2022-2023学年安徽省六安市金安区皋城中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省六安市金安区皋城中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年安徽省六安市金安区皋城中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 要使二次根式 x−3有意义，则x的值可以为(    )
A. −2 B. 4 C. 2 D. 0
2. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是(    )
A. 3， 4， 5 B. 0.3，0.4，0.5
C. 1， 2，3 D. 2，3，4
3. 用配方法解方程x2+4x−1=0，下列配方结果正确的是(    )
A. (x+2)2=5 B. (x+2)2=1 C. (x−2)2=1 D. (x−2)2=5
4. 一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形的边数是(    )
A. 10 B. 11 C. 9 D. 8
5. 已知x=1是方程x2+ax+2=0的一个根，则方程的另一个根为(    )
A. 2 B. −2 C. −3 D. 3
6. 我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是(    )
A. B.
C. D.
7. 某经济开发区，今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，二月、三月平均每月的增长率是多少？若设平均每月的增长率为x，根据题意，可列方程为(    )
A. 50(1+x)2=175 B. 50+50(1+x)+50(1+x)2=175
C. 50(1+x)+50(1+x)2=175 D. 50+50(1+x)2=175
8. 已知m，n是方程x2−10x+1=0的两根，则代数式m2−9m+n的值等于(    )
A. 0 B. −11 C. 9 D. 11
9. 给出一种运算：对于函数y=xn，规定y′=nxn−1.例如：若函数y=x4，则有y′=4x3.已知函数y=x3，则方程y′=12的解是(    )
A. x1=4，x2=−4 B. x1=2，x2=−2
C. x1=x2=0 D. x1=2 3，x2=−2 3
10. 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法：
①若a+b+c=0，则b2−4ac≥0
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；
③若−c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2−4ac=(2ax0+b)2．
其中正确的(    )
A. 只有①② B. 只有①②④ C. ①②③④ D. 只有①②③
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 化简： (−3)2= ______ ．
12. 若实数m、n满足|m−3|+ n−4=0，且m、n恰好是直角三角形的两条边长，则该直角三角形的斜边上的高为______．
13. 若实数x，y满足(x2+y2+1)(x2+y2−2)=0，则x2+y2的值是______．
14. 等腰三角形ABC中，AB=AC=6，∠BAC=45°，以AC为腰作等腰直角三角形ACD，∠CAD为90°，则点B到CD的距离为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题8.0分)
计算： 6× 2−(− 3)2+| 3−3|．
16. (本小题8.0分)
解方程：x2−3x=1．
17. (本小题8.0分)
已知：a= 5+2，b= 5−2．
(1)求ab．
(2)求a2+b2−ab．
18. (本小题8.0分)
已知关于x的一元二次方程x2−kx+k−1=0．
(1)求证：无论k取何值，该方程总有实数根；
(2)已知x=2是方程的一个根，求k的值．
19. (本小题10.0分)
在所给的格点图中，每个小正方形的边长都是1．
(1)在图中画出一个△ABC，使其三边长分别为 5， 10，5三个顶点都在格点上．
(2)直接写出△ABC的面积．

20. (本小题10.0分)
若规定两数a，b通过运算得4ab，即a※b=4ab.例如2※6=4×2×6=48．
(1)求2※ 12的值；
(2)求x※x+2※x−2※4=0中x的值．
21. (本小题12.0分)
阅读材料，回答问题：
观察下列各式
1+112+122=1+11−12=112；
1+122+132=1+12−13=116；
1+132+142=1+13−14=1112．
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题：
(1)猜想： 1+172+182=______=______；
(2)归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n(n为正整数)表示的等式：______；
(3)应用：用上述规律计算 1+112+122+ 1+122+132+ 1+132+142+…+ 1+192+1102．
22. (本小题12.0分)
如图所示，有一长方形的空地，长为x米，宽为12米，建筑商把它分成甲、乙、丙三部分，甲和乙为正方形，现计划甲建筑成住宅区，乙建成商场，丙开辟成公园．

(1)请用含x的代数式表示正方形乙的边长：______米；
(2)若丙地的面积为32平方米，请求出x的值．
23. (本小题14.0分)
黄山毛峰是中国十大名茶之一，属于绿茶，产于安徽省黄山(徽州)一带，也称徽茶．有诗日：“未见黄山面，十里闻茶香”.某茶庄以600元/kg的价格收购一批毛峰，物价部门规定销售单价不低于成本且不得超过成本2倍，经试销过发现，日销量y(kg)与销售单价x(元/kg)满足一次函数关系式，部分对应数据如表：
x(元/kg)
…
600
800
…
y(kg)
…
100
80
…
(1)根据表格提供的数据，求出y关于x的函数关系式；
(2)在销售过程中，每日还需支付其他费用9000元，当销售单价为多少时，该茶庄日利润为7000元？
(3)在(2)的条件下，店员甲说售价越高，则利润越大，甲的说法正确吗？如果正确，请给出理由，如果不正确，请给出反例．
答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：由题意得：x−3≥0，
解得：x≥3，
因此，只有B选项的4满足条件，
故选：B．
根据二次根式有意义的条件可得x−3≥0，再解即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．

