2022-2023学年福建省莆田市仙游县枫亭中学高一上学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年福建省仙游县枫亭中学高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用补集的运算规律求解即可.

【详解】解：全集，集合，

.

故选：C.

2．已知，下列关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】运用作差法比较代数式的大小，最后运用配方法化简代数式即可得出结果.

【详解】根据题意，

选项D正确，选项ABC错误.

故选：D.

3．已知函数的图像经过点（5，4），则实数的值为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】将点坐标代入函数解析式，解方程即可求出结果.

【详解】由题意可得，解得，

故选：C.

4．函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】解不等式组即得解.

【详解】由题得，

解之得且.

所以函数的定义域为.

故选：B

5．若幂函数的图像经过点，则在定义域内（    ）

A．为增函数 B．为减函数 C．有最小值 D．有最大值

【答案】C

【分析】设幂函数，由题意，解得，所以幂函数，由二次函数的图像与性质即可求解.

【详解】解：设幂函数，因为幂函数的图像经过点，

所以，解得，所以幂函数，

所以在单调递减，在上单调递增，

所以在定义域内有最小值，

故选：C.

6．下列命题中是真命题的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】举例子可判断ACD，根据数集之间的关系可判断B，进而可得正确选项.

【详解】对于A：因为，不成立，故选项A不正确；

对于B：表示无理数，不存在，，故选项B不正确；

对于C：当时，不成立，所以，不是真命题，故选项C不正确；

对于D：当时，，所以，，故选项D正确；

故选：D.

7．已知，，且，则的最小值为（    ）

A． B． C．4 D．6

【答案】C

【分析】由基本不等式得出关于的不等式，解之可得．

【详解】因为，

所以，当且仅当时取等号．

，解得或（舍去），

所以，即的最小值.4．此时．

故选：C．

8．函数的图象是如图所示的折线段，其中，，函数，那么函数的值域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据图象可得的解析式，进而可得的解析式，再利用二次函数的性质分别求分段函数各段的值域，再求并集即可求解.

【详解】由题图可知，，所以直线的方程是，

因为，所以直线的方程为，

所以，

所以，

当时，在上单调递增，此时函数的值域为；

当时，，

所以当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，

此时函数的值域为，

综上可知，函数的值域为，

故选：B.

二、多选题

9．已知，使得成立的充分不必要条件可为（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】根据题意，结合充分必要条件的定义依次分析选项即可得出选项.

【详解】根据题意，依次分析选项：

A，若，不一定有，如，

不是的充分条件，A错误；

B，当，时， ，但是不成立，

则不是充分条件，B错误；

C，若，必有，反之若，则，

则不是成立的充分不必要条件，C正确；

D，若，而，必有，

反之若，不一定有，则是成立的充分不必要条件，D正确.

故选：CD

10．下列各式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系可判断选项的正误.

【详解】A中，集合与集合的关系应该是包含关系，故错误；

B中，根据集合是本身的子集可知，正确；

C中，根据元素与集合的关系可知正确；

D中，因为集合中的元素不同，所以不正确.

故选：BC

11．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】ACD

【分析】利用不等式的性质，结合各选项所给的条件判断正误即可.

【详解】由有，若则，即，故A正确，B错误；

C：由，则，故正确；

D：由，又，则，故正确.

故选：ACD

12．(多选)如图是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法正确的是（    ）

A．函数在区间[－5，－3]上单调递增

B．函数在区间[1，4]上单调递增

C．函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减

D．函数在区间[－5，5]上没有单调性

【答案】ABD

【分析】根据图象判断函数的单调区间，即可判断选项.

【详解】由图可知，函数在区间，上单调递增，故AB正确；f(x)在区间[－3，1]，[4，5]上单调递减，单调区间不可以用并集“ ”连接，故C错误；函数在区间没有单调性，故D正确.

故选：ABD

三、填空题

13．已知奇函数的定义域为，若，，则______.

【答案】52##2.5

【分析】先由奇函数求出，对，利用赋值法求出，得到，再用赋值法分别求出.

【详解】因为已知奇函数的定义域为，且，

所以

因为，

所以，所以，即.

对于，

当x=1时，有，

当x=3时，有.

故答案为：.

14．若不等式的解集为，则实数取值范围是______．

【答案】

【分析】当时，恒成立，符合题意；当时，由即可求解.

