2022-2023学年山东省临沂第十八中学高一下学期第五次调研考试数学试题含答案

2022-2023学年山东省临沂第十八中学高一下学期第五次调研考试数学试题

一、单选题

1．设，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】由复数乘法运算和复数的相等可直接求得结果.

【详解】由得：，，.

故选：A.

2．某社区卫生室为了了解该社区居民的身体健康状况，对该社区1100名男性居民和900名女性居民按性别采用等比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽取了一个容量为100的样本，则应从男性居民中抽取的人数为（    ）

A．45 B．50 C．55 D．60

【答案】C

【分析】根据分层抽样的规则运算即可.

【详解】应从男性居民中抽取的人数为；

故选：C.

3．工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（    ）

A．两条相交直线确定一个平面

B．两条平行直线确定一个平面

C．四点确定一个平面

D．直线及直线外一点确定一个平面

【答案】A

【分析】利用平面的基本性质求解.

【详解】解：由于连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格，

所以工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一个平面”.

故选：A

4．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据条件，由正弦定理得，可令，再利用余弦定理求解.

【详解】由正弦定理：

得

又因为，所以

令

所以

故选：D.

5．已知平面，且，，则直线a，b的关系为（    ）

A．一定平行 B．一定异面

C．不可能相交 D．相交、平行或异面都有可能

【答案】C

【分析】根据空间线面间的位置关系判断．

【详解】由平面，且，可知直线a，b没有公共点，故它们一定不相交，即可能是平行或异面．

故选：C．

6．已知向量，点，，记为在向量上的投影向量，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据投影向量的定义求解．

【详解】由已知，，，

在向量上的投影向量为，

所以，

故选：B．

7．函数在区间上的图像如图所示，将该函数图像上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移个单位长度后，所得到的图像关于原点对称，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由周期求出，代点求出的值，可得函数的的解析式，再根据函数的对称性求出的值，结合可得结论．

【详解】由函数的图象，

得，，

又函数过点，得，

又，可知．故．

把的图象各点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），

再向右平移个单位长度后，得到的图象，

∵所得图象关于原点对称，，即

即Z，解得：Z，

由，可得当时，的最小值为．

故选：C

8．在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线、于点、，且，，其中且，若的最小值为3，则正数的值为(    )

A．2 B．3 C． D．

【答案】B

【分析】用和表示，根据E、O、F三点共线可得，利用和基本不等式可求的最小值，再根据的最小值为3即可求出t的值．

【详解】，

∵E、O、F三点共线，∴，

∵m>0，n>0，t>0，

∴，

当且仅当时取等号，

∴．

故选：B．

二、多选题

9．从含有3道代数题和2道几何题的5道试题中随机抽取2道题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，则（    ）

A．“第1次抽到代数题”与“第1次抽到几何题”是互斥事件

B．“第1次抽到代数题”与“第2次抽到几何题”相互独立

C．第1次抽到代数题且第2次也抽到代数题的概率是

D．两道题都是几何题的概率是

【答案】ACD

【分析】根据互斥事件，独立事件的定义判断AB，利用条件概率公式计算判断CD.

【详解】“第1次抽到代数题”与“第1次抽到几何题”这两个事件不可能同时发生，它们互斥，A正确；

“第1次抽到代数题”这个事件发生与否对事件“第2次抽到几何题”发生的概率有影响，

“第1次抽到代数题”发生时，“第2次抽到几何题”的概率是，

“第1次抽到代数题”不发生时，“第2次抽到几何题”的概率是，它们不独立；B错误；

第1次抽到代数题且第2次也抽到代数题的概率是，C正确；

抽取两次都是几何题的概率是，D正确.

故选：ACD.

10．如图，在正方体中，点在线段上运动，有下列判断，其中正确的是（    ）

A．平面平面

B．平面

C．异面直线与所成角的取值范围是

D．三棱锥的体积不变

【答案】ABD

【分析】对于A，利用线面垂直的判定定理证得平面，从而利用面面垂直的判定定理即可判断；

对于B，利用线面平行与面面平行的判定定理证得平面平面，从而得以判断；

对于C，利用线线平行将异面直线与所成角转化为与所成的角，从而在等边中即可求得该角的范围，由此判断即可；

对于D，先利用线线平行得到点到面平面的距离不变，再利用等体积法即可判断.

【详解】对于A，连接，如图，

因为在正方体中，平面，

又平面，所以，

因为在正方形中，又与为平面内的两条相交直线，所以平面，

因为平面，所以，同理可得，

因为与为平面内两条相交直线，可得平面，

又平面，从而平面平面，故A正确；

.  

