2022-2023学年福建省福州市长乐区九年级（上）期中数学试卷(解析版)

2022-2023学年福建省福州市长乐区九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列图形中，属于中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 将一元二次方程化为一般形式后，常数项为，二次项系数和一次项系数分别为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

3. 如图，点，，在上，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

4. 抛物线的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 将函数化为的形式正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 建设美丽城市，改造老旧小区，某区年投入资金万元，年投入资金万元，设每年投入资金的平均增长率为，则下列所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.  

7. 如图，为的直径．弦于点，，，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 在平面直角坐标系中．将点绕点逆时针旋转得到点，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，若被击打的小球飞行高度单位：与飞行时间单位：具有函数关系为，则小球从飞出到落地的所用时间为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知，为抛物线上的两个不同点，若，则的取值范围为(    )

A.  B. 或
C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是______．
12. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为______．
13. 将抛物线绕原点旋转度，则旋转后的抛物线解析式为______．
14. 如图，在中，，，，以点为圆心，以的长为半径作圆，则与直线的位置关系是______填“相交”“相切”或“相离”

15. 用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为的圆锥形工件的侧面接缝忽略不计，则圆锥的母线长为______．
16. 如图，将绕点顺时针旋转得到，边，相交于点，连接下列结论：
    ；
    平分；
    ；
    ．
    其中所有正确结论的序号是______．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

17. 解方程：．

四、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18. 本小题分
    已知关于的一元二次方程，求证：该方程总有两个实数根．
19. 本小题分
    已知二次函数．
    
    在平面直角坐标系中画出函数的图象；
    若时，则的取值范围是______．
20. 本小题分
    如图，在中，，，的半径为．
    求证：是的切线．

21. 本小题分
    如图，在中，，将绕着点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，点落在上，连接．
    若，求的度数；
    若，，求的长．

22. 本小题分
    某商家销售一种成本为元的商品销售一段时间后发现，每天的销量件与当天的销售单价元件满足的函数关系为，物价部门规定，该商品的销售单价不能超过元件．
    问销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润是元？
    当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，并求出最大利润．
23. 本小题分
    如图，在中，．
    求作的外接圆；要求，尺规作图，不写作法．保留作图痕迹
    在的条件下，的平分线交于点连接若，，求的长．

24. 本小题分
    如图，在等边三角形中，点在上，连接，将绕点逆时针旋转，得到，过点作交射线于点，交射线于点，使．
    如图，当点与点重合时，求证：为中点；
    当点在边上时，求与之间的数量关系；
    当点在延长线上时，中的结论是否仍成立，若成立，请证明：若不成立，请说明理由．
     
25. 本小题分
    如图，二次函数的图象与轴交于点，，顶点为点在抛物线上不与，重合，连接，．
    求二次函数的解析式；
    若的面积为，求点的坐标；
    设直线交轴于点，过点作轴，垂足为，连接，，求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项B、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的定义在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形逐项判断即可得．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
移项得：，
此时常数项为，
二次项系数为：，一次项系数为：，
故选：．
经过移项把一元二次方程化为一般形式，令常数项为，找出其二次项系数和一次项系数即可得到答案．
本题考查了一元二次方程的一般形式，正确掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
．
故选：．
根据圆周角定理即可得出答案．
本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：抛物线，
该抛物线的顶点坐标为，
故选：．
根据解析式即可确定顶点坐标．
此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数的性质是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：

．
故选：．
利用配方法把二次函数的一般形式配成二次函数的顶点式．
本题考查的是二次函数的三种形式，题目中给出的是一般形式，利用配方法可以化成顶点式．
 

6.【答案】 

【解析】解：每年投入资金的平均增长率为，
根据题意得，
故选：．
根据题意得到关系式为：年投入的资金年平均增长率年投入的资金，把相关数值代入求得合适的解即可．
本题考查了一元二次方程的应用；根据年后所需资金的关系式列出方程是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：是的直径，
厘米，
弦，
厘米，
在中，厘米，
厘米，
厘米．
故选：．
利用垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，然后计算即可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．能够利用垂径定理解决问题是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：观察图象可知．

故选：．
利用图象法解决问题即可．
本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是正确作出图形解决问题．
 

9.【答案】 

【解析】解：依题意，令得，
得，
解得舍去或，
即小球从飞出到落地所用的时间为，
故选：．
根据关系式，令即可求得的值为飞行的时间．
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为时的情形，借助二次函数解决实际问题．此题较为简单．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
，为抛物线上的两个不同点，且满足，
点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
，即，
解得或．
故选：．
根据题意得到，解不等式即可．
本题考查的二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：点关于原点的对称点的坐标是．
故答案为：．
根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数解答．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数．
 

12.【答案】 

【解析】解：把代入可得，
解得，
故答案为：．
把代入求值即可．
本题主要考查解一元二次方程等知识，掌握代入法是解此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点坐标为，
由于抛物线绕原点旋转度后抛物线的顶点坐标为，并且开口方向相反，
则所得抛物线解析式为．
故答案为：．
当抛物线绕原点旋转后抛物线的顶点坐标为，并且开口方向相反，于是根据顶点式写出旋转后的抛物线解析式．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
 

