安徽省六安市金安区皋城中学2023-2024学年九年级上学期段考数学试卷（一）（含答案）

这是一份安徽省六安市金安区皋城中学2023-2024学年九年级上学期段考数学试卷（一）（含答案），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年安徽省六安市金安区皋城中学九年级（上）段考数学试卷（一）
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）下列各式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．1，， D．，3，5
3．（4分）x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝（　　）
A．﹣2 B．﹣3 C．4 D．﹣6
4．（4分）一个多边形的每个外角都等于45°，则这个多边形的边数是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．12
5．（4分）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（　　）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（4分）若将抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝2（x+1）2﹣1 B．y＝2（x+1）2+3
C．y＝2（x﹣1）2﹣1 D．y＝2（x﹣1）2+3
7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，连接DE、AF，相交于点O，则AO的长是（　　）

A． B．1 C． D．2
8．（4分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+5上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
9．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝15，AD＝5，动点P满足，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（　　）

A． B． C． D．17
10．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于A（﹣1，0），B两点，与y轴的交点C在（0，3），（0，4）之间（包含端点），抛物线对称轴为直线x＝1，有以下结论：①abc＞0；②3a+c＝0；③；④a+b≤am2+bm（m为实数）；⑤若M（x1，m），N（x2，m）是抛物线上的两点，当x＝x1+x2时，y＝c；其中结论正确的是（　　）

A．①②④ B．②③④ C．②③⑤ D．③④⑤
二、填空题（每小题5分，共20分）
11．（5分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．
12．（5分）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为 　 　．

13．（5分）如图，已知二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝kx+m的图象相交于A（﹣1，2）、B（4，1）两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是　 　．

14．（5分）如图，四边形纸片ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，将纸片沿直线EF折叠，点C恰好落在点A处；再将△ABF，△ADE分别沿AF，AE折叠，点B，D均落在EF上的点G处．
（1）∠EAF的大小为 　 　°；
（2）若四边形AECF是菱形，点G为EF中点且四边形纸片ABCD的面积是3，则AB＝　 　．

三、简答题（本大题共2小题.每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：．
16．（8分）解方程：2x2+3x＝2．（因式分解法）
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）将二次函数y＝﹣2x2+8x﹣6化为顶点式并写出它的顶点坐标．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）观察下列关于自然数的等式：
32﹣4×12＝5①
52﹣4×22＝9②
72﹣4×32＝13③
…
根据上述规律解决下列问题：
（1）写出第四个等式：　 　；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．
20．（10分）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC、∠ABC的角平分线交于点D，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F；
（1）问四边形CFDE是正方形吗？请说明理由．
（2）若AC＝6，BC＝8，则CF的长为多少？

六、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分）
21．（12分）端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗．在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下：
八年级10名学生活动成绩统计表
成绩/分
6
7
8
9
10
人数
1
2
a
b
2
已知八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是 　 　，七年级活动成绩的众数为 　 　分；
（2）a＝　 　，b＝　 　；
（3）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由．




22．（12分）某网店3月份经营一种热销商品，每件成本20元，发现三周内售价在持续提升，销售单价P（元/件）与时间t（天）之间的函数关系为（其中1≤t≤21，t为整数），且其日销售量y（件）与时间t（天）的关系如下表．
时间t（天）
1
5
9
13
17
21
日销售量y（件）
118
110
102
94
86
78
（1）已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，请直接写出y（件）与时间t（天）函数关系式；
（2）在这三周的销售中，第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
（3）在实际销售的21天中，该网店每销售一件商品就捐赠a元利润（a＜8）给“精准扶贫”的对象，通过销售记录发现，这21天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围．
七、（本大题14分）
23．（14分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x+4经过点B，C．
（1）求抛物线的表达式．
（2）直线x＝m（其中0＜m＜4）与线段BC交于点P，与抛物线交于点Q，连接OQ，当线段PQ长的最大时，求证：四边形OCPQ是平行四边形．
（3）在（2）的条件下，连接AQ，过点Q的直线与抛物线交于点D，若∠AQP＝∠DQP，求点D的坐标．