对于B，连接，，如图，

因为，，所以四边形是平行四边形，

所以，又平面，平面，

所以平面，同理平面，

又、为平面内两条相交直线，所以平面平面，

因为平面，所以平面，故B正确；

对于C，因为，所以与所成角即为与所成的角，

因为，所以为等边三角形，

当与线段的两端点重合时，与所成角取得最小值；

当与线段的中点重合时，与所成角取得最大值；

所以与所成角的范围是，故C错误；

对于D，由选项B得平面，故上任意一点到平面的距离均相等，

即点到面平面的距离不变，不妨设为，则，

所以三棱锥的体积不变，故D正确．

故选：ABD.

【点睛】关键点睛：解答本题关键在于熟练掌握线面垂直与面面垂直的判定定理、线面平行与面面平行的判定定理，能够利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化严密推理.

11．如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥的体积分别为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】直接由体积公式计算，连接交于点，连接，先证明平面，由等体积法计算出，依次判断选项即可.

【详解】如图连接交于，连接，设，

则.

由平面，所以平面，

所以，

.

由平面平面，所以.

又，且平面，

所以平面，所以.

又，

，所以，所以，

而，平面，所以平面.

又，则，

所以有，

所以选项不正确，正确.

故选：.

12．已知函数在区间上单调，且满足有下列结论正确的有(    )

A．

B．若，则函数的最小正周期为；

C．关于x的方程在区间上最多有4个不相等的实数解

D．若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为

【答案】ABD

【分析】A：在上单调，，，故；

B：求出区间右端点关于的对称点，由题可知在上单调，据此可求出f(x)周期的范围，从而求出ω的范围.再根据知是f(x)的对称轴，根据对称轴和对称中心距离为周期的倍即可求出ω，从而求出其周期；

C：根据ω的范围求出周期的范围，根据正弦型函数一个完整周期只有一个最高点即可求解；

D：由知，是函数在区间，上的第1个零点，而在区间上恰有5个零点，则，据此即可求ω的范围.

【详解】A，∵，∴在上单调，又，，∴，故A正确；

B，区间右端点关于的对称点为，∵，f(x)在上单调，∴根据正弦函数图像特征可知在上单调，∴为的最小正周期，即3，又，∴.若，则的图象关于直线对称，结合，得，即，故k＝0，，故B正确.

C，由，得，∴在区间上最多有3个完整的周期，而在1个完整周期内只有1个解，故关于的方程在区间上最多有3个不相等的实数解，故C错误.

D，由知，是函数在区间，上的第1个零点，而在区间上恰有5个零点，则，结合，得，又，∴的取值范围为，故D正确.

故选：ABD.

【点睛】本题综合考察的周期、单调性、对称中心、对称轴等特性，解题的关键是熟练掌握正弦型函数对称轴，对称中心的位置特征，掌握正弦型函数单调性与周期的关系.常用结论：(1)单调区间的长度最长为半个周期；(2)一个完整周期内只有一个最值点；(3)对称轴和对称中心之间的距离为周期的倍.

三、填空题

13．已知向量，.若，则           .

【答案】1

【分析】根据向量垂直，数量积为0.

【详解】解：，又，

所以，解得：，

故答案为：1.

14．甲和乙两个箱子中各装有个球，其中甲箱中有个白球､个红球，乙箱中有个红球､个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为或，从甲箱子随机摸出个球；如果点数为，从乙箱子中随机摸出个球.则摸到红球的概率为           .

【答案】/0.7

【分析】分别计算出从甲箱中摸到红球的概率和从乙箱中摸到红球的概率，然后利用概率的加法公式即可.

【详解】从甲箱中摸红球：掷到点数为5或6的概率为，再从甲箱中摸到红球的概率为，

故从甲箱中摸到红球的概率为；

从乙箱中摸红球：掷到点数为1，2，3，4的概率为，再从乙箱中摸到红球的概率为，

故从乙箱中摸到红球的概率为；

综上所述：摸到红球的概率为.

故答案为：

15．已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，且满足条件，，，，，，则球O的表面积为      .

【答案】

【分析】由，，，结合长方体模型得出球O的半径，进而得出球O的表面积.

【详解】由题意可知，，，，可得，所以，即，同理可得，，，以点P为一个顶点，PA，PB，PC为三条相邻棱，构造长方体.

由于点P，A，B，C都在球O的球面上，显然长方体内接于球O，其对角线PF长就是球O的直径，所以，，

所以球O的表面积.

故答案为：

16．已知、、为△的三内角，且角为锐角，若，则的最小值为      .

