江西省萍乡市安源中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题

安源中学2022—2023学年下学期期中

高一数学

一、单选题（每题5分，共40分）

1．设集合，则集合的子集个数为（    ）

A．6 B．4 C．2 D．1

2．化为角度是（    ）

A． B． C． D．

3．已知扇形弧长为，圆心角为，则该扇形面积为（    ）

A． B． C． D．

4．已知向量，，则（      ）

A． B．2 C． D．50

5．在中，为的中点，为的中点，设，，则（    ）

A． B． C． D．

6．中若有，则的形状一定是（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．锐角三角形 D．等腰直角三角形

7．足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点，使得最大，这时候点就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点处时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可选择，若选择线路，甲到达最佳射门位置时，需要带球距离为（   ）

A．码 B．码

C．码 D．码

8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，点D在边AB上，，则的外接圆的面积是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题（每题5分，共20分）

9．下列各式中值为1的是（    ）

A． B．

C． D．

10．下列说法中正确的是（    ）

A．度与弧度是度量角的两种不同的度量单位

B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的

C．根据弧度的定义，一定等于弧度

D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关

11．已知函数（，）的部分图象所示，点，，则下列说法中正确的是（    ）

A．直线是图象的一条对称轴

B．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到

C．的最小正周期为

D．在区间上单调递增

12．已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题（共20分）

13．设向量满足，，则      ．

14．已知，向量与垂直，则实数          .

15．关于的方程的一个解          

16．如图，已知直线，A是直线，之间的一定点，并且点A到，的距离分别为，，B，C分别为直线，上的动点，且满足，则面积的最小值为      ．

四、解答题（共70分）

17．已知为第二象限角，且.

(1)求的值；

(2)求的值.

18．已知.

(1)把写成的形式，并指出它是第几象限角;

(2)求，使与的终边相同，且.

19．已知函数.

(1)求的最小正周期；

(2)当时，求的最小值及取得最小值自变量的值.

20．已知内角的对边分别为，设.

(1)求；

(2)若的面积为，求的值.

21．如图，在平面四边形中，，，.

(1)若，求的面积；

(2)若，求的值.

22．如图，设中的角A，B，C所对的边是a，b，c，AD为∠BAC的角平分线，已知，，，点E，F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于点G，且的面积是面积的一半.

(1)求边BC的长度；

(2)设，，，当时，求k的值.

1．B

解：因为集合中有两个元素，

所以集合的子集个数为，

故选：B

2．B

.

故选：B

3．C

设扇形的半径为，则，解得，

所以扇形的面积为．

故选：C.

4．A

由题意向量，，

则向量，

故，

故选：A

5．C

因为为的中点，为的中点，

所以，

又因为，，

所以.

故选：C

6．B

由，得，

所以，

所以，

所以，

所以，

因为，所以，

所以，因为，所以，

所以为直角三角形，

故选：B

7．D

若甲选择线路，设，

因为，，，

，，

所以，

，

当且仅当时，即当时，等号成立，此时，，

因此，若选择线路，甲到达最佳射门位置时，需要带球距离为码.

故选：D.

8．B

因为，所以由正弦定理得，

所以，

所以，所以，

所以，因为，所以，

因为，所以，所以，

在中，由正弦定理得，，

所以，

因为，

所以，得，

所以

在中，由余弦定理得，

，

所以，

设外接圆半径为，则由正弦定理得，

所以，

所以的外接圆的面积是，

故选：B

9．CD

对于A，，故A错误；

对于B，，故B错误；

对于C，，故C正确；

对于D，，故D正确.

故选：CD

10．ABC

根据角度制和弧度制的定义可知，度与弧度是度量角的两种不同的度量单位，所以A正确；

由圆周角的定义知，1度的角是周角的，1弧度的角是周角的，所以B正确；

根据弧度的定义知，一定等于弧度，所以C正确；

无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短无关，只与弧长与半径的比值有关，故D不正确.

故选：ABC.

11．ACD

由得，∴.

又，∴，∴.

根据“五点法”可得，解得，故.

令，得，为最大值，故直线是图象的一条对称轴，故A正确；

把的图象向左平移个单位长度，可得的图象，故B不正确；

的最小正周期为，故C正确；

当时，，故此时单调递增，故D正确.

故选：ACD

12．BC

先证明出当时，，如下图所示：

设点，设，其中，设点在轴上的射影点为，

过点作轴的垂线交射线于点，则，，，

由图可知，，即，

故当时，，

因为、，则，因为，则，

因为，则，

故选：BC.

13．5

因为，，

所以，

故答案为：5

14．

，

，

向量与垂直，

，

解得实数.

故答案为：.

15．

令，其中，则，

所以，函数为偶函数，

由，可得，

则原方程的一个解满足，可解得.

故答案为：（答案不唯一）.

16．

依题意，当点在过点垂直于的直线同侧时，，

设，则，在中，

，因此的面积

，

而，即，，当且仅当，即取等号，

当与重合时，，，，

当与重合时，，同理，

当在过点垂直于的直线两侧时，则有，，

或，，，

所以面积的最小值为.

故答案为：

17．(1)

(2)

（1）因为为第二象限角，，

所以，

所以

（2）原式，

分子分母同时除以，

则原式.

18．(1)，第三象限角

(2)或.

（1）因为

于是，它是第三象限角.

（2）由（1）知，

因为，所以，即，

因为，所以或.

当时，；

当时，．

所以或.

19．(1)

(2)最小值为，当时取得.

（1），

故最小正周期为

（2）由于，则，

注意到在上满足，上，

于是要求的最小值只用考虑的情况，

由在上单调递减，，

于是在上递减，

故时，即，取到最小值.

20．(1)

(2)

（1）原式化简可得：，

整理得：，

由正弦定理可得：，

因此三角形的内角；

（2），

，

，

.

21．(1)

(2)

（1），，

所以，

在中，，

，

的面积.

（2），，

，

，

在中，，，

在中，由正弦定理有，

即，

由积化和差公式有，

，

将此结果代入式中化简可得：，

解得（舍负），

.

22．(1)；

(2).

（1）解：由，得,

又因为，所以，

又因为，

过D分别作DM∥AC,DN∥AB,交AB,AC于点M，N，

所以，，

所以,

所以,

又因为,

所以；

（2）解：因为，，，

的面积是面积的一半，

所以，

所以①，

，

由，得，

又因为三点共线，

所以，即，

所以，

又，

所以，

又因为，

所以②，

由①②解得，

所以.