4.河南省郑州市第一中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题

这是一份4.河南省郑州市第一中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知复数满足，则（ ）
A．B．1C．D．2
2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，则这个几何体不可能是
A．圆锥B．圆柱C．球D．棱柱
3．欧拉公式(为自然底数，为虚数单位)是瑞士数学家欧拉最早发现的，是数学界最著名､最美丽的公式之一根据欧拉公式，复数在复平面内对应点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
4．在ABC中，BC＝1，AB＝，C＝，则A＝（ ）
A．或B．C．或D．
5．已知圆锥的高为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积是（ ）
A．B．C．D．
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．则△ABC的形状为( )
A．正三角形B．等腰直角三角形
C．直角三角形D．等腰三角形
7．如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的周长为（ ）
A．20B．12C．D．
8．已知中，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．如图长方体被一个平面截成两个几何体，其中，则（ ）
A．几何体是一个六面体
B．几何体是一个四棱台
C．几何体是一个四棱柱
D．几何体是一个三棱柱
10．已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．复数在复平面内对应的点在第四象限B．复数的虚部为
C．复数的共轭复数D．复数的模
11．设点D是所在平面内一点，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则点D是边BC的中点
B．若，则直线AD经过的垂心
C．若，则点D在边BC的延长线上
D．若，且，则是面积的一半
12．设复数（）（i为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．“”的充要条件是“”
B．若，则的最大值为3
C．若，，则
D．方程在复数集中有6个解
三、填空题
13．设向量，，若，则 .
14．已知复数和满足，且，则的最小值是 ．
15．在中，点O为BC的中点，过O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N若，则的值为
16．在中，内角所对的边分别为，是的中点，若 且，则面积的最大值是
四、解答题
17．已知是同一平面的三个向量，其中．
（1）若，且，求的坐标；
（2）若与的夹角的余弦值为，且，求．
18．如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛 B位于小岛A 北偏东距离60海里处，小岛B北偏东距离海里处有一个小岛 C.
(1)求小岛A到小岛C的距离；
(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛 C，求游船航行的方向.
19．已知复数是一元二次方程的一个根.
（1）求和的值；
（2）若，，为纯虚数，求的值.
20．在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且满足.
(1)求的值;
(2)若为线段上任意一点，求的最小值.
21．如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算它的表面枳和体积（尺寸如图，单位：cm）．
注：
22．在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.
(1)求角的大小；
(2)若，求的取值范围.
参考答案：
1．C2．D3．B4．B5．A6．C7．A8．B
9．ACD10．BCD11．ABD12．ABD
13．214．415．216．
17．（1）或；（2）
【详解】解：（1）∵，∴存在实数使得，
∵，∴，解得，
∴或.
（2）∵，与的夹角的余弦值为
∴，
∵，∴，
∴ ，解得.
18．(1)海里
(2)游船应该沿北偏东的方向航行.
【详解】（1）解：(1)在中，
，根据余弦定理得：.
.
所以小岛A到小岛 C的最短距离是海里.
（2）解：(2)根据正弦定理得：
解得
在中，
为锐角
.
由得游船应该沿北偏东的方向航行
答:小岛A到小岛 C的最短距离是海里;游船应该沿北偏东的方向航行.
19．（1）；（2）4.
【详解】（1）是一元二次方程的一个虚根，则是一元二次方程的另一个虚根，
，得，
，解得，
因此，；
（2）是纯虚数，
则，即，因此，.
20．(1);(2)
【详解】(1)在梯形中，因为，，所以，

;
(2)令，
则，即，
令，则，，
所以当时，有最小值.
21．体积；表面积
【详解】易知三视图复原的几何体下部底座是棱台，中部是棱柱，上部是球，
故这个奖杯的体积
；
如上图所示奖杯底座上下中心设为D、B两点，I、K、J、L分别为上下棱的中点，
则由三视图可得，
同理可得，
故这个奖杯的表面积：
．
22．(1)
(2)
【详解】（1）在中，，
∵，
∴，
即，
由正弦定理得：，
∴，∴，
又，∴，∴.
（2）由正弦定理得：，∴，，
∴

，
∵，∴，即，
∴，，
∴，
即.