2022-2023学年湖南省常德市汉寿县第一中学高一下学期开学考试数学试题（解析版）

2022-2023学年湖南省常德市汉寿县第一中学高一下学期开学考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，则中元素的个数为（    ）

A．9 B．8 C．5 D．4

【答案】A

【分析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.

【详解】

当时，；

当时，；

当时，；

所以共有9个，

故选：A.

【点睛】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.

2．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据全称量词命题的否定方法写出命题的否定即可.

【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 

所以命题“”的否定为：“”. 

故选：B.

3．函数的图象如图所示，则的解析式为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设函数，由最大值最小值确定，由周期性确定值，由特殊点确定.

【详解】由题图得，∴,又，∴，函数最大值为2，最小值为0，所以，

∴.

当时，，

∴，得，即．

当时，，

∴，即.

故选：D．

4．表示不超过x的最大整数，已知函数，有下列结论：

①的定义域为；②的值域为；③是偶函数；④不是周期函数；⑤的单调增区间为．

其中正确的结论个数是（    ）

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】A

【分析】直接根据解析式可知①正确；通过特殊值可知②和③不正确；根据周期函数的定义可知④正确；根据函数的单调性可以判断，可知⑤正确.

【详解】对于①，的定义域为，故①正确；

对于②，当时，，故②错误；

对于③，,,的图象不关于y轴对称，则不是偶函数，故③错误；

对于④，当时，表示x的小数部分，在上单调递增,在上是周期变化，当时，当时，．是减函数, 在R上不是周期函数，故④正确；

对于⑤，当时，，表示x的小数部分，所以在上单调递增；当时，当时，， 是减函数．故的单调增区间为，故⑤正确．

故①④⑤正确.

故选: A．

5．终边落在直线上的角的集合为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】分别写出终边落在直线上且在第一象限和终边落在直线上且在第三象限的角的集合，取并集得答案．

【详解】解：当角的终边落在直线上且在第一象限时，角的集合为，；

当角的终边落在直线上且在第三象限时，角的集合为，．

取并集可得，终边落在直线上的角的集合为．

故选：．

【点睛】本题考查象限角和轴线角，考查了终边相同角的集合的表示，是基础题．

6．已知，，、均为锐角，则角等于

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】分析：首先利用题中条件以及角的范围，利用平方关系，求得，下一步的任务就是将角进行配凑，之后借助于和角公式求得角的正弦值，结合题中所给的角的范围，进一步求得角的大小.

详解：因为，结合、均为锐角，可以求得，所以 ，所以，故选C.

点睛：该题考查的是有关利用和角公式借助于三角函数值求角的大小，在解题的过程中，需要利用整体思维，将当做一个整体，即整体思维的运用，之后借助于和角公式完成，再者借助于三角函数值求角的大小的时候，一定要参考角的范围进行求解.

7．函数是（    ）

A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数

C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数

【答案】D

【解析】首先根据诱导公式得到，再求函数周期和判断奇偶即可得到答案.

【详解】，.

设，定义域为，

，所以为偶函数.

故选：D

【点睛】本题主要考查三角函数的周期和奇偶，同时考查了三角函数的诱导公式，属于简单题.

二、多选题

8．已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.

【详解】对于A，，

当且仅当时，等号成立，故A正确；

对于B，，所以，故B正确；

对于C，，

当且仅当时，等号成立，故C不正确；

对于D，因为，

所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；

故选：ABD

【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.

9．已知函数(为常数，其中)的图象如图，则下列结论成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据对数函数的图象判断．

【详解】由图象知，可以看作是向左移动个单位得到的，因此，

故选：BD．

10．若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ）

A．的最小周期为 B．

C．是函数图象的一条对称轴 D．在上的最大值为

【答案】AC

【解析】根据题意得，再根据函数性质依次讨论即可得答案.

【详解】解：由题知，故选项B错误；

故函数的最小正周期为，故A选项正确；

对于C选项，令，解得：，

所以函数的对称轴方程为，

当时，，故C选项正确；

对于D选项，当，，

所以，故D选项错误.

故选：AC.

【点睛】本题考查了三角函数图像的变换、正弦函数的周期性、单调性和对称轴等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，是中档题.

11．下列各式中，值为的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据三角恒等变换公式计算每个式子的值，即可得答案；

【详解】对A，，故A错误；

对B，，故B正确；

对C，，故C正确；

对D，，故D错误；

故选：BC.

【点睛】本题考查利用三角恒变换中的二倍角公式、同角三角函数的平方关系求值，考查运算求解能力，属于基础题.