【详解】当时，恒成立，所以符合题意；

当时，若不等式的解集为，

则，可得：，

综上所述：实数取值范围是，

故答案为：.

15．已知，，以为定义域，以为值域可以建立______个不同的函数.

【答案】6

【分析】根据函数的定义，即可求得以为定义域，以为值域的函数可以建立的个数．

【详解】∵，，且集合为定义域，集合为值域

∴根据函数的定义可得集合中的或在集合中就一定有两个元素与之对应．

若在集合中有两个元素与之对应，那就会有，，这三种情况．

同理，若在集合中有两个元素与之对应，也就会有，，这三种情况．

∴函数可以建立的个数为个．

故答案为：6．

16．若“，”的否定是假命题，则实数的取值范围是_______________．

【答案】

【分析】由题意，“，”是真命题，转化为，分析即得解

【详解】由题意，“，”的否定是假命题，即“，”是真命题

故，对恒成立

又

则实数的取值范围是

故答案为：

四、解答题

17．已知函数.

（1）求 ；

（2）判断函数在上的单调性并用定义证明.

【答案】（1）；（2）减函数，证明见解析.

【分析】（1）用代入法进行求解即可；

（2）用单调性的定义进行判断并证明即可.

【详解】（1）因为，所以；

（2）函数在上单调递减，证明如下：

设是内任意两个实数，且，则有，

，

因为，所以，因此，

所以函数在上单调递减.

18．已知集合，．

（1）当时，求；

（2）若，求实数m的取值范围；

（3）若，且，求实数m的取值范围．

【答案】（1）；（2）；（3）．

【分析】（1）先求出集合B，再求两集的并集即可；

（2）由，可分和两种情况求解即可；

（3）由题意可得或，从而可求出m的取值范围.

【详解】（1）当时，，所以．

（2）因为，若，则，解得．

若，则即也即．

综上可知m的取值范围是．

（3）因为，且，所以①或②

由不等式组①解得，而不等式组②无解，

因此m的取值范围是．

19．（1）设；求函数的最大值；

（2）当时，求函数的最小值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）将变形为，利用均值不等式即可求出结果；

（2）将变形为，利用均值不等式即可求出结果.

【详解】（1）因为，所以，

因此，当且仅当，即时，等号成立，故函数的最大值为；

（2）因为，所以，，当且仅当时，即时，等号成立，故函数的最小值为.

20．已知函数

（1）画出函数的图象；

（2）求的值；

（3）当时，求x的取值范围.

【答案】（1）图象见解析过程；（2），；（3）.

【分析】（1）根据二次函数、一次函数的图象性质进行画图即可；

（2）用代入法进行求解即可；

（3）分类讨论进行求解即可.

【详解】（1）函数的图象如下图所示：

（2）

；

（3）当时，；

当时，，符合题意；

当时，，

综上所述：x的取值范围为：.

21．已知幂函数是偶函数，且在上单调递增．

（1）求函数的解析式；

（2）解不等式．

【答案】（1）或；（2）．

【分析】（1）根据是幂函数，得到，再由是偶函数和在上单调递增，由，且为偶函数求解.

（2）根据（1）偶函数在上递增，转化为求解.

【详解】（1）因为是幂函数，

则，解得或，

又是偶函数，所以是偶数，

又在上单调递增，

所以，

解得，

所以、、或．

所以或；

（2）由（1）偶函数在上递增，

，可化为，

即，

所以或．

所以的范围是．

22．已知二次函数满足，且．

（1）求的解析式；

（2）设，若存在实数，使得，求的取值范围；

（3）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）或；（3）

【分析】（1）设二次函数，利用恒等式求出可得结果；

（2）求出，再解不等式即可得解；

（3）将不等式恒成立转化为当，时，成立，然后分类讨论对称轴与区间的关系，求出最大值和最小值，代入，解不等式可得解.

【详解】（1）因为，所以设二次函数，

因为，所以，

所以，

所以，解得，

所以.

（2）因为，

所以，

所以，解得或.

（3）因为对任意，都有恒成立，

所以当，时，，

因为的对称轴为，

所以当，即时，在上先递减后递增，

所以，

或，

当时，由，

得，又，所以，

当时，由，

得，又，所以，

当，即时，在上单调递减，

，，

所以，解得，

当时，在上单调递增，

所以，，

由，解得，

综上所述：实数的取值范围是.