2.【答案】B 
【解析】解：A、( 3)2+( 4)2≠( 5)2，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、0.32+0.42=0.52，能构成直角三角形，故符合题意；
C、12+( 2)2≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；
D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：B．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．

3.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
在本题中，把常数项−1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方．
【解答】
解：把方程x2+4x−1=0的常数项移到等号的右边，得到x2+4x=1
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2+4x+4=1+4
配方得(x+2)2=5．
故选A．  
4.【答案】D 
【解析】解：设这个多边形的边数是n，
由题意得：(n−2)⋅180°=1080°，
∴n=8，
故选：D．
由多边形内角和定理：(n−2)⋅180° (n≥3且n为整数)，可求多边形的边数．
本题考查多边形的有关知识，关键是掌握多边形的内角和定理．

5.【答案】A 
【解析】
【分析】
根据x=1是方程x2+ax+2=0的一个根和两根之积等于常数项与二次项系数的比值，可以求得方程的另一个根．
【解答】
解：设方程x2+ax+2=0的另一个根为b，
∵x=1是方程x2+ax+2=0的一个根，
∴1×b=2，
解得b=2．
故选：A．
【点评】
本题主要考查一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系等知识，解答本题的关键是明确两根之积等于常数项与二次项系数的比值．  
6.【答案】D 
【解析】解：A、∵12ab+12c2+12ab=12(a+b)(a+b)，
∴整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、∵4×12ab+c2=(a+b)2，
∴整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、∵4×12ab+(b−a)2=c2，
∴整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．
本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．

7.【答案】B 
【解析】解：二月份的产值为：50(1+x)，
三月份的产值为：50(1+x)(1+x)=50(1+x)2，
故第一季度总产值为：50+50(1+x)+50(1+x)2=175．
故选B．
增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)增长次数，本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．
本题考查的是一元二次方程的运用，解此类题目时常常要按顺序列出接下来几个月的产值，再根据题意列出方程即可．

8.【答案】C 
【解析】解：∵m是方程x2−10x+1=0的根，
∴m2−10m+1=0，
∴m2=10m−1，
∴m2−9m+n=10m−1−9m+n=m+n−1，
∵m，n是方程x2−10x+1=0的两根，
∴m+n=10，
∴m2−9m+n=10−1=9．
故选：C．
先根据一元二次方程根的定义得到m2=10m−1，则m2−9m+n可化为m+n−1，再根据根与系数的关系得到m+n=10，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca.还考查了一元二次方程的解及代数式求值．

9.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了利用直接开平方法解一元二次方程，同时还以新定义的形式考查了学生的阅读理解能力；注意：①二次项系数要化为1，②根据平方根的意义开平方时，是两个解，且是互为相反数，不要丢解．首先根据新定义求出函数y=x3中的n，再与方程y′=12组成方程得出：3x2=12，用直接开平方法解方程即可．
【解答】
解：由函数y=x3得n=3，则y′=3x2，
∴3x2=12，
x2=4，
x=±2，
x1=2，x2=−2，
故选B．  
10.【答案】B 
【解析】解：①∵a+b+c=0，
∴x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的解，
∴Δ=b2−4ac≥0，结论①正确；
②∵方程ax2+c=0有两个不相等的实根，
∴Δ=−4ac>0，
∴Δ=b2−4ac≥−4ac>0，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根，结论②正确；
③∵−c是方程ax2+bx+c=0的一个根，
∴ac2−bc+c=0，
若c为1，则a×1×c−b×1+1=0，
即ac−b+1=0，结论③错误；
④∵x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
∴x0=−b± b2−4ac2a，
∴± b2−4ac=2ax0+b，
∴b2−4ac=(2ax0+b)2，结论④正确．
∴正确的结论有①②④．
故选：B．
①由a+b+c=0，可得出x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的解，进而可得出Δ=b2−4ac≥0；
②由方程ax2+c=0有两个不相等的实根，可得出Δ=−4ac>0，结合偶次方的非负性，可得出Δ=b2−4ac≥−4ac>0，进而可得出方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根；
③代入x=−c，可得出ac2−bc+c=0，当c=1时，无法得出ac+b+1=0；
④利用求根公式，可得出x0=−b± b2−4ac2a，变形后即可得出b2−4ac=(2ax0+b)2．
本题考查了根的判别式、等式的性质以及一元二次方程的解，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．

