2022-2023学年福建省仙游县华侨中学高一下学期第一次月考数学试题含答案

2022-2023学年福建省仙游县华侨中学高一下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知是夹角为的单位向量,则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据平面向量数量积公式求解即可.

【详解】由题意得,是夹角为,

则.

故选:D.

2．已知向量，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用向量坐标运算法则直接求解即可.

【详解】解：，，

.

.

故选：C.

3．把的图象向左平移个单位，再把所有的点的横坐标变为原来的2倍所得到的函数y＝g(x)的解析式为（    ）

A．g(x)＝sinx B．g(x)＝cosx C． D．

【答案】B

【分析】根据三角函数的图象变换即可求解.

【详解】解：把的图象向左平移个单位，

可得函数，

然后再把所有的点的横坐标变为原来的2倍，可得函数y＝g(x)的解析式为g(x)＝cosx，

故选：B.

4．（，），则（    ）

A．2 B．1 C．0 D．

【答案】A

【分析】根据两角和的正切公式变形转换，从而可求解结果.

【详解】因为，

所以.

所以.

所以

.

故选：A.

5．若向量，，，且∥，则在上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由∥得的坐标，再根据投影向量的概念即可得出结果.

【详解】∵∥，∴，即，

在上的投影向量为：，

故选:A

6．已知O，N，P，I在所在的平面内，则下列说法不正确的是（    ）

A．若，则O是的外心

B．若，则I是的内心

C．若，则P是的垂心

D．若，则N是的重心

【答案】B

【分析】根据三角形外心、垂心、重心和内心的定义，结合平面向量的运算逐项分析判断.

【详解】对于选项A：若，即到的距离相等，

根据外心的定义可知：O是的外心，故A正确；

对于选项B：若，则，

即I是三边高线的交点，所以I是的垂心，故B错误；

对于选项C：若，

则，即，

同理可得：，由选项B可知：P是的垂心，故C正确；

对于选项D：若，则（D为AB的中点），

即，根据重心的性质可知：N是重心，故D正确；

故选：B.

7．已知，是两个不共线的向量，，，若与共线，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据共线向量定理可得，然后利用三角函数变换及同角关系式即得.

【详解】设，与是共线向量，所以存在唯一实数使得，

所以，所以，解得，则

.

故选：B.

8．函数，若，则的最小值是（    ）

A． B．0 C． D．

【答案】C

【分析】由题得,进而可知在,处取到最大值和最小值,根据三角函数的性质可得，进而即得.

【详解】因为

，

又，

所以在,处取到最大值和最小值，

不妨设在处有最大值,则,即，

处取到最小值,则,即，

所以,,，

所以当时，的最小值为.

故选：C.

二、多选题

9．设向量，其中正确的有（    ）

A． B．

C．  D．与的夹角为

【答案】AD

【分析】根据数量积的坐标运算，即可判断各选项的正误.

【详解】A选项：，，

故，A正确；

B选项：，，故B错误；

C选项：，因，故C错误；

D选项：，所以与的夹角为，D正确.

故选：AD

10．下列等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】利用二倍角的余弦公式即可判断A；利用二倍角的正弦公式即可判断B；利用两角和的正弦公式即可判断C；利用两角差的正切公式即可判断D.

【详解】对于A，，故A正确；

对于B，，故B正确；

对于C，，故C错误；

对于D，，故D正确.

故选：ABD.

11．已知向量，，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则

B．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为

C．若与共线，则为或

D．存在，使得

【答案】AB

【分析】根据得到，即可得到，即可判断A选项；根据投影向量得到，即可得到，即可判断B选项；根据与共线和得到，解得，根据可得，即可得到的坐标，即可判断C选项；假设成立，可得到，与矛盾，即可判断D选项.

【详解】对于A，若，则有，即，A正确；

对于B，，，在上的投影向量为，所以，∵，∴，B正确；

对于C，若与共线，设，所以有，解得，

因为，，∴，所以，C不正确；

对于D，若成立，则与反向，所以，，，解得，即有，

则，与矛盾，故D不正确．

故选：AB.

12．如图，正方形中，为中点，为线段上的动点，，则下列结论正确的是（    ）

A．当为线段上的中点时，

B．的最大值为

C．的取值范围为

D．的取值范围为

【答案】ABC

【分析】以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，结合向量的坐标表示及向量的坐标运算表示条件，由此判断各选项.

【详解】以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，设，

则，

设，则，

因为，所以，

所以，即，

对于选项A，因为为线段上的中点，所以，故，A正确；

对于选项B，，，当时，取最大值为，B正确；

对于选项C，因为，，所以，的取值范围为，C正确；

对于选项D，，，所以，所以的取值范围为，D错误.

故选：ABC.

三、填空题

13．，，则      .

【答案】

【分析】根据题意，利用向量的坐标运算求得，代入即可求解.

【详解】因为，可得，，

则.

故答案为：.

14．已知，，则的值为        .

【答案】－.

【分析】将和分别平方计算可得.

