2022-2023学年山东省鄄城县第一中学高一下学期2月月考数学试题含答案

2022-2023学年山东省鄄城县第一中学高一下学期2月月考数学试题

一、单选题

1．下列说法错误的是（    ）

A．向量与向量长度相等 B．单位向量都相等

C．的长度为，且方向是任意的 D．任一非零向量都可以平行移动

【答案】B

【分析】根据向量的相关概念直接判断即可.

【详解】因为，所以和互为相反向量，长度相等，方向相反，故A选项正确；

单位向量长度都为，但方向不确定，故B选项错误；

根据零向量的概念，易知C选项正确；

向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D选项正确；

故选：B.

2．如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是（    ）

A．与 B．与 C．与 D．与

【答案】C

【分析】由条件可得四边形ABCD是平行四边形，然后逐一判断即可.

【详解】因为，所以四边形ABCD是平行四边形，

所以，，，，故ABD错误，C正确.

故选：C.

3．已知向量，不共线，且，，，则一定共线的是（    ）

A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D

【答案】A

【分析】根据给定条件，求出，再利用共线向量定理逐项判断作答.

【详解】向量，不共线，且，，，

，则有，而有公共点B，有A，B，D共线，A是；

，不存在实数，使得，因此不共线，A，B，C不共线，B不是；

，不存在实数，使得，因此不共线，B，C，D不共线，C不是；

，不存在实数，使得，因此不共线，A，C，D不共线，D不是.

故选：A

4．已知中，为边上一点，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用向量的线性运算即可求得.

【详解】在中，.

因为，所以.

所以.

故选：A

5．在中，，则的形状是（    ）

A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定

【答案】B

【分析】由，可得，分析即得解

【详解】由题意，

，又

为钝角

则的形状是钝角三角形

故选：B

6．已知，为单位向量，向量满足.若与的夹角为60°，则（    ）

A． B． C． D．3

【答案】B

【分析】由数量积运算公式及代入求解即可.

【详解】由，得，

所以，所以.

故选：B.

7．在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据平面向量三点共线定理和平面向量基本定理，由对应系数相等列方程求解即可.

【详解】由题可知，

∵点F在BE上，

∴，

∴．

∴，．

∴．

故选：C．

8．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ）

A．向左平移个单位 B．向左平移个单位

C．向右平移个单位 D．向右平移个单位

【答案】B

【分析】先将两个三角的名字根据诱导公式化为相同，然后再平移即可.

【详解】

将函数向左平移个单位得：

故选：B

二、多选题

9．给出下列命题，其中正确的命题是（    ）

A．若，则或

B．若向量是向量的相反向量，则

C．向量与相等

D．若向量，，满足，，则

【答案】BD

【分析】A选项，由于方向不确定，A错误；B选项，根据相反向量的定义得到B正确；C选项，，C错误；D选项，根据相等向量的概念进行判断.

【详解】对于选项A：若，即向量与的模相等，但方向不确定，故A错误；

对于选项B：相反向量是指大小相等方向相反的两个向量，故B正确；

对于选项C：向量与互为相反向量，故，故C错误；

对于选项D：若，，则，方向相同大小相等，故，若，，中有零向量结论也正确，所以D正确．

故选：BD．

10．下列选项中，错误的是（    ）

A．若存在实数使成立，则与共线

B．若，则

C．若（M、A、B、C四点不同），则A、B、C三点共线

D．若，则或

【答案】BD

【分析】由向量共线定理判断A；根据向量的运算判断BCD.

【详解】由向量共线定理可知A正确；

当时，满足，此时可取任意实数，故B错误；

由，可得，即，所以A、B、C三点共线，故C正确；

如下图所示，当，时，满足，但与不相等且不等于，故D错误；

故选：BD

11．已知点，，，则以，，为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】将平行四边行转化为向量相等，通过向量的坐标表示可得结果.

【详解】设点的坐标为，

由于平行四边形的四个顶点为，

所以可能有以下三种情形：

当时，即，解得，即的坐标为；

当时，即，解得，即的坐标为；

当，即，解得，即的坐标为；

故选：ABC.

12．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形图中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．和能构成一组基底

【答案】BCD

【分析】根据正八边形的几何特点，结合向量线性运算和平行关系的判断，对每个选项逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对于A选项，，A选项错误.

对于B选项，，B选项正确.

