辽宁省朝阳市建平县实验中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

23-24学年上学期高二数学第二次月考

时间：120分钟 满分：150分

一､选择题（每小题5分，共8小题40分）

1.复数的共轭复数为，满足，则复数（    ）

A.    B.    C.    D.

2.设集合，则（    ）

A.    B.

C.    D.

3.过直线与直线的交点，且过原点的直线方程为（    ）

A.    B.

C.    D.

4.将函数的图像向左平移个最小正周期后，所得图像对应的函数为（    ）

A.    B.

C.    D.

5.设是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（    ）

A.，则

B.，则

C.，则

D.，则

6.已知，则（    ）

A.    B.    C.    D.

7.已知，点在轴上，则的最小值是（    ）

A.    B.    C.    D.

8.直线的斜率的取值范围为（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多选题（每小题5分，共4小题20分）

9.有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中为非零常数，则（    ）

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同

D.两组样本数据的样本极差相同

10.下列命题中正确的是（    ）

A.用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台

B.圆柱形容器底半径为，两直径为的玻璃球都浸没在容器的水中，若取出这两个小球，则容器内水面下降的高度为

C.已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为

D.已知三棱锥的所有棱长均为2，若球经过三棱锥各棱的中点，则到的表面积为

11.如图，在海岸上有两个观测点在的正西方向，距离为，在某天观察到某航船在处，此时测得分钟后该船行驶至处，此时测得，，则（    ）

A.当天时，该船位于观测点的北偏西方向

B.当天时，该船距离观测点

C.当船行驶至处时，该船距观测点

D.该船在由行驶至的这内行驶了

12.在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（    ）

A.当时，的周长为定值

B.当时，三棱锥的体积为定值

C.当时，有且仅有一个点，使得

D.当时，有且仅有一个点，使得平面

三､填空题（每小题5分，共4小题20分）

13.两条平行直线与之间的距离为__________.

14.若为正实数，直线与直线互相垂直，则的最大值为__________.

15.如图，菱形的边长为，则的取值范围为__________.

16.已知直线的一个方向向量为，若点为直线外一点，为直线上一点，则点到直线的距离为__________.

四､解答题（第17题10分，第18题12.0分，第19题12.0分，第20题12.0分，第21题12.0分，第22题12.0分，共6小题70分）

17.已知.

（1）若，求实数的值；

（2）若，求实数的值.

18.根据下列条件，求直线的倾斜角；

（1）斜率为；

（2）经过两点；

（3）一个方向向量为.

19.在中，角所对的边分别为，且满足.

（1）求的面积；

（2）若，求的值.

20.数字人民币在数字经济时代中体现的价值､交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全.便捷的支付方式，同时也为金融监管､金融产品设计提供更多选择性和可能性.苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，提出了2023年交易金额达2万亿元的目标.现从使用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求直方图中的值和第25百分位数；

（2）在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年龄在和内抽取6位市民做问卷调查，并从中随机抽取两名幸运市民，求两名幸运市民年龄都在内的概率.

21.如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，分别为棱的中点，.

（1）证明：四点共面；

（2）求平面与平面的夹角的大小.

22.如图，在四棱锥中，是棱上一点.

（1）若，求证：平面；

（2）若平面平面，平面平面，求证：平面；

（3）在（2）的条件下，若二面角的余弦值为，求的值.

23-24学年上学期高二数学第二次月考

答案和解析

1.【答案】D

【解析】根据题意可得，解得，

复数.故选D.

2.【答案】A

【解析】不等式，解得，

，又由，

.

故选：A.

3.【答案】D

【解析】联立方程得，即与的交点为，

又直线过原点，所以此直线的方程为：.

4.【答案】A

【解析】由题意知：图象平移个单位，

.

故选：A.

5.【答案】D

【解析】对于，在长方体中，平面为平面分别为直线，

显然满足，而，此时不成立，错误；

对于，在长方体中，平面，平面分别为平面为直线，

显然满足，而，此时不成立，错误；

对于，在长方体中，平面，平面分别为平面为直线，

显然满足，而，此时不成立，错误；

对于，因为，由线面垂直的性质知，正确.

故选：D.

6.【答案】D

【解析】

.

故选：D.