2023-2024学年安徽省六安市金安区皋城中学九年级（上）段考数学试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．【答案】D
【解答】解：A选项，被开方数中含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B选项，＝2，被开方数中含有能开得尽方的因数，不符合题意；
C选项，＝3，被开方数中含有能开得尽方的因数，不符合题意；
D选项，是最简二次根式，符合题意．
故选：D．
2．【答案】C
【解答】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、12+（）2＝（）2，能构成直角三角形，故符合题意；
D、（）2+32≠52，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：C．
3．【答案】A
【解答】解：把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得1+a+2b＝0，
所以a+2b＝﹣1，
所以2a+4b
＝2（a+2b）
＝2×（﹣1）
＝﹣2．
故选：A．
4．【答案】A
【解答】解：∵360÷45＝8，
∴这个多边形的边数是8．
故选：A．
5．【答案】B
【解答】解：2x2+4x﹣1＝0，
2x2+4x＝1，
x2+2x＝，
x2+2x+1＝+1，
（x+1）2＝，
x+1＝±，
x+1＝或x+1＝﹣，
x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，
所以，这位同学是乙，
故选：B．
6．【答案】A
【解答】解：抛物线y＝2x2+1的顶点坐标为（0，1），点（0，1）向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为（﹣1，﹣1），所以新抛物线的解析式为y＝2（x+1）2﹣1．
故选：A．
7．【答案】B
【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝2，
∴BC＝2AC＝4，
∵F是BC的中点，
∴AF＝BC＝2，
∵D、E分别为AB、AC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∵AD＝BD，
∴AO＝OF＝AF＝1．
故选：B．

8．【答案】A
【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x+1）2+5的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
而C（2，y3）离直线x＝﹣1的距离最远，A（﹣2，y1）点离直线x＝﹣1最近，
∴y1＞y2＞y3．
故选：A．
9．【答案】D
【解答】解：设△ABP中AB边上的高是h．
∵，
∴AB•h＝AB•AD，
∴h＝AD＝4，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是4的直线l上，
如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，BE，则BE的长就是PA+PB的最小值．

在Rt△ABE中，∵AB＝15，AE＝4+4＝8，
∴BE＝＝＝17，
即PA+PB的最小值为17．
故选：D．
10．【答案】C
【解答】解：由图象及题意可知：a＜0，c＞0，根据对称轴为直线x＝1得，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴3a+c＝0，故②正确；
∴c＝﹣3a，
∵3≤c≤4，
∴3≤﹣3a≤4，
∴；故③正确；
当x＝1时，该抛物线有最高点，即最大值是y＝a+b+c，
当x＝m时，则有y＝am2+bm+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c，即为a+b≥am2+bm（m为实数），故④错误；
∵若M（x1，m），N（x2，m）是抛物线上的两点，且对称轴为直线x＝1，
∴x1+x2＝2，
根据抛物线的对称性可知点C的对称点为（2，c），则当x＝x1+x2＝2时，y＝c；故⑤正确；
故选：C．
二、填空题（每小题5分，共20分）
11．【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意得：x+3≥0，解得：x≥﹣3．
故答案为：x≥﹣3．
12．【答案】见试题解答内容
【解答】解：由于a、b、c都是正方形，所以AC＝CD，∠ACD＝90°；

∵∠ACB+∠DCE＝∠ACB+∠BAC＝90°，
即∠BAC＝∠DCE，
在△ACB和△CDE中，
，
∴△ACB≌△CDE（AAS），
∴AB＝CE，BC＝DE；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝AB2+DE2，
即Sb＝Sa+Sc＝1+9＝10，
∴b的面积为10，
故答案为：10．
13．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵两函数图象相交于A（﹣1，2）、B（4，1）两点，
∴不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是x＜﹣1或x＞4．
故答案为：x＜﹣1或x＞4．
14．【答案】（1）60°；
（2）．
【解答】解：（1）如图，由翻折的性质得：

∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠C＝∠2+∠3，∠D＝∠AGE，∠B＝∠AGF，
∵∠AGE+∠AGF＝180°，
∴∠D＝∠AGE＝∠B＝∠AGF＝90°，
∵四边形内角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠C＝180°，
∴3（∠2+∠3）＝180°，
∴∠2+∠3＝60°，
∴∠EAF＝60°．
故答案为：60°；
（2）∵四边形AECF是菱形，
∴AE＝AF，S△AEF＝S△CEF，
∵点G为EF中点，
∴∠2＝∠3＝30°，
设DE＝x，则AE＝2x，
∴AD＝＝x，
∴四边形纸片ABCD的面积是：3S△AEF＝3××EF×AG＝3××2x×x＝3，
解得：x＝1，
∴AB＝．
故答案为：．
三、简答题（本大题共2小题.每小题8分，满分16分）
15．【答案】4．
【解答】解：
＝3﹣+3
＝3﹣2+3
＝4．
16．【答案】x1＝，x2＝﹣2．
【解答】解：方程整理得：2x2+3x﹣2＝0，
分解因式得：（2x﹣1）（x+2）＝0，
所以2x﹣1＝0或x+2＝0，
解得：x1＝，x2＝﹣2．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．【答案】（2，2）．
【解答】解：y＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x﹣2）2+2，
所以抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标（2，2）．
18．【答案】见试题解答内容
【解答】解：
（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根，
∴△≥0，即（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，
解得m≤2；
（2）∵p是方程的一个实数根，
∴p2﹣2p+m﹣1＝0，
∴p2﹣2p＝1﹣m，
∵（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，
∴（1﹣m+3）（m+4）＝7，即m2＝9，
解得m＝3或m＝﹣3，
又由（1）可知m≤2，
∴m＝﹣3．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．【答案】（1）92﹣4×42＝17；（2）（2n+1）2﹣4n2＝4n+1，验证见解答．
【解答】解：（1）∵32﹣4×12＝5①
52﹣4×22＝9②
72﹣4×32＝13③
∴第四个等式：92﹣4×42＝17；
（2）第n个等式为：（2n+1）2﹣4n2＝4n+1，
验证：
∵左边＝（2n+1）2﹣4n2＝4n2+4n+1﹣4n2＝4n+1，
右边＝2（2n+1）﹣1＝4n+2﹣1＝4n+1．
∴左边＝右边，
∴（2n+1）2﹣4n2＝4n+1
20．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）四边形CFDE是正方形，理由如下：
∵∠C＝90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，
∴四边形DECF为矩形，
∵∠A、∠B的平分线交于点D，
∴D为△ABC的内心，
∴DF＝DE，
∴四边形CFDE是正方形．
（2）∵∠C＝90°，
∴AB＝＝＝10，
∵四边形CFDE是正方形，
∴CF＝DF＝DE，
设CF＝DF＝DE＝x，
则△ABC的面积＝△ABD的面积+△BDE的面积+正方形CFDE的面积+△ADF的面积
＝×10x+（8﹣x）x+x2+（6﹣x）x＝×6×8，
解得：x＝2，
即CF的长为2．
六、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分）
21．【答案】（1）1；8；
（2）2；3；
（3）不是；理由见解答过程．
【解答】解：（1）由扇形统计图可得，成绩为8分的人数为10×50%＝5（人），
成绩为9分的人数为10×20%＝2（人），
成绩为10分的人数为10×20%＝2（人），
则成绩为7分的学生数为10﹣5﹣2﹣2＝1（人），
∵出现次数最多的为8分，
∴七年级活动成绩的众数为8分，
故答案为：1；8；
（2）由题意，将八年级的活动成绩从小到大排列后，它的中位数应是第5个和第6个数据的平均数，
∵八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分，
∴第5个和第6个数据的和为8.5×2＝17＝8+9，
∴第5个和第6个数据分别为8分，9分，
∵成绩为6分和7分的人数为1+2＝3（人），
∴成绩为8分的人数为5﹣3＝2（人），成绩为9分的人数为10﹣5﹣2＝3（人），
即a＝2，b＝3，
故答案为：2；3；
（3）不是，理由如下：
结合（1）（2）中所求可得七年级的优秀率为×100%＝40%，八年级的优秀率为×100%＝50%，
七年级的平均成绩为＝8.5（分），八年级的平均成绩为＝8.3（分），
∵40%＜50%，8.5＞8.3，
∴本次活动中优秀率高的年级并不是平均成绩也高．
22．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设y（件）与时间t（天）函数关系式y＝kt+b，将（1，118），（5，110）代入函数关系式得：
，
得，
所以，y（件）与时间t（天）函数关系式是y＝﹣2t+120；
（2）设这三周的销售中，日销售利润为w元，
，
∴当t＝10时，w取得最大值，此时w＝1250，
答：在这三周的销售中，第10天的销售利润最大，最大利润是1250元；
（3）设该网店捐赠后的每日的销售利润为w1元，
，
∴w1的对称轴是，
∵这21天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，
∴2a+10≥21，解得，a≥5.5，
又∵a＜8，
∴5.5≤a＜8，
即a的取值范围是5.5≤a＜8．
七、（本大题14分）
23．【答案】（1）y＝x2﹣5x+4；
（2）证明见解答过程；
（3）（5，4）．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+4经过点B，C，
当x＝0时，y＝﹣x+4，
∴y＝4，
即C（0，4），
当y＝0时，y＝﹣x+4，
∴x＝4，
即B（4，0），
∵点B、C在抛物线上，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣5x+4；
（2）由题知，P（m，﹣m+4），Q（m，m2﹣5m+4），
∴PQ＝（﹣m+4）﹣（m2﹣5m+4）＝﹣（m﹣2）2+4，
∵a＝﹣1＜0，
故PQ有最大值，
∴当m＝2时，PQ的最大值为4，
此时PQ＝CO＝4，
又∵PQ∥OC，
∴四边形OCPQ为平行四边形；
（3）∵∠AQP＝∠DQP，如图：

∴直线AQ和直线DQ关于直线PQ对称，
由（2）知，当线段PQ最大时，直线PQ的表达式为：x＝2，
此时点Q的坐标（2，﹣2），点A的坐标为（1，0），
则点A关于PQ的对称点A'（3，0），
设直线A'Q的表达式为y＝kx+r，
代入点A'和Q的坐标，得，
解得，
∴直线A'Q的表达式为y＝2x﹣6，
联立直线A'Q和抛物线y＝x2﹣5x+4得，
解得（舍去）或，
即点D的坐标为（5，4）．