2022-2023学年湖南省常德市汉寿县第五中学高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年湖南省常德市汉寿县第五中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为（    ）．

A．一个球体

B．一个球体中间挖去一个圆柱

C．一个圆柱

D．一个球体中间挖去一个长方体

【答案】B

【分析】根据旋转体的概念判断．

【详解】中间轴是圆的直径所在直线，且是中间矩形的对称轴，绕它旋转一周，中间矩形形成圆柱，圆形成球，所以几何体是一个球体中间挖去一个圆柱．

故选：B．

2．已知向量，，且，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出向量的坐标，利用共线向量的坐标表示可得出关于的等式，即可求得实数的值.

【详解】由已知可得，因为，可得，解得.

故选：C.

3．两条异面直线指的是（    ）

A．不同在任何一个平面内的两条直线

B．在空间内不相交的两条直线

C．分别位于两个不同平面内的直线

D．某一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线

【答案】A

【分析】根据异面直线的定义判断即可.

【详解】解：两条异面直线指的是不同在任何一个平面内的两条直线，故A正确；

空间中不相交的两条直线可以平行或异面，故B错误；

分别位于两个不同平面内的两条直线可以平行、相交或异面，故C错误；

某一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线可以平行、相交或异面，故D错误.

故选：A

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（    ）

A．MN∥PD B．MN∥PA C．MN∥AD D．以上均有可能

【答案】B

【分析】直接利用线面平行的性质分析解答.

【详解】∵MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAD∩平面PAC=PA，

∴MN∥PA.

故选：B

5．已知向量，满足，，，则向量在方向上的投影为（    ）

A． B． C．2 D．1

【答案】A

【解析】由，根据数量积的运算公式，求得，再结合投影的定义和计算公式，即可求解.

【详解】由题意，向量，满足，，

因为，可得，解得，

则向量在方向上的投影为.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的投影的概念及求解，其中解答中熟记向量的垂直的条件，以及向量的投影的概念及运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

6．棱长都是1的三棱锥的表面积为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】棱长都是1的三棱锥，四个面是全等的正三角形，求出一个面积即可求得结果．

【详解】因为四个面是全等的正三角形，

，

则表面积

故选：A.

7．如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（    ）

A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体

【答案】B

【分析】根据图形和棱锥的定义及结构特征，即可得出结论．

【详解】三棱台中，沿平面截去三棱锥，

剩余的部分是以为顶点，四边形为底面的四棱锥．

故选：B

8．已知，，，则的形状是（    ）

A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形

【答案】A

【解析】利用坐标表示，根据向量数量积坐标表示，可得结果.

【详解】，，

，

，，

为直角三角形.

故选：A

【点睛】本题考查通过向量数量积坐标表示，判断三角形形状

二、多选题

9．若，则下列结论正确的是（    ）

A．的虚部为 B．

C． D．

【答案】BD

【分析】先对复数化简，然后逐个分析判断即可.

【详解】，

对于A，复数的虚部为1，所以A错误，

对于B，，所以B正确，

对于C，，所以C错误，

对于D，，所以D正确，

故选：BD

10．以长为8 cm，宽为6 cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的表面积为（    ）

A．64π cm2 B．96π cm2

C．168π cm2 D．224π cm2

【答案】CD

【分析】分以长所在的直线为旋转轴和以宽所在的直线为旋转轴两种情况求解即可.

【详解】当以长所在的直线为旋转轴时，则得到的圆柱的表面积为

cm2，

当以宽所在的直线为旋转轴时，则得到的圆柱的表面积为

cm2，

故选：CD

11．（多选题）已知向量＝（1，－3），＝（2，－1），＝（m＋1，m－2），若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（　　）

A．－2 B． C．1 D．－1

【答案】ABD

【分析】先求与，使之共线并求出的值，则A，B，C三点不共线即可构成三角形，因此取共线之外的值即可．

【详解】因为，

．

假设A，B，C三点共线，则1×（m＋1）－2m＝0，即m＝1．所以只要m≠1，则A，B，C三点即可构成三角形.

