山东省烟台第一中学2022-2023学年高三上学期期末达标卷数学试题(含答案)

高三上期期末达标卷 数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，则(   )

A．  B．

C． D．

2．已知i为虚数单位，若为纯虚数，则实数x的值为(   )．

A．1 B．2 C．-1 D．-2

3．若平面向量a与b的夹角为60°，，，则等于(   )．

A． B． C．4 D．12

4．已知集合，则(   )

A．  B．

C． D．

5．为促进中学生综合素质全面发展，某校开设了5个社团，甲、乙、丙三名同学每人只报名参加1个社团，则不同的报名方式共有(   )．

A．60种 B．120种 C．125种 D．243种

6．函数，或的图象为(   )

A． B．

C． D．

7．已知表示a，b，c中的最大值，例如，若函数，则的最小值为(   )

A．2．5 B．3 C．4 D．5

8．设函数，a，b均为正整数，若的极小值点为2，则的极大值点为(   )．

A．1 B．3 C．1或3 D．不确定

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．已知函数，关于的最值有如下结论，其中正确的是(   )

A．在区间上的最小值为1

B．在区间上既有最小值，又有最大值

C．在区间上的最小值为2，最大值为5

D．在区间上的最大值为

10．下列四个等式正确的是(   )

A．

B．

C．

D．

11．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值近似为，侧棱长近似为米，则下列结论正确的是(   )．

A．正四棱锥的底面边长近似为3米

B．正四棱锥的高近似为米

C．正四棱锥的侧面积近似为平方米

D．正四棱锥的体积近似为立方米

12.已知直线，圆，则以下命题正确的是(   )

A.直线均与圆E不一定相交

B.直线被圆E截得的弦长的最小值

C.直线被圆E截得的弦长的最大值6

D.若直线与圆E交于与圆E交于，则四边形面积最大值为14

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若函数在区间上的最大值为4，则a的值为_______．

14．若，则的最小值为__________．

15．现用5种不同的颜色对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法种数为__________．

16．已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是___________．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）在①,②,③,．这三个条件中任进一个,补充在下面问题中并作答．

已知中,内角所对的边分别为,且________．

(1)求的值;

(2)若,求的周长与面积．

18．（12分）记为数列的前n项和．已知．

（1）证明：是等差数列；

（2）若，，成等比数列，求的最小值．

19．（12分）如图，在三棱台中，底面是边长为2的正三角形，侧面为等腰梯形，且，D为的中点．

（1）证明：；

（2）记二面角的大小为，时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．

20．（12分）由中央电视台综合频道(CCTV-1)和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课．每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到了青年观众的喜爱．为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A，B两个地区的100名观众，得到如下所示的2×2列联表．

已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众来自B地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为0．35．

(1)现从100名观众中根据喜爱程度用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取喜爱程度为“非常喜欢”的A，B地区的人数各是多少？

(2)完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系．

(3)若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为X，求X的分布列和期望．

附：，，

21．（12分）已知分别是椭圆的左、右焦点，A是C的右顶点，，P是椭圆C上一点，M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，四边形OMPN的周长为4．

（1）求椭圆C的标准方程

（2）若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

22．（12分）已知函数．

（1）当时，讨论的单调性；

（2）当时，，求a的取值范围；

（3）设，证明：．

参考答案

1．答案：B

解析：因为，

所以．

2．答案：B

解析：，因为为纯虚数，

所以，解得，故选B．

3．答案：B

解析：因为，所以，又因为向量a与b的夹角为60°，，

所以，所以．

4．答案：B

解析：因为，

所以．

5．答案：C

解析：由题意知，甲、乙、丙三名同学每人只报名参加1个社团，所以每个人有5种选择，则不同的报名方式共有(种)，故选C．

6．答案：A

解析：本题考查三角函数的图象．因为，所以，或是奇函数，其图象关于原点对称，因此B，C项不正确，又因为在上的值为正，所以D项不正确，故选A项．

7．答案：B

解析：在同一平面直角坐标系中作出函数，，的图象，

因为，

所以的图象如图中实线所示．

由可得，

由可得．

由图知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

且当时，，

当时，，

所以的最小值为3．

8．答案：B

解析：对求导得，

令，得，则该方程必有一根为2，代入，有，解得，则．

因为2是的极小值点，且，所以为方程的较小根，从而，故．

又a为正整数，所以．故的极大值点为3．

9．答案：BC

解析：函数的图象开口向上，对称轴为直线．在选项A中，因为在区间上单调递减，所以在区间上的最小值为，A错误．在选项B中，因为在区间上单调递减，在上单调递增，所以在区间上的最小值为．又因为，所以在区间上的最大值为，B正确．在选项C中，因为在区间上单调递增，所以在区间上的最小值为，最大值为，C正确．在选项D中，当时，在区间上的最大值为2，当时，由图象知在区间上的最大值为，D错误．