【详解】∵，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴ ，

∴,

故答案为：－.

【点晴】此题考同脚三角函数基本关系式的应用，属于简单题.

15．在中，若为的交点，满足，则的值为          ．

【答案】

【分析】利用平面向量三点共线性质可得，，从而求得，进而得到，由此得解.

【详解】依题意，得三点共线，

所以，

同理：由三点共线得到，

所以，解得，

所以，

又，所以，，

故．

故答案为：．

四、双空题

16．已知向量，向量与向量的夹角为，，则向量          ；若向量与向量的夹角为，向量，其中，当时，实数a的取值范围为          ．

【答案】     或    

【分析】设出，根据向量数量积公式和夹角公式列出方程组，求出，再根据与夹角的，求出，利用向量线性运算法则和模长公式，结合三角函数恒等变换求出，利用模长取值范围和，得到不等式，求出实数a的取值范围.

【详解】设，则，

，

∴或，

∴或，

与夹角的，则

∴

∴

因为，

所以，，

∵，

∴，

∴，

∴，

故实数a的取值范围是．

五、解答题

17．已知向量，满足，且，.

(1)求与的夹角；

(2)求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用向量数量积求与的夹角；

（2）利用向量数量积求向量的模.

【详解】（1），，与的夹角为，

，

，由，得.

（2）.

18．已知中，点D在线段OB上，且，延长BA到C.使.设，.

(1)用，表示向量；

(2)若向量与共线，求k的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用中点的性质与向量的线性运算法则求解即可；

（2）根据（1）的结论，可得关于向量的表示式，结合向量共线的充要条件建立关于k的方程组，解之即可得到实数k的值．

【详解】（1）∵A为BC的中点，∴，

可得；

（2），

得，

∵与共线，

设，即，

根据平面向量基本定理，得，

解得.

19．已知向量.

(1)若，求的值；

(2)若向量，求的值.

【答案】(1)；(2).

【分析】(1) 由可得，利用数量积的坐标运算列方程求解；

(2)由可得，将变形为，代入计算可得结果.

【详解】(1)由可得，

即，

则；

(2)由题意可得  即，

∴，

.

【点睛】本题考查向量的数量积的坐标运算，以及倍角公式的运算，是基础题.

20．已知向量，，函数．

(1)求函数图象的对称轴；

(2)若在上有解，求整数m的最小值．

【答案】(1)对称轴为，；

(2)1.

【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算及辅助角公式可得，再结合三角函数性质即得；

（2）利用三角函数图象和性质结合条件可得，即得.

【详解】（1）

，

令，，可得，，

所以图象的对称轴为，；

（2）由（1）可知，，

由，则，，

当即时，，

∴，又在上有解，

∴，即，

∴整数m的最小值为1.

21．已知函数（，），是函数图象上的一点，M，N是函数图象上一组相邻的最高点和最低点，在x轴上存在点T，使得，且四边形PMTN的面积的最小值为.

(1)求函数的解析式；

(2)已知，过点H的直线交PM于点Q，交PN于点K，，，问是否是定值？若是，求出定值，若不是，说明理由.

【答案】(1)

(2)存在定值，3

【分析】（1）首先由条件，确定四边形的图形，根据面积的最小值求周期，根据五点法中的一个点求，即可求解函数的解析式；（2）利用线性关系表示，再结合三点共线，即可求解.

【详解】（1）因为M，N是函数图象上一组相邻的最高点和最低点，

故MN的中点在x轴上，且为函数的一个零点，

因为，故四边形PMTN是平行四边形，

借助图象可知，平行四边形PMTN的面积最小时，为一个周期长度，

平行四边形PMTN的面积，解得，

故，解得，

因为是函数图象上的一点，所以，

所以，，解得，，

因为，所以，

所以；

（2）存在定值3，使得，理由如下：

因为因为H，Q，K三点共线，

所以，即.

22．已知，函数，.

（1）若在上单调递增，求正数的最大值；

（2）若函数在内恰有一个零点，求的取值范围.

【答案】（1）（2）

【分析】（1）求出的单调递增区间，令，得，可知区间，即可求出正数的最大值；（2）令，当时，，可将问题转化为在的零点问题，分类讨论即可求出答案.

【详解】解：（1）由，

得，.

因为在上单调递增，

令，得时单调递增，

所以解得，可得正数的最大值为.

（2），

设，当时，.它的图形如图所示.

又，则，，令，

则函数在内恰有一个零点，可知在内最多一个零点.

①当0为的零点时，显然不成立；

②当为的零点时，由，得，把代入中，

得，解得，，不符合题意.

③当零点在区间时，若，得，此时零点为1，即，由的图象可知不符合题意；

若，即，设的两根分别为，，由，且抛物线的对称轴为，则两根同时为正，要使在内恰有一个零点，则一个根在内，另一个根在内，

所以解得.

综上，的取值范围为.

【点睛】本题考查了三角函数的单调性的应用，考查了函数的零点，考查了分类讨论的数学思想，考查了学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.