故选：ABD．

12．（多选）分别为内角的对边，已知，且，则（    ）

A． B．

C．的周长为 D．的面积为

【答案】ABD

【分析】由正弦定理得，即可判断A选项；由平方关系及商数关系即可判断B选项；先由余弦定理得，再求出周长即可判断C选项；先求得，再求面积即可判断D选项.

【详解】由正弦定理得，整理得，即，A正确；

由可得，则，B正确；

由余弦定理得，又，可得，

整理得，的周长为，C错误；

由上知：，，可得，

则的面积为，D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．若复数为纯虚数，则实数的值为        ．

【答案】1

【分析】由纯虚数的概念得实部为0，且虚部非0，可解得.

【详解】因为复数为纯虚数，

所以解得.

故答案为：1.

14．在中，若，，，则           ．

【答案】

【分析】已知三角形三边可利用余弦定理求夹角.

【详解】由余弦定理得，所以.

故答案为：.

15．向量，则                   .

【答案】

【分析】根据向量的坐标运算求解即可.

【详解】解：因为，

所以，

所以

故答案为：

四、双空题

16．如图，已知中，为的中点，，交于点，设，．

（1）用表示向量               

（2）用表示向量                  

【答案】         

【分析】根据图形进行向量线性运算即可.

【详解】，

为的中点，，可得，

，．

∵，则

∴，

故答案为：；.

五、解答题

17．已知点，，向量 .

(1)求；

(2)当时，求y的值.

【答案】(1)5

(2)

【分析】（1）计算得，利用模长公式即可得到答案；

（2）利用两向量垂直满足的条件列出方程，求解y的值

【详解】（1），

则.

（2）若，则，

解得：.

18．在中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c．

（1）若求；

（2）若求．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）直接由正弦定理可得解；

（2）直接由余弦定理可得解.

【详解】（1）若

根据正弦定理可得：，

所以，

（2）因为

由余弦定理可得：，

所以

19．已知△的内角，，的对边分别为，，，若．

（1）求角．

（2）若，求△的面积．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由正弦定理边角关系，结合三角形内角性质得，进而求角．

（2）由余弦定理得求b，再利用三角形面积公式求△的面积．

【详解】（1）由正弦定理，，又，

，即，由，得.

（2）由余弦定理知：，

∴，解得，

.

20．已知正方体图，求证：平面平面.

【答案】证明见解析.

【解析】先证明四边形为平行四边形，可得平面，同理平面，可得证明.

【详解】证明：为正方体，

.

.

∴四边形为平行四边形.

.

又平面，平面,

∴平面.

同理平面.

又，

∴平面平面.

【点睛】本题主要考查直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，属于中档题.

21．如图，某几何体的下部分是长､宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求：

（1）该几何体的体积；

（2）该几何体的表面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）按照公式求出长方体和四棱锥的体积，求和即可；（2）先找到四棱锥侧面的高，然后可求出四棱锥的侧面积，继而求长方体的表面积，求和即可.

【详解】连接，交于点，取的中点，连接，，

（1）

∴

（2）∵，

∴

【点睛】易错点睛：求棱锥的表面积时要注意高为面的高，而不是棱锥的高.

22．如图，在正方体中，与交于点，求证：

(1)直线∥平面；

(2)平面∥平面．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）由正方体的性质可证得四边形为平行四边形，则∥，然后由线面平行的判定定理可证得结论；

（2）由（1）可知∥平面，由正方体的性质可得四边形为平行四边形，则可得∥，然后由线面平行的判定定理可得∥平面，再由面面平行的判定定理可证得结论.

【详解】（1）证明：因为正方体中，∥，，

所以四边形为平行四边形，所以∥，

因为平面，平面，

所以∥平面；

（2）证明：因为正方体中，∥，，

所以四边形为平行四边形，所以∥，

因为平面，平面，所以∥平面，

由（1）知∥平面，

因为，平面，

所以平面∥平面.