2022-2023学年山西省怀仁市第一中学校云东校区高一下学期第二次月考数学试题含答案

2022-2023学年山西省怀仁市第一中学校云东校区高一下学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先根据复数几何意义得，再根据复数乘法法则得结果.

【详解】由题意得，.

故选：B.

【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.

2．设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】∵

∴−=3(−)；

∴=−.

故选A.

3．设平面向量，，若，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由两向量平行得出坐标中的，即可求出的值.

【详解】由题意，

∵，，，

∴，

解得，

∴

∴

故选：A.

4．在中，若，，，则的面积为（    ）．

A． B． C． D．3

【答案】B

【分析】根据面积公式即可求解.

【详解】∵，∴，

∴面积．

故选：B

5．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为 (　　)

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】A

【详解】由题意，V＝(π＋2π＋4π)h＝7π，∴h＝3.

故选A.

6．已知，是第三象限的角，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求出，再根据，最后利用二倍角余弦公式求得可得答案．

【详解】解：，

是第三象限的角

故选：

【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用．属基础题．

7．在中，，的面积为2，则三角形外接圆的半径为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据三角形的面积公式，求得，再由余弦定理求得，结合，即可求解.

【详解】由三角形的面积公式，可得，解得，

又由，可得，

由正弦定理，所以.

故选：C.

8．将函数的图象向左或向右平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意实数成立，则实数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先化简,则,再由可得是的对称轴,进而求解即可.

【详解】因为,

则,

由得函数的对称轴为,

所以,所以,

因为,所以当时,可得,即,即的最小值为

故选:D.

【点睛】本题考查三角函数的化简,考查三角函数的平移变换,考查正弦型函数对称性的应用.

二、多选题

9．已知，复数，则下列说法正确的是（    ）

A．若复数z为纯虚数，则

B．若复数z为实数，则

C．若复数z的模为，则

D．若复数z在复平面内对应的点在第一象限，则

【答案】ABD

【分析】先化简复数，再根据复数类型判断A，B选项，再根据模长判断C选项，根据复数所在象限得出参数范围判断D选项即可.

【详解】，

A中，若复数z为纯虚数，则，且，得．故A正确；

B中，若复数z为实数，则，得．故B正确；

C中，若复数z的模为，则，得．故C不正确；

D中，若复数z在复平面内对应的点在第一象限，则，且，得．故D正确．

故选：ABD.

10．已知向量，，则下列结论正确的有（    ）．

A． B．与同向的单位向量是

C． D．与垂直

【答案】ABC

【分析】根据向量数量积的坐标运算公式可判断A；根据单位向量和数乘向量的概念可判断B；根据向量夹角公式可判断C；根据向量垂直的坐标表示可判断D.

【详解】对于A，因为，，所以，故A正确；

对于B，，所以与同向的单位向量是，即，故B正确；

对于C，由，因为，所以，故C正确；

对于D，因为 ，所以与不垂直，故D错误，

故选：ABC.

11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为AB的中点，且，，则（    ）．

A． B．面积的取值范围为

C．周长的取值范围为 D．CD长度的取值范围为

【答案】BCD

【分析】根据正弦定理边角互化可得，即可由余弦定理求解A，结合不等式即可求解BC,利用向量的模长，即可求解D.

【详解】由正弦定理可得，整理得，

所以，又，所以．故A错误，

对于B,由可得，当且仅当时取等号，

所以,故面积的取值范围为，B正确，

对于C，由得，

当且仅当时取等号，由于故周长的范围，故C正确，

对于D，

由于，所以，

由于，所以，故D正确，

故选：BCD

12．设函数（，是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则下列说法正确的是（    ）

A．的最小正周期为π

B．的单调递减区间为，

C．图像的对称轴为直线，

D．的图像可由的图像向左平移个单位长度得到

【答案】ABD

【分析】由单调性和函数值分析周期，得出相邻的对称轴和对称中心，求得周期后得，然后得值，最后利用余弦函数性质确定减区间，对称轴，并利用图象变换判断各选项．

【详解】由在区间上具有单调性可知，的最小正周期T满足，所以.

又因为，所以，在同一个周期内且，

故图像的一条对称轴为直线.

又由，知图像的一个对称中心为，且所求得的对称轴与对称中心是相邻的，

所以，得，即，故A正确；

又因为图像的一个对称中心为，

所以，所以，，

由知，，则，

由，，解得，，故B正确；

令，，得，，故C错误；

的图像向左平移个单位长度得的图像，故D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．已知与是两个单位向量，且向量与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为        ．

【答案】

【分析】根据投影向量的定义即可求解.

【详解】向量在向量上投影向量为，

故答案为：

14．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则        ．

【答案】2

【分析】由已知可求得，再由正弦定理即可求出

【详解】由，得，即，

所以，

因为，

所以，．

由正弦定理，得．

故答案为：2.