7.【答案】B

【解析】如图，点关于轴的对称点为，则当点为与轴的交点时，取得最小值，

即.

8.【答案】A

【解析】由可得直线的斜率为：.

当时，；

当时，，

因为，所以，

所以；

所以.

故选：A.

9.【答案】CD

【解析】对于选项：，

错误；

对于选项：可假设中位数为，由可知数据样本的中位数为错误；

对于选项：

正确；

对于选项：两组样本数据极差相同，正确.

10.【答案】BC

【解析】对，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，故错误；

对，设容器内水面下降高度为，则根据等体积可得，，解得，故正确；

对，设圆锥底面圆的半径为，母线长为，所以，得，则圆锥的高，

所以该圆锥的体积等于，故正确；

对，如图，将三棱锥放置正方体中，若球经过三棱锥各棱的中点，则球恰好为正方体的内切球，因为三棱锥的棱长为2，则正方体的棱长为，正方体的内切球的半径为，表面积为.故错误.

11.【答案】ABD

【解析】选项中，，因为在的正西方向，所以在的北偏西方向，故正确.

选项中，在中，，则.

由正弦定理，得，

故正确.

选项中，在中，，即

，

则，于是，故不正确.

选项中，在中，由余弦定理，得，

即，故正确.

故选：A､B､D.

12.【答案】BD

【解析】对于，当时，，此时在线段上运动，此时的周长不为定值，错.

对于，当时，，此时在线段上运动，

平面点到平面的距离即为点到平面的距离，

为定值，正确.

对于，当时，，分别取的中点，此时在线段上运动，要使，只需在平面上的射影与垂直，此时在或的位置，有两个，错误.

对于时，，分别取的中点，则在线段上运动，正三棱柱中，，要使得平面，只需在平面上的射影与垂直，有且只有一个点即为点时，满足题意，正确.

13.【答案】

【解析】，解得：，

，即，

之间的距离.

故答案为：.

14.【答案】

【解析】因为直线与直线互相垂直，

所以，即，

由基本不等式可得，即，当且仅当时等号成立.

所以的最大值为.

故答案为：.

15.【答案】

【解析】设，则，

因为，

所以，

，

所以

，

因为，所以，

所以，

所以的取值范围为，

故答案为：

16.【答案】

【解析】由题意可得的一个单位方向向量为，

故点到直线的距离.故答案为：.

17.【答案】（1）；

（2）

【解析】，

（1），

，解得.

（2），

，解得.

18.【答案】见解析

【解析】解：（1）因为直线的斜率为，属于，

又因为，所以；

（2）由经过两点的直线斜率的计算公式，可得直线的斜率，

又因为，所以.

（3）由直线的一个方向向量为，可得斜率，

又因为，所以.

19.【答案】（1）2；

（2）

【解析】（1），又由，得.

（2）对于，又或，由余弦定理得.

20.【答案】见解析；

【解析】（1），因为第一组的频率为，

，第二组的频率为，所以第25百分位数在第二组，设为，则，所以第25百分位数为30.

（2）年龄在的市民人数为，年龄在的市民人数为，用分层随机抽样的方法抽取年龄在的人数为人，年龄在的人数为人，设年龄在的4人为，年龄在的2人为，从这6为市民中抽取两名的样本事件为，，共15种，其中2名年龄都在内的样本事件有种，所以两名幸运市民年龄都在内的概率为.

21.【答案】见解析

【解析】（1）因为平面平面，所以，

又底面为直角梯形，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则.

.

设，即，解得

所以.故四点共面.

（2）设是平面的法向量，则，

令，得.

取的中点，则，连接，又因为，

所以，又由（1），

平面平面，所以平面，

又，所以平面，

又平面，所以，

又平面平面，

所以平面，即平面的一个法向量为.

所以.

故平面与平面的夹角的大小为.

22.【答案】见解析；

【解析】（1）连接交于点，连接，因为，所以，因为，所以，所以，所以，因为平面平面，所以平面.

（2）因为平面平面，平面平面平面，所以平面，因为平面，所以.同理可证：.因为平面平面，所以平面.

（3）分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

由，得，则，由（2）得：平面，所以平面的一个法向量为.设，即，所以，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以.因为二面角的余弦值为，所以，解得，所以的值为.