2022-2023学年云南省开远市第一中学校高一下学期3月半月考数学试题含答案

2022-2023学年云南省开远市第一中学校高一下学期3月半月考数学试题

一、单选题

1．已知，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】解一元二次不等式可化简集合，再根据并集的运算求解.

【详解】，，

所以.

故选:C.

2．若复数（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a=

A． B．-1 C．0 D．1

【答案】B

【详解】试题分析：由题意，．故选B．

【解析】复数的概念．

3．下列函数中最小值为4的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．

【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；

对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；

对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；

对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．

故选：C．

【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．

4．若圆锥的母线与底面所成的角为，底面圆的半径为，则该圆锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设圆锥的高为h，利用母线与底面所成角求出高即可得解.

【详解】设圆锥的高为h，

因为母线与底面所成的角为，所以，解得．

圆锥的体积．

故选：B

5．已知等腰梯形ABCD，现绕着它的较长底CD所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（    ）

A．一个圆台、两个圆锥 B．一个圆柱、两个圆锥

C．两个圆台、一个圆柱 D．两个圆柱、一个圆台

【答案】B

【分析】画出简图，将等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，进而进行旋转，然后根据多面体的定义得到答案.

【详解】将等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，如图所示：

矩形绕其一边旋转一周得到圆柱，直角三角形绕其一条直角边旋转一周得到圆锥；

因此，将该等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，可得几何体为：一个圆柱、两个圆锥.

故选：B.

6．设,则

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用有理指数幂与对数的运算性质分别比较，，与0和1的大小得答案．

【详解】，，，

．

故选：C．

【点睛】本题考查对数值的大小比较、有理指数幂与对数的运算性质，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意引入中间变量0和1.

7．如图，一个质点在半径为2的圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈．则该质点到x轴的距离y关于时间t的函数解析式是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】设点的纵坐标为，根据题意可求，与，从而可求解.

【详解】设点的纵坐标为，

由题意可得，得.

因为起始点在第四象限，所以初相，

由图可知，

所以.

所以该质点到x轴的距离y关于时间t的函数解析式是.

故选:A.

8．定义在R上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式的解集是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意可知在上是减函数，再根据对称性和得出在各个区间的函数值的符号，从而可得出答案．

【详解】解：∵对任意的恒成立，

∴在上是减函数，

又，

∴当时，，当时，，

又是偶函数，

∴当时，，当时，，

∴的解为．

故选B．

【点睛】本题考查了函数的单调性与奇偶性，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题．

二、多选题

9．若点D，E，F分别为的边BC，CA，AB的中点，且，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据已知条件，运用向量的线性运算公式，即可求解．

【详解】，，

，故选项A正确；

，故选项B正确；

，，故选项C正确；

，故选项D错误．

故选：．

10．下列函数中，既是偶函数，又在区间内单调递增的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】根据偶函数的定义和性质，并且根据解析式，直接判断函数的单调性，即可判断选项.

【详解】A.的定义域为，并且，所以函数为偶函数，在区间单调递增，故A正确；

B. 的定义域为，在区间单调递减，故B错误；

C. ，对称轴为，不关于轴对称，所以函数不是偶函数，故C错误；

D. 的定义域为，，为偶函数，并且在区间单调递增，故D正确.

故选：AD

11．已知函数的图象为，则下列结论中正确的是（    ）

A．图象关于直线对称

B．图象的所有对称中心都可以表示为（）

C．函数在上的最小值为

D．函数在区间上单调递减

【答案】ABC

【分析】化简的解析式，根据三角函数的对称性、最值、单调性等知识确定正确答案.

【详解】，

A选项，，所以图象关于直线对称，A选项正确.

B选项，由，解得，

所以图象的所有对称中心都可以表示为（），B选项正确.

C选项，，

所以当时，取得最小值，C选项正确.

D选项，，

所以函数在区间上单调递增，D选项错误.

故选：ABC

12．设函数若函数有四个零点分别为且，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】作出函数图象，数形结合，可得，关于对称，，结合对数的运算性质，双勾函数的单调性求解.

【详解】作出函数图象如下，

因为函数有四个零点，所以的图象有4个不同的交点，

，所以，A错误；

由图可得关于对称，所以，B正确；

由图可得且，则有，

即，所以，C正确，

，

令解得，所以，

根据双勾函数性质可知在单调递增，

所以，D正确，

故选:BCD.

三、填空题

13．已知向量，，则向量在向量的方向上的投影向量的坐标为      ．

【答案】

【分析】由于已知向量 , 利用一个向量在另一个向量上投影向量的定义即可求得.

【详解】向量 , 而向量 在向量 的方向上的投影为，

,

,

向量 在向量 的方向上的投影为: ;

故向量在向量的方向上的投影向量为.

故答案为：.

14．已知函数则      .

【答案】7

【分析】根据函数每段的定义域求解.