对于C选项，由于八边形ABCDEFGH为正八边形，故，且，

故，所以选项C正确.

对于D选项，由于和不共线，故和能构成一组基底，所以D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．已知，是两个不共线的向量，而，是两个共线向量，则实数        ．

【答案】－2或/或－2

【分析】由已知，根据给的，借助两向量共线，可直接建立等量关系求解出实数.

【详解】由已知，，是两个不共线的向量，

，是两个共线向量，

所以，解得：或.

故答案为：－2或.

四、双空题

14．已知点，，向量，则向量    ，向量    ．

【答案】          ；

【分析】由点，，向量，先求出点坐标为，由此利用平面向量坐标运算法则能求出向量和向量．

【详解】点，，向量，

点坐标为，向量，向量．

【点睛】本题主要考查向量的加减坐标运算．

五、填空题

15．已知为第二象限角，，则      ．

【答案】

【分析】根据是第二象限角和三角函数值的符号，判断出 、 的符号，由条件和同角三角函数基本关系求出 的值.

【详解】因为是第二象限角，所以，，又，

所以，即，得，

所以．

故答案为.

16．已知单位向量，，且，则      .

【答案】

【分析】由单位向量及数量积的运算可得，再根据模的运算即可得的值.

【详解】解：已知单位向量，，则，

又，所以，则，所以，

则.

故答案为：.

六、解答题

17．化简：

(1)；

(2)；

(3)．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.

【详解】（1）.

（2）

.

（3）.

18．已知向量．

(1)求证：三点共线．

(2)若，求的值．

【答案】(1)证明见解析

(2)1

【分析】（1）求出，由证明即可；

（2），，根据向量相等列方程组求解即可.

【详解】（1）证明：∵，故三点共线；

（2），，

则有，即，解得

19．已知点，．若＝＋，试求λ为何值时，

(1)点P在一、三象限角平分线上；

(2)点P在第一象限内．

【答案】(1)λ＝

(2)－1<λ<9

【分析】根据点与坐标的关系的出向量及向量的加法的坐标表示及向量相等求出的关系，

（1）根据题意可得，进而可以求出；

（2）根据第一象限的特点即可求解.

【详解】（1）设点P的坐标为(x，y)，

则＝(x，y)－(λ，3)＝(x－λ，y－3)，

又∵=(5，2λ)－(λ，3)=(5－λ，2λ－3)，

＝(4，5)－(λ，3)＝(4－λ，2)，

∴＝＋=(5－λ，2λ－3)+(4－λ，2)=(9－2λ，2λ－1)，

∴则

若P在一、三象限角平分线上，

则9－λ＝2λ＋2，∴λ＝.

（2）由（1）知，

若P在第一象限内，则

∴－1<λ<9.

∴λ＝时，点P在一、三象限角平分线上；

－1<λ<9时，点P在第一象限内．

20．已知，，且与夹角为120°，求：

(1)；

(2)与的夹角；

(3)若向量与平行，求实数的值．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）利用平面向量的模的运算求解；

（2）利用平面向量的夹角公式求解；

（3）根据向量与平行，利用共线向量定理求解.

【详解】（1）解：因为，

所以；

（2）因为，

所以，又，

所以，

所以与的夹角为．

（3）因为向量与平行，

所以，

因为向量与不共线，

所以，解得．

21．已知函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的单调递增区间；

(2)求函数在上的最值．

【答案】(1)

(2)最小值是1，最大值是2．

【分析】（1）根据图象，利用周期公式求得函数解析式，再根据整体思想求解函数的单调区间即可；

（2）根据整体思想，结合正弦函数的图象和性质求解即可.

【详解】（1）由函数图象可得，解得，

又，所以，

所以，

令，

解得，

所以的单调递增区间为．

（2）当时，，

所以，所以，

所以当或即或时，取得最小值，最小值是1，

当即时，取得最大值，最大值是2．

22．已知向量，满足，，．

(1)求向量和的夹角；

(2)设向量，，是否存在正实数t和k，使得？如果存在，求出t的取值范围；如果不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在，．

【分析】（1）用计算，求向量夹角公式为，代入计算即可.

（2）由整理的关系式，由得t的取值范围.

【详解】（1），

∴，

设向量和的夹角为，

，

∴与夹角为．

（2）假设存在正实数t和k，使得，则，

∴

∵，∴，

∴，，

故 或 ，解得

即存在且t的取值范围为．