11.【答案】3 
【解析】解：原式= 9=3．
故答案为：3．
直接根据算术平方根的定义计算即可．
本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是关键．

12.【答案】125或3 74 
【解析】解：设该直角三角形的第三边的长度为c，该直角三角形的斜边上的高为h，
∵实数m、n满足|m−3|+ n−4=0，
∴m−3=0且n−4=0．
∴m=3，n=4．
当n=4为直角边时，则c= 42+32=5.此时12×3×4=12×5×h，则h=125．
当n=4为斜边时，则c= 42−32= 7.此时12×3× 7=12×4×h，则h=3 74．
综上所述，该直角三角形的斜边上的高为125或3 74．
故答案是：125或3 74．
利用非负数的性质求出m，n，再分两种情况根据勾股定理求得第三边的长度，结合等面积法求得答案．
本题考查非负数的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握“在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方”，属于中考常考题型．

13.【答案】2 
【解析】解：(1)设x2+y2=m，
原方程化为：(m+1)(m−2)=0，
∴m+1=0或m−2=0，
解得m1=−1，m2=2，
∵x2+y2≥0，
∴x2+y2=2．
故答案为：2．
设x2+y2=m，方程变形后用求根公式求解，再根据x2+y2≥0，这个条件确定最后结果．
本题考查了换元法解一元二次方程，掌握如何换元是解题关键．

14.【答案】3 2或6−3 2 
【解析】解：本题有两种情况：
如图1，过点A作AE⊥CD于点E，
∴∠AEC=90°
∵△ACD等腰直角三角形，
∴∠ACD=45°，
∴∠CAE=180°−∠AEC−∠ACD=45°，
∴AE=CE，
∴AE²+CE²=AC²
∵AC=6，
∴AE=3 2
∵∠BAC=45°，
∴∠ACD=∠BAC，
∴AB//CD，
∴点B到CD的距离等于点A到CD的距离，即AE的长
∴点B到CD的距离为：3 3．
如图2，AB、CD交于点E，
∵△ACD等腰直角三角形，
∴∠ACD=∠BAC=45°，
∴∠AEC=90°，AE=CE
∴AE²+CE²=AC²，
∵AC=6，
∴AE=3 2，
∴BE=AB−AE=6−3 3．
∴点B到CD的距离为6−3 2
综上所述：点B到CD的距离为3 2或6−3 2．
故答案为：3 2或6−3 2．
根据题意画出图形，分两种情况根据等腰直角三角形的性质即可求得点B到CD的距离．
本题考查了作图−复杂作图、等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握等腰直角三角形的性质．

15.【答案】解：原式= 12−3+3− 3
=2 3− 3
= 3． 
【解析】先计算乘方、乘法和绝对值，然后再合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、二次根式的运算法则是解决本题的关键．

16.【答案】解：移项得，x2−3x−1=0
∵a=1，b=−3，c=−1，
△=b2−4ac=(−3)2−4×1×(−1)=13>0，
∴方程有两个不等的实数根，
∴x=−b± b2−4ac2a=3± 9+42=3± 132． 
【解析】根据解方程的方法，先确定所选择的方法，再用这种方法解题即可．
本题考查了一元二次方程的解法．要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解．

17.【答案】解：(1)ab=( 5+2)( 5−2)=( 5)2−22=5−4=1；
(2)∵a= 5+2，b= 5−2，
∴a+b=( 5+2)+( 5−2)=2 5，
∴a2+b2−ab
=a2+2ab+b2−3ab
=(a+b)2−3ab
=(2 5)2−3×1
=17． 
【解析】(1)根据平方差公式计算；
(2)根据二次根式的加法法则求出a+b，根据完全平方公式把原式变形，把a+b、ab的值代入计算即可．
本题考查的是二次根式的加法、二次根式的乘法，掌握它们的运算法则是解题的关键．

18.【答案】(1)证明：∵在关于x的一元二次方程x2−kx+k−1=0中，
Δ=(−k)2−4×1×(k−1)
=k2−4k+4
=(k−2)2≥0，
∴无论k取何值，该方程总有实数根；
(2)解：把x=2代入方程x2−kx+k−1=0，
得4−2k+k−1=0，
解得k=3，
所以k的值为3． 
【解析】(1)根据方程的系数结合根的判别式，可得Δ=(k−2)2≥0，由此可证出无论k取何值，该方程总有实数根；
(2)把x=2代入方程x2−kx+k−1=0，即可求出k的值．
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；②Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；③Δ<0⇔方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根的定义以及一元一次方程的解法．

