浙江省临安中学2023-2024学年高二数学上学期9月考试试题（Word版附答案）

2023学年第一学期高二年级开学考试

数学试题

一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在空间四边形中，等于（     ）

A．  B． C． D．

2. 直线的一个方向向量是（    ）

A.   B.  C.  D.

3．已知命题：直线与平行，命题，则是的（     ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．若平面，的法向量分别为，，则（     ）

A． B． C．，相交但不垂直 D．以上均不正确

5．已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（     ）

A．      B．      C．    D．

6．与直线关于点对称的直线方程是（      ）

A． B． C． D．

7．已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（     ）

A． B． C． D．

8．已知，满足，则的最小值为（      ）

A． B． C．1 D．

二．选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的 选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．是空间的一个基底，与、构成基底的一个向量可以是（      ）

A． B． C． D．

10．已知直线，则下列表述正确的是（      ）

A．当时，直线的倾斜角为

B．当实数变化时，直线恒过点

C．当直线与直线平行时，则两条直线的距离为1

D．直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积的最小值为4

11．在空间直角坐标系中，，，，则（      ）

A．                          B．

C．异面直线与所成角的余弦值为 D．点到直线的距离是

12．对于两点，，定义一种“距离”：，则（      ）

A．若点C是线段AB的中点，则

B．在中，若，则

C．在中，

D．在正方形ABCD中，有

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量，，且，则        ．

14．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是__________．

15．点到直线的距离的最大值是        ．

16．是直线上的第一象限内的一点，为定点，直线AB交x轴正半轴于点C，当面积最小时，点的坐标是__________．

四.   解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，且，为中点，为中点，设，，；

(1)用向量，，表示向量；(2)求线段的长度．

18．设复数，为虚数单位，且满足．

（1）求复数；（2）复数是关于的方程的一个根，求实数的值．

19．如图，面积为8的平行四边形ABCD，A为原点，点B的坐标为，点C，D在第一象限．

(1)求直线CD的方程；   (2)若，求点D的横坐标．

20．已知在中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且．

（1）求；

（2）若，且为锐角三角形，求面积的取值范围．

21．如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，四边形为梯形，，.

(1)若为的中点，求证：平面；

(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

22．已知函数，

（1）当时，求的单调递减区间；

（2）若有三个零点，，，且，

              2023学年第一学期高二年级数学答案

一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C    2. A    3．A   4．C   5．B    6．D   7．D   8．B

二．选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的 选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．AC   10．ABD    11．BD    12．ACD

四、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．   14．    15．    16．

五.   解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．【答案】（1）因为为中点，为中点， ，，，

所以

；

（2）因为平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，且，所以，，，

所以

所以，即线段PM长为.

18．【答案】（1）设，

，  

；     

（2）是方程的一个解，

它的共轭复数也是方程的一个解，     

根据韦达定理：，．         

19．【答案】（1）因为四边形ABCD是平行四边形，

所以，则．

设直线CD的方程为（），即．

因为平行四边形ABCD的面积为8，，故AB与CD之间的距离为．

由题图知：直线AB的方程为，于是，解得．

由C，D在第一象限知：，所以，

故直线CD的方程为．

（2）设点D的坐标为，由，则．

所以，解得或，故点D的横坐标为或2．

20. 【答案】（1）由及正弦定理得，

∴，即，

∴．∵，∴，

∵，∴．

（2）设的外接圆半径为R．

∵，∴，即．

由正弦定理可得，

∴，．

∴的面积

．

∵是锐角三角形，∴，，∴，

∴，∴，∴，

即锐角面积的取值范围是．

21．【答案】（1）取中点，连接，

分别为中点，，，

，，又，

，，四边形为平行四边形，，

平面，平面，平面.

（2）取中点，连接，

，，四边形为平行四边形，

又，，即；

为等边三角形，，

又平面平面，平面平面，平面，

平面；

则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

设，，则，，，，，

，，，，

设平面的法向量，

则，令，解得：，，，

，解得：，；

设平面的法向量，

则，令，解得：，，；

，

即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

22.【答案】（1），

∴的单调递减区间为.

（2）（ⅰ）

由题意可知当时不符合题意即

，∴

∵∴

∴

∵∴

（ⅱ）由题意可知：，

∴∴.