三、填空题

12．已知，则______.

【答案】

【解析】先利用化切为弦,再利用可得到关于的方程,进而求解即可.

【详解】由题,因为,所以,

则,即,解得或（舍）,

因为,所以,

所以,

故答案为:

【点睛】本题考查同角的三角函数关系的应用,考查求三角函数值,考查运算能力.

13．在函数的图像中，离坐标原点最近的一条对称轴的方程为___________．

【答案】

【分析】根据正弦函数对称轴公式求解，再找到 离坐标原点最近的一条对称轴的方程.

【详解】由得对称轴的方程为，其中离坐标原点最近时，，即.

故答案为：.

14．如果圆心角为的扇形所对的弦长为，则扇形的面积为________.

【答案】

【分析】求出扇形的半径，利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积.

【详解】如下图所示，作，已，，则，，

设扇形的半径为，则，

因此，该扇形的面积为.

故答案为：.

【点睛】本题考查扇形面积的计算，求出扇形的半径是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.

15．若角θ的终边经过点P(，m)(m≠0)且sinθ＝m，则cosθ的值为________.

【答案】

【详解】因为角 的终边经过点 且 ， 故答案为 .

四、解答题

16．已知，求下列各式的值：

（1）；

（2）

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）分子分母同除，得到关于的式子，代入已知条件，得到答案.（2）式子的分母1看成，然后分子分母同除，得到关于的式子，代入已知条件，得到答案.

【详解】（1）

，

（2）

【点睛】本题考查同角三角函数的关系，属于简单题.

17．已知．

(1)化简．

(2)若，且，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用诱导公式、同角三角函数的关系即可进行化简；

（2）利用正弦函数的图像性质即可求解.

【详解】（1）．

（2）由，得，所以，

因为，所以，即的取值范围为．

18．已知且

（1）求的取值范围；

（2）在（1）的条件下，求函数的最大值和最小值．

【答案】（1）；（2）最小值为，最大值为.

【分析】（1）由指数幂和对数的运算，结合题设条件，即可求得实数的取值范围；

（2）由（1）得到，根据对数的运算性质，化简得，结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】（1）由，可得，又由，可得，

所以实数的取值范围.

（2）由（1）知，可得，

又由，

，

当时，函数取得最小值；

当时，函数取得最小值.

即函数的最小值为，最大值为.

【点睛】本题主要考查了指数幂和对数的运算法则及其应用，以及二次函数的性质的应用，其中解答中熟记对数的运算法则，合理结合二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

19．已知函数的图象过点，图象与点最近的一个最高点坐标为.

(1)求该函数的解析式；

(2)求该函数的单调递增区间；

(3)求使的的取值集合.

【答案】(1)；(2)；(3)

【解析】(1)根据最高点的坐标，得出的值，再由点和得出周期，结合周期公式得出的值，代入点，结合得出的值，进而得出该函数的解析式；

(2)利用正弦函数的单调增区间化简得出该函数的单调递增区间；

(3)利用正弦函数的性质求解不等式即可.

【详解】(1)∵图象的一个最高点的坐标为，∴

∵，∴

∴.∴

代入点

得

∴

∴

∵，∴

∴

(2)∵函数的单调递增区间满足

∴

∴

∴函数的单调递增区间为

(3)∵

∴

∴.

【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的解析式以及解正弦不等式，求单调性，属于中档题.

20．如图所示的函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成．

（1）求的解析式；

（2）比较与的大小；

（3）已知，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）；（3）.

【详解】试题分析：（1）将分别代入，，求得，所以；

（2）因为，所以，即；

（3）由题意，根据定义域和单调性，有解得.

试题解析：

（1）由题意得解得∴

（2）因为，所以，即．

（3）由题意，

所以解得，

所以的取值范围是．

【解析】函数的单调性.

21．如图，动点从点出发，沿圆周运动，点按逆时针方向每秒转弧度，点Q按顺时针方向每秒转弧度，求第一次相遇时所用的时间及点各自走过的弧长.

【答案】第一次相遇时所用的时间为.点走过的弧长为，点走过的弧长为.

【分析】设出两点相遇时间，用两点所走过的弧长之和为建立方程，解方程求得时间，进而求得两点所走过的弧长.

【详解】依题意知圆的半径为，设第一次相遇时所用的时间是，则.解得，即第一次相遇时所用的时间为. 点走过的弧长为，点走过的弧长为.

【点睛】本小题主要考查角速度有关计算，考查方程的思想，属于基础题.