14.【答案】相切 

【解析】解：作于点，
，，
，
的半径是，
等于圆的半径，
，
与相切，
故答案为：相切．
作于点，根据含度角的直角三角形的性质出求的长，与圆的半径比较即可得到答案．
本题考查了直线与圆的位置关系以及含度角的直角三角形的性质，解题的关键是判断圆的半径和圆心到直线的距离．
 

15.【答案】 

【解析】解：设圆锥的母线长为，则半圆的半径为，
根据题意得，
解得，
即圆锥的母线长为．
故答案为：．
设圆锥的母线长为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，然后解方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，设、相交于，过作于，于，如图：

将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，故正确；
将绕点顺时针旋转得到，
≌，
，，
全等三角形对应边上的高相等，
，
，
，
，即，故正确；
将绕点顺时针旋转得到，
，
，即，故正确；
不能证明，故错误，
正确的有，
故答案为：．
设、相交于，过作于，于，根据将绕点顺时针旋转得到，可得，，而，故，可判断正确；由全等三角形对应边上的高相等可得，即得，故，判断正确；由，可得即，判断正确；不能证明，错误，即可得到答案．
本题主要考查了旋转的性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：移项得，
配方得，
即，
开方得．
解得，． 

【解析】先把常数项移到等号右边，之后方程左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，得到方程，对等号左边进行配方，再开方即可求出结果．
本题考查配方法解一元二次方程．
 

18.【答案】证明：一元二次方程，
，
方程总有两个实数根． 

【解析】计算判别式有，然后根据判别式的意义即可得到结果．
此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
 

19.【答案】 

【解析】解：如图，

，
抛物线开口向上，顶点坐标为，
将代入得，
将代入得，
时，．
故答案为：．
通过二次函数解析式作图．
将二次函数解析式化为顶点式求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

20.【答案】证明：如图，过作于，
，，
，
在中，，
的半径为，
为的半径，
是的切线． 

【解析】如图，过作于，根据等腰三角形的性质得到，然后利用勾股定理求出的长度即可解决问题．
此题主要考查了切线的判定，同时也利用了等腰三角形的性质及勾股定理，解题容易出错的地方是辅助线是作于，不是连接．
 

21.【答案】解：在中，，，
，
将绕着点逆时针旋转得到，
，，
．
，，，
，
将绕着点逆时针旋转得到，
，，
，
． 

【解析】根据三角形的内角和定理得到，根据旋转的性质得到，，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
根据勾股定理得到，根据旋转的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：根据题意，得，
整理，得，
解得，，
销售单价最高不能超过元件，
，
答：销售单价定为元件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润元；
设销售利润为元，
则，
，且销售单价最高不能超过元件，
当时，取最大值为：，
故当销售单价定为元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，其最大利润为元． 

【解析】根据“总利润单件利润销售量”可得关于的一元二次方程，解之即可得；
利润，化为一般式后配方后，即可求解．
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
 

23.【答案】解：如图，为所作；

连接，如图，
，，，
，
，
为的直径，
，
平分，
，
，
为等腰直角三角形，
． 

【解析】作的垂直平分线得到的中点，然后以点圆心，为半径作圆即可；
连接，如图，先利用勾股定理计算出，再根据圆周角定理得到，，则可判断为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质得到的长．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形的外接圆、勾股定理和圆周角定理．
 

24.【答案】证明：如图中，

是等边三角形，
，，
点与重合，
，，重合，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，即为中点；

解：如图中，在上取一点，使得连接交于点．

是等边三角形，
，，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
；

结论成立．
理由：如图中，在上取一点，使得连接交于点．

是等边三角形，
，，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
． 

【解析】利用全等三角形的性质证明，再利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可；
如图中，在上取一点，使得连接交于点证明四边形是平行四边形，可得结论；
结论成立，证明方法类似．
本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
 

25.【答案】解：抛物线与轴交于点，，
抛物线解析式为，
即．
解：过点作轴交直线于，如图，
，
顶点的坐标为，
设直线的解析式为，
把，分别代入得，
解得，
直线的解析式为，
设，则，
，
的面积为，
，
整理得，
解得，，
或
证明：设，
，，
，
设直线的解析式为，
把，分别代入得，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
，
设直线的解析式为，
把，分别代入得，
解得，
设直线的解析式为，
把，分别代入得，
解得，
，，
． 

【解析】利用交点式写出抛物线的解析式；
过点作轴交直线于，如图，把一般式配成顶点式得到的坐标为，再利用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，所以，利用三角形面积公式得到，然后解方程求出，从而得到点坐标；
设，先利用待定系数法表示出直线的解析式为，则，再设直线的解析式为，把，分别代入得，解得，同样设直线的解析式为，把，分别代入得，解得，然后利用，，可判断．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质和两直线平行的判定．