15．已知函数y=sin（x+）（>0, -<）的图象如图所示，则=________________ .

【答案】

【详解】由图可知，

16．已知直三棱柱，，，，，则直三棱柱的外接球的表面积为      ．

【答案】

【分析】利用余弦定理求出,再利用正弦定理求出底面外接圆的圆心，根据几何关系求出直三棱柱的外接球半径，最后利用外接球表面积公式即可求解.

【详解】过球心作底面的垂线,连接,,

由已知得,

,

设圆的外接圆半径为，直三棱柱的外接球的半径为，

因为为△的外心，所以由正弦定理得，

解得，所以,

所以,

故答案为：.

四、解答题

17．已知复数是纯虚数．

(1)求b的值；

(2)若，求复数的模和的共轭复数．

【答案】(1)

(2)；的共轭复数为

【分析】（1）根据复数的乘法运算化简复数，即可根据纯虚数的定义求解，

（2）根据复数的除法运算化简复数，即可由共轭复数的定义以及模长公式求解.

【详解】（1）．

因为z是纯虚数，所以且，所以．

（2）,

所以．的共轭复数为．

18．已知，，．

(1)求的值；

(2)求向量与夹角的正切值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据数量积的运算律运算求解；

（2）先求得，，再根据夹角公式可得，进而根据同角三角关系运算求解.

【详解】（1）由题意可得：，

因为，则，所以．

（2）由（1）可得：，

，

所以，，

设与的夹角为，

则，

可得，则，所以，

即向量与夹角的正切值是．

19．据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．

（1）试计算出图案中圆柱与球的体积比；

（2）假设球半径．试计算出图案中圆锥的体积和表面积.

【答案】（1）（2）体积：. 表面积：

【解析】（1）利用球和圆柱的体积公式求解即可；

（2）由球的半径得出圆锥的底面半径以及高，进而得出母线长，再由圆锥的体积公式以及圆的面积公式，扇形的面积公式得出圆锥的体积和表面积.

【详解】（1）设球的半径为，则圆柱底面半径为，高为

圆柱的体积

球的体积

圆柱与球的体积比为：

（2）由题意可知：圆锥底面半径为，高为

圆锥的母线长：

圆锥体积：.

圆锥表面积：.

【点睛】本题主要考查了求圆锥的体积和表面积，圆柱和球的体积，属于中档题.

20．中，.

（1）求；

（2）若，且，求面积.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）通过正弦定理把中的边换成角的正弦值，化简求得cosB，进而求得sinB．

（2）通过余弦定理求得c，代入三角形的面积公式，进而求得△ABC的面积．

【详解】（1）由正弦定理，得

即sinBcosC+cosBsinC＝3sinAcosB

∴sin（B+C）＝3sinAcosB

∵A+B+C＝180°

∴sinA＝3sinAcosB

∵0°＜A＜180°

∴cosB

∴sinB

（2）由余弦定理，cosB，再由b＝4，a＝c，cosB得c2＝24

∴S△ABCacsinBc2sinB＝8

21．已知函数f（x）=sinxcosx+cos2x-．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；

（Ⅱ）将函数f（x）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象．若关于x的方程g（x）-k=0，在区间[0，]上有实数解，求实数k的取值范围．

【答案】（Ⅰ）最小正周期为，单调递增区间为[-+kπ，+kπ]，k∈Z（Ⅱ）[，1]

【分析】（Ⅰ）先化简f（x），根据三角形的函数的最小正周期的定义和函数的图象和性质即可求出，

（Ⅱ）根据图象的变换可得g（x），求出g（x）的值域即可求出k的范围．

【详解】（Ⅰ）f（x）=sinxcosx+cos2x-=sin2x+cos2x=sin（2x+），

∴函数f（x）的最小正周期为T==π，

由-+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，

∴-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，

故函数f（x）的单调递增区间为+kπ，+kπ]，k∈Z，

（Ⅱ）将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），

得到g（x）=sin（x+），

∵0≤x≤,∴≤x≤，

∴≤sin（x+）≤1，

∴≤g（x）≤1

∴关于x的方程g（x）-k=0，在区间[0，]上有实数解，

即图象g（x）与y=k，有交点，

∴≤k≤1，

故k的取值范围为[，1]．

【点睛】本题考查了三角函数图象及性质的运用能力和化简能力，平移变换的规律，数形结合法的应用．综合性强，属于中档题．

22．记△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

(1)若，求；

(2)求的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦的二倍角公式以及两角和的余弦公式求解；

（2）利用正弦定理以及基本不等式求解.

【详解】（1）因为，

即，

所以；

（2）由（1）知，，所以，所以，则，

而，

所以，即有,

所以

,

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为．