零点，即在上有解，即在上有解，当，，即，，由，解得，故实数的取值范围是．