【详解】因为函数

所以，

所以7，

故答案为：7

15．如图所示，CD是某校园内一标志性雕像，小明同学为了估算该雕像的高度，在学校教学楼AB（高为米）与雕像之间的地面上的点M处（B，M，D三点共线）测得楼顶A及雕像顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处又测得雕塑顶C的仰角为30°，假设AB､CD和点M在同一平面内，则小明估算该雕像的高度为           米．

【答案】

【分析】结合正弦定理、三角恒等变换等知识计算出正确答案.

【详解】在中，，解得，

其中

，

在中，，

所以，由正弦定理得，，

故．

在中，，所以，

估算该雕像的高度为米．       

故答案为：

16．如图①，一个正三棱柱容器，底面边长为a，高为2a，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图②，这时水面恰好为中截面，则图①中容器内水面的高度是     .

【答案】a/1.5a

【分析】图②中水所占部分为四棱柱，求出其底面积和高，根据棱柱的体积公式求出四棱柱的体积，同理在图①中求出三棱柱的体积，计算即可得出结果.

【详解】在图②中，水所占部分为四棱柱，

四棱柱底面积为，高为，

所以四棱柱的体积为，

设图①中容器内水面的高度为h，则，

解得

故答案为：##1.5a

四、解答题

17．计算：

(1)；

(2)已知，，求.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用指数对数运算法则即可求出答案.

（2）利用同角三角函数求出，再利用正切的二倍角公式即可得到答案.

【详解】（1）

（2），，则

则

.

18．已知两个非零向量与不共线，

(1)若，求证：A､B､D三点共线；

(2)试确定实数k，使得与共线；

(3)若，且，求实数的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）由平面向量的共线定理证明共线，即可得证；

（2）由平面向量的共线定理与向量相等求解即可；

（3）由向量垂直的坐标表示求解即可

【详解】（1）∵，

∴，

∴共线，

又∵它们有公共点B，

∴A､B､D三点共线；

（2）∵与共线，

∴存在实数，使，

即，∴，

∵是两个不共线的非零向量，

∴，

∴，解得；

（3）∵，

且，

∴，

解得.

19．记的内角的对边分别为，已知．

(1)证明：；

(2)若，求的周长．

【答案】(1)见解析

(2)14

【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；

（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解.

【详解】（1）证明：因为，

所以，

所以，

即，

所以；

（2）解：因为，

由（1）得，

由余弦定理可得，

则，

所以，

故，

所以，

所以的周长为.

20．已知幂函数(m∈N＋)．

(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；

(2)若该函数f(x)经过点，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．

【答案】(1)；增函数；

(2)m＝1；.

【分析】（1）由题意判断出m2＋m为偶数，从而可求函数的定义域和单调性；

（2）把点代入函数解析式即可求出的值；然后利用函数的单调性及定义域即可求出实数a的取值范围．

【详解】（1）∵m2＋m＝m(m＋1)(m∈N＋)，而m与m＋1中必有一个为偶数，

∴m2＋m为偶数，

∴函数(m∈N＋)的定义域为，并且该函数在上为增函数．

（2）∵函数f(x)经过点，∴，即，

解得m＝1或m＝－2，

又∵m∈N＋，∴m＝1，.

又∵f(2－a)>f(a－1)，所以，解得.

故函数f(x)经过点时，m＝1；满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为.

21．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：，，．（参考数据：）

(1)试判断哪个函数模型能符合公司要求，并说明理由．

(2)基于（1）所得的符合公司要求的模型，当利润为多少时，奖金与利润之比最大，并求出最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据符合要求的模型满足的三个条件，即可根据所给的三个函数的性质逐一判断求解，

（2）根据函数的单调性即可求解.

【详解】（1）由题意，符合公司要求的模型只需满足：当，时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③

对于，易知满足①；但当时，，不满足公司的要求,

对于，易知满足①，当时，，不满足公司的要求,

对于，易知满足①，当，时，，满足②

又，时，由此可知满足③

综上所述，只有奖励模型：能完全符合公司的要求.

（2）由（1）知：符合要求的函数为，故 ，当，时， 单调递减，故当时，取最大值为，

22．已知向量，，设函数，且的图象过点和点.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）将的图象向左平移（）个单位后得到函数的图象.若的图象上各最高点到点的距离的最小值为1，求的单调增区间.

【答案】（I）.

（II）函数的单调递增区间为.

【详解】试题分析：（Ⅰ）利用向量的数量积坐标运算公式代入函数式整理化简，将函数过的点和点代入就可得到关于的方程，解方程求其值；（Ⅱ）利用图像平移的方法得到的解析式，利用最高点到点的距离的最小值为1求得角，得，求减区间需令解的范围

试题解析：（1）由题意知．

的过图象过点和，

所以即解得

（2）由（1）知．

由题意知．

设的图象上符合题意的最高点为，

由题意知，所以，即到点（0，3）的距离为1的最高点为（0，2）．

将其代入得，因为，所以，

因此．

由Z得Z，

所以函数的单调递增区间为

【解析】1.三角函数化简与性质；2.图像平移