2022-2023学年湖北省仙桃市田家炳实验高级中学高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年湖北省仙桃市田家炳实验高级中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由诱导公式和两角差的余弦公式化简计算.

【详解】

故选：C

2．下列函数的最小正周期为且为奇函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据三角函数的周期公式和奇偶性，分别判断选项.

【详解】根据函数的性质可知是周期，且是偶函数，故A不正确；

是周期为，且是奇函数，故B不正确；

，，且，所以函数是周期为的偶函数，故C不正确；

的周期，且是奇函数，故D正确.

故选：D

3．设，则大小关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简三个数，通过三角函数的单调性判断即可．

【详解】解：，

，

因为，所以

故选：D

4．已知向量，且，，则（    ）

A．3 B． C． D．

【答案】B

【分析】利用向量共线和向量垂直的坐标表示求出x，y，再求出的坐标计算作答.

【详解】向量，由得：，即，

由得：，即，于是得，，，

所以.

故选：B

5．在中，点满足，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由已知条件可得，然后由向量的加减法法则进行运算可得答案.

【详解】由点满足，可得,

由图可知,

故选：A

【点睛】本题考查平面向量的加减法法则的运用，属于简单题.

6．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】利用图象可得出，求出函数的最小正周期，可求得的值，再将点代入函数的解析式，结合的取值范围，求出的值，进而可得出函数的解析式.

【详解】由图象可得，函数的最小正周期为，

，，

又，可得，

，，，解得，

因此，.

故选：A.

【点睛】方法点睛：根据三角函数的部分图象求函数解析式的方法：

（1）求、，；

（2）求出函数的最小正周期，进而得出；

（3）取特殊点代入函数可求得的值.

7．已知，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先利用诱导公式得，再令，展开即可求解．

【详解】，

因为，所以，则在第二或第三象限，

因为，当在第三象限时，由于，

又在上递增，且，

所以当在第三象限时，，与矛盾，

所以在第二象限，

因为，所以．

因为，所以，则．

因为，所以．

所以，

即．

故选：A．

8．如图所示，边长为1的正方形的顶点A，D分别在x轴，y轴正半轴上移动，则的最大值是（    ）

A．2 B． C．3 D．4

【答案】A

【分析】令，由边长为1的正方形的顶点、分别在轴、轴正半轴上，可得出，的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可．

【详解】解：令，由于，故，，

，，故，，

故，

同理可求得，即，

,,，

的最大值是2，

故选：．

二、多选题

9．已知，则下列结论正确的有（    ）

A． B．与方向相同的单位向量是 C． D．与平行

【答案】ABC

【分析】根据给定的条件，利用向量的数量积、向量夹角，向量共线的坐标表示判断A，C，D；求出与方向相同的单位向量的坐标判断B作答.

【详解】因，则，A正确；

与方向相同的单位向量是，B正确；

，而，所以，C正确；

因，则与不平行，D不正确.

故选：ABC

10．根据下列条件解三角形，有两解的有（    ）

A．已知a，b＝2，B＝45° B．已知a＝2，b，A＝45°

C．已知b＝3，c，C＝60° D．已知a＝2，c＝4，A＝45°

【答案】BD

【分析】直接利用三角形的解的情况的判定理的应用和正弦定理的应用求出结果.

【详解】解：对于选项A：由于a，b＝2，B＝45°，利用正弦定理，解得sinA，由于a＜b，所以A，所以三角形有唯一解.

对于选项B：已知a＝2，b，A＝45°，利用正弦定理，解得,又,则或，故三角形有两解.

对于选项C：已知b＝3，c，C＝60°，所以利用正弦定理，所以sinB＝1.5＞1，故三角形无解.

对于选项D：已知a＝2，c＝4，A＝45°，由于a＞csinA，即以顶点B为圆心,a为半径的圆与AC射线有两个不同交点，故三角形有两解.

故选：BD.

【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角形的解的情况的判定，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.

11．设函数，则下列选项正确的有（    ）

A．的最小正周期是

B．满足

C．在上单调递减，那么的最大值是

D．的图象可以由的图象向右平移个单位得到

【答案】AC

【分析】首先化简，再利用三角函数的图像与性质，逐项分析判断即可得解.

【详解】

对于选项，即A正确：

对于选项

，

即不是的对称轴，故B错误：

对于选项时，单调递碱，

故减区间为，，的最大值是，故C正确；

对于的图象向右平移个单位得到

，故D错误．

故选：AC．

12．已知，函数在上单调递减，则实数的取值可以是（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】AB

【分析】根据的范围得出，根据的单调性可得出即可得出的可能取值．

【详解】，，

由于函数在上单调递减，

，，解得，，

时，，    

的值可以是．

故选：AB．

三、填空题

13．        .

【答案】

【分析】将所给式子通分后进行三角变换可得结果．

【详解】由题意得

．

故答案为．

【点睛】解答此类问题时，要根据所给式子的特点进行合理的变形，运用相应的公式进行求解，逐步化为同角的形式，然后通过约分等手段达到求解的目的，解题的关键是进行角的变换和三角关系式结构的变换．

14．定义在R上的偶函数对任意满足，且当时，，则的值为         .