19.【答案】解：(1)取格点A，B，C，连接AB，AC，BC，如图：

△ABC即为所求；
(2)∵S△ABC=12×5×1=52，
∴△ABC的面积为52． 
【解析】(1)根据勾股定理，按要求取格点A，B，C，作出符合条件的三角形即可；
(2)由三角形面积公式列式计算即可．
本题考查作图−应用与设计作图，解题的关键是掌握勾股定理及三角形面积公式的应用．

20.【答案】解：(1)原式=4×2× 12=16 3；
(2)由题意得：4x2+8x−32=0，
解得：x1=2，x2=−4． 
【解析】(1)根据：a※b=4ab，可得：2※ 12=4×2× 12；
(2)根据新运算列出关于x的方程，再解方程即可．
此题主要考查了定义新运算，以及实数的运算，解答此题的关键是要明确“※”的运算方法．

21.【答案】解：(1)1+17−18 ，1156 ；
(2) 1+1n2+1(n+1)2=1+1n−1n+1=11n(n+1);
(3) 1+112+122+ 1+122+132+ 1+132+142+…+ 1+192+1102
=1+1−12+1+12−13+1+13−14+···+1+19−110
=10−110
=9910． 
【解析】解：(1)根据题意可得： 1+172+182=1+17−18=1156；
故答案为：1+17−18，1156；
(2)根据题意可得： 1+1n2+1(n+1)2=1+1n−1n+1=11n(n+1)；
故答案为： 1+1n2+1(n+1)2=1+1n−1n+1=11n(n+1)；
(3) 1+112+122+ 1+122+132+ 1+132+142+…+ 1+192+1102
=1+1−12+1+12−13+1+13−14+···+1+19−110
=10−110
=9910．
(1)根据题目所给的例题可知 1+172+182可化为1+17−18，计算即可得出答案；
(2)根据题意可知规律为 1+1n2+1(n+1)2，可化为1+1n−1n+1，计算即可得出答案；
(3)根据题意可化为1+1−12+1+12−13+1+13−14+···+1+19−110，根据有理数加法计算即可得出答案．
本题主要考查了数字的变化类规律型及二次根式的性质与化简，根据题意理解题目所给的规律应用二次根式的性质进行计算是解决本题的关键．

22.【答案】解：(1)(x−12)；
(2)结合(1)得，丙的宽为(24−x)米，所以丙的面积为：(x−12)(24−x)平方米，
列方程得，(x−12)(24−x)=32
解方程得x1=20，x2=16． 
【解析】
解：(1)因为甲和乙为正方形，结合图形可得丙的长为：(x−12)米．
同样乙的边长也为(x−12)米
故答案是：(x−12)；
(2)见答案．
【分析】
(1)由甲和乙为正方形，且该地长为x米，宽为12米，可得出丙的长，也即乙的边长．
(2)由(1)已求得丙的长，再求出丙的宽，即可得出丙的面积，由此列出方程，求解x即可．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是表示出有关的线段的长，难度不大．  
23.【答案】解：(1)设y关于x的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
将(600,100)，(800,80)代入y=kx+b得：600k+b=100800k+b=80，
解得：k=−110b=160，
∴y关于x的函数关系式为y=−110x+160(600≤x≤1200)．
(2)依题意得：(x−600)(−110x+160)−9000=7000，
整理得：x2−2200x+1120000=0，
解得：x1=800，x2=1400．
又∵600≤x≤1200，
∴x=800．
答：当销售单价为800元时，该茶庄日利润为7000元．
(3)店员甲的说法不正确，设利润为w元，
当x=1100时，利润w=(x−600)(−110x+160)−9000=(1100−600)×(−110×1100+160)−9000=16000；
当x=1200时，利润w=(x−600)(−110x+160)−9000=(1200−600)×(−110×1200+160)−9000=15000．
当1100<1200时，16000>15000，
∴店员甲的说法不正确． 
【解析】(1)根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出y关于x的函数关系式；
(2)利用该茶庄日利润=每千克的销售利润×日销售量−9000，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
(3)店员甲的说法不正确，设利润为w元，代入x=1100及x=1200，求出w的值，比较后即可得出店员甲的说法不正确(利用二次函数的性质解决问题亦可)．
本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)根据给定数据，利用待定系数法求出y关于x的函数关系式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(3)代入x=1100及x=1200，求出w的值．