10．答案：AD

解析：，故，故A正确；

，故，故B错误；

，故C错误；

，故D正确．故选AD．

11．答案：BD

解析：如图，在正四棱锥中，O为正方形ABCD的中心，则平面ABCD，则为侧棱与底面所成的角，且．

设底面边长为2a，则，．

在中，，所以米，则正四棱雉的底面边长为6米，高为米，的高为(米)，所以侧面积(平方米)，体积(立方米)，故选BD．

12.答案：BCD

解析：由题意，直线，即.令，得，即直线过定点;直线，即，令，得，即直线过定点，所以直线过同一个定点，记为点M.圆可化为，而点在圆E内部，所以直线均与圆E相交，所以A选项错误;对于直线，当时，直线被圆E截得的弦长最小，且最小值为，所以B选项正确;对于直线，当时，直线被圆E截得的弦长最大，且最大值恰好为圆E的直径6，所以C选项正确;又当时，直线的斜率为a，直线的斜率为，即直线.设圆心E到直线的距离分别为，则，又，即，所以，所以，当且仅当时，等号成立，故四边形面积最大值为14，所以D选项正确，故选BCD.

13．答案：1或

解析：由题意，当，即时，，即，所以，所以；当，即时，，即，所以，所以．

综上可知，a的值为1或．

14．答案：

解析：因为，

所以，

当且仅当且，即时等号成立．

所以的最小值为．

15．答案：180

解析：按A，B，C，D的顺序着色，

A区块有5种着色方案，B区块有4种着色方案，

C区块有3种着色方案，D区块有3种着色方案，故不同的着色方法种数为．

16．答案：

解析：结合题意作出图形如图所示，由题意知，过左焦点且斜率为的直线的方程为，由，解得，所以．因为，所以，即，得，所以，将代入双曲线方程，可得，结合离心率得，又，所以双曲线的离心率为．

17．答案：(1)

(2)

解析：本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式、三角恒等变换．

(1)若选①:由正弦定理得,

故,

而在中,,

故,又,

所以,则,

则,

故．

若选②:由,化简得,代入中,整理得,

即,

因为,所以,所以,

则,

故．

若选③:因为,

所以,即,则．

因为,所以,

则,

故．

(2)因为,且,

所以．

由(1)得,则,

由正弦定理得,则．

故的周长为,

的面积为．

18．答案：（1）证明见解析

（2）-78

解析：（1）由，得①，
所以②，
②-①，得，
化简得，

所以数列是公差为1的等差数列．

（2）由（1）知数列的公差为1．
由，得，
解得．
所以，
所以当或13时，取得最小值，最小值为-78．

19．答案：（1）见解析

（2）

解析：（1）如图，取AC的中点M，连接DM，BM，

在等腰梯形中，D，M分别为，AC的中点，

．

在正三角形ABC中，M为AC的中点，．

，DM，平面BDM，

平面BDM．又平面BDM，．

（2），，

为二面角的平面角，

即．

平面BDM，

在平面BDM内作，以M为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，，

则，．

设平面的法向量为，

则有

即

令，则，，

则．

设直线与平面所成角为，

又，

．

，，

．

20．答案：(1)应从A地抽取6人，从B地抽取7人

(2)没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系

(3)

解析：(1)由题意得，解得，

所以应从A地抽取(人)，从B地抽取(人)．

(2)完成表格如下：

所以的观测值，所以没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系．

(3)从A地区随机抽取1人，抽到的观众的喜爱程度为“非常喜欢”的概率为，

从A地区随机抽取3人，X的所有可能取值为0，1，2，3，

则，

，

，

．

所以X的分布列为

．

21．答案：(1)标准方程为．

(2)过定点．

解析：(1)M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，

，

四边形OMPN的周长为，

，

，

，

椭圆C的标准方程为．

(2)设，

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，

代入，整理得，

则，

．

易知，

，

化简得，

或(舍去)，

直线l的方程为，即，直线l过定点．

当直线l的斜率不存在时，设，

代入，解得，

由得，

，解得或(舍去)，

此时直线l过点．

综上，直线l过定点．

22．答案：（1）的减区间为，增区间为

（2）

（3）证明见解析

解析：解：（1）当时，，，

当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减．

（2），
①当时，

在上单调递增，，与题意矛盾．

②当时，．

在上单调递减，，满足题意．
③当时，，
设，则，
在上单调递减，
，，在上单调递减，
，满足题意．
④当时，，
令，则，
，易知为减函数，又，时，，
，使，且当时，
，在上单调递增，此时，
当时，，在上单调递增，
，与题意矛盾．

综上，实数a的取值范围为．

（3）解法一先证不等式成立．
不等式成立（其申），

构造函数，则．
当时，，所以函数在上单调递减，，从而不等式成立．
令，，则有，
整理可得，，
故，
即成立．

解法二用数学归纳法证明．

当时，左边成立．
假设当时，不等式成立，即，
则当时，欲证原不等式成立，即证成立．
以下证明此式成立，
因为，所以欲证，
需证，
即需证成立，
令，则，则需证，
令，即需证，．
构造函数，，
则．
当时，，所以函数在上单调递减，
故，从而不等式成立上，
综上，不等式成立．