【答案】/

【分析】由题意可得函数的周期为，然后利用周期和奇偶性可求得答案.

【详解】因为定义在R上的偶函数对任意满足，

所以的周期为，

因为当时，，

所以，

故答案为：

15．已知向量，，若，则实数      ．

【答案】4

【分析】先表示出，再按照共线的坐标表示求解即可.

【详解】由题意知：，由可得，解得.

故答案为：4.

四、双空题

16．已知锐角，同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④.则这三个条件是        （只填写序号），的面积是       

【答案】     ①②③    

【分析】如果选条件②③④，不能确定三角形是锐角三角形，如果选条件①④②或①④③，三角形不是锐角三角形，只有选①②③，可得锐角三角形，然后求出三角形面积．

【详解】如果选条件②③④，则由正弦定理得，

均为锐角，，，

则，

则为锐角，为钝角，不合题意；

如果选条件①④②或①④③，同理，

则为锐角，为钝角，不合题意；

只有选择①②③，由得，

解得或，

时，，角是钝角，不合题意，舍去．

时，，是锐角，符合题意．

此时．

故答案为：①②③；．

【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，考查两角和与差的正弦余弦公式，解题关键是根据所选条件判断三角形的形状，以确定符合题意的条件．

五、解答题

17．已知，且是第三象限角.

(1)求和的值；

(2)求的值.

【答案】(1)，；

(2)

【分析】（1）根据同角三角函数关系结合所在象限得到，；

（2）在（1）的基础上结合二倍角公式，代入求解即可.

【详解】（1）因为是第三象限角，所以，

因为，，故，；

（2）由（1）可知，，

故.

18．已知向量．

（1）若，求x的值；

（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．

【答案】（1）（2）时，取到最大值3； 时，取到最小值.

【分析】（1）根据，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x的值．

（2）根据求解求函数y＝f（x）解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x的值．

【详解】解：（1）∵向量．

由，

可得：，

即，

∵x∈[0，π]

∴．

（2）由

∵x∈[0，π]，

∴

∴当时，即x＝0时f（x）max＝3；

当，即时．

【点睛】本题主要考查向量的坐标运用以及三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．

19．已知函数

(1)求函数的最小正周期；

(2)当时，求函数的单调递减区间.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将和用和差角公式展开，化简后，可用辅助角公式合成形式的函数，即可利用周期公式求解周期

（2）利用整体法即可求解单调区间．

【详解】（1）因为，，

所以，所以的最小正周期是；

（2）令,解得，

令，则

由于，所以的减区间为

20．设a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，已知.

(1)求角B；

(2)若，且，求边c.

【答案】(1)；

(2)当时，；当时，.

【分析】（1）根据正弦定理，将已知条件转化为，再利用三角恒等变换公式求出，根据角的取值范围求出角B；

（2）根据三角形内角和定理，将化简为，对的取值情况进行讨论，再由正弦定理和余弦定理进行求解即可.

【详解】（1）在中，由，可得.

又由，得，

，，

，又，；

（2）在中，，

.

若，即时，；

若，即时，，由正弦定理可知，

由及可得，

，

又，，

综上，当时，；当时，.

21．如图，在直角梯形ABCD中，，动点P在BC上，且满足（m，n均为正实数）.

(1)求m与n之间的关系式；

(2)求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用向量共线表示出向量，进而求出，的关系式，

（2）利用基本不等式即可求解．

【详解】（1）因为点在线段上运动，则，

有

所以．

得,即

（2）

．

当且仅当，即时等号成立．

所以的最小值为．

22．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，△ABC的面积为S．现有以下三个条件：①（2c+b）cosA+acosB＝0；②sin2B+sin2C﹣sin2A+sinBsinC＝0；③请从以上三个条件中选择一个填到下面问题中的横线上，并求解．已知向量＝（4sinx，4），＝（cosx，sin2x），函数在△ABC中，，且____，求2b+c的取值范围．

【答案】

【分析】根据平面向量数量积的运算，结合恒等变换，即可求得；选择①由正弦定理将边化角，即可求得；选择②，利用正弦定理以及余弦定理即可求得；选择③利用面积公式以及余弦定理即可求得；无论选择哪个条件，角都一样大小.利用正弦定理，构造关于角的函数，利用三角函数的值域，即可求得结果.

【详解】根据题意，

.

又.

选择①：（2c+b）cosA+acosB＝0，由正弦定理可得：

，

故可得，又，

故可得，又，故.

选择②：sin2B+sin2C﹣sin2A+sinBsinC＝0，由正弦定理得：

，由余弦定理得，

有，故.

选择③：，由面积公式以及余弦定理可得：

，解得，

又，故可得.

故不论选择哪个条件，都有.又.则.

故

，

又，故，

故，

故.

故答案为：.

【点睛】本题考查向量数量积的运算、三角恒等变换以及正余弦定理解三角形，涉及三角形中范围问题的求解，属综合中档题.