【答案】

【分析】由三角形内角的性质结合，可得，由目标函数式并利用基本不等式即可求得其最小值，注意基本不等式的使用条件“一正二定三相等”，其中为锐角，

【详解】、、为△的三内角，为锐角，

∴

故有，即可得

∴，当且仅当时等号成立

∴的最小值为

故答案为：

【点睛】本题考查了由三角形内角间的函数关系，利用三角恒等变换以及基本不等式求目标三角函数的最值，注意两角和正切公式、基本不等式(使用条件要成立)的应用

四、解答题

17．已知平面向量，．

(1)求的值；

(2)若向量与夹角为，求实数λ的值．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）首先求出的坐标，再根据向量模的坐标表示计算可得；

（2）首先求出的坐标，即可得到，再根据数量积的坐标表示求出，最后根据数量积的定义得到方程，解得即可；

【详解】（1）解：因为，，

所以，

所以；

（2）解：，

所以，，

又向量与夹角为，

所以，

即，

即，解得或.

18．已知内角，，所对的边分别为，，，设向量，，且.

(1)求角；

(2)若，的面积为，求的周长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据向量平行的坐标公式，结合余弦定理求解即可；

（2）根据面积公式可得，进而得到，从而利用正弦定理求出，进而得到周长即可

【详解】（1）由向量平行的坐标公式可得，由正弦定理可得，即，故，因为，故

（2）由三角形面积公式，，故，故为等腰三角形，故，又，故，所以的周长为

19．某产品在出厂前需要经过质检，质检分为2个过程．第1个过程，将产品交给3位质检员分别进行检验，若3位质检员检验结果均为合格，则产品不需要进行第2个过程，可以出厂；若3位质检员检验结果均为不合格，则产品视为不合格产品，不可以出厂；若只有1位或2位质检员检验结果为合格，则需要进行第2个过程．第2个过程，将产品交给第4位和第5位质检员检验，若这2位质检员检验结果均为合格，则可以出厂，否则视为不合格产品，不可以出厂．设每位质检员检验结果为合格的概率均为，且每位质检员的检验结果相互独立．

(1)求产品需要进行第2个过程的概率；

(2)求产品不可以出厂的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分在第1个过程中，1或2位质检员检验结果为合格两种情况讨论，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得；

（2）首先求出在第1个过程中，3位质检员检验结果均为不合格的概率，再求出产品需要进行第2个过程，在第2个过程中，产品不可以出厂的概率，最后根据互斥事件的概率公式计算可得；

【详解】（1）解：记事件A为“产品需要进行第2个过程”．

在第1个过程中，1位质检员检验结果为合格的概率，

在第1个过程中，2位质检员检验结果为合格的概率，

故．

（2）解：记事件B为“产品不可以出厂”．

在第1个过程中，3位质检员检验结果均为不合格的概率，

产品需要进行第2个过程，在第2个过程中，产品不可以出厂的概率，

故．

20．以简单随机抽样的方式从某小区抽取户居民用户进行用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.

(1)求直方图中的值；

(2)估计该小区居民用电量的平均值和中位数；

(3)从用电量落在区间内被抽到的用户中任取户，求至少有户落在区间内的概率.

【答案】(1)

(2)平均值为，中位数为

(3)

【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小长方形的面积之和为1即可求解；

（2）根据频率分布直方图中平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和，而中位数左边和右边的直方图的面积相等即可求解；

（3）利用频率分布直方图中频数、频率和样本容量的关系，结合古典概型的计算公式即可求解.

【详解】（1）由，得

（2）平均值，

∵用电量落在区间的频率之和为，

∴中位数落在区，设中位数为，则，

解得.

（3）由题频率分布直方图可知，用电量落在区间的用户有户，记为，用电量落在区间用户有户，记为，记事件“至少有1户落在区间内”.

∴从，中这6个元素中任取2个元素的样本空间，，，，，，，，，，，，，，，共有个样本点，

，，，，，，，，，共有个样本点，

∴，

即至少有户落在区间内的概率为.

21．如图，在正三棱柱中，点D为中点．

(1)若，证明：平面平面；

(2)若，且二面角的正切值为，求三棱柱的体积．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）根据面面垂直的性质即可证明线面垂直，进而可证明线面垂直；（2）根据几何法找二面角的平面角，求出三棱锥的高，进而可求体积.

【详解】（1）为等边三角形,点D为中点,故,因为平面平面,其交线为,故平面，平面,故平面平面；

（2）过D作平面交于故是的四等分点靠近的位置，过作交于所以即为二面角的平面角，,

在中,，

在中，,

故三棱锥的体积为：

22．已知函数.

(1)求函数的最小正周期；

(2)若不等式对任意恒成立，求整数m的最大值；

(3)若函数，将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若关于x的方程在上有解，求实数k的取值范围.

【答案】(1)

(2)4

(3)

【分析】（1）由二倍角公式及辅助角公式求得，从而可求周期；

（2）先求函数的最值，再根据恒成立建立不等式组即可求解；

（3）将问题转化为二次方程有解问题解决.

【详解】（1）由题意得，

.可得函数的最小正周期为.

（2）因为，所以，

所以，所以当时，的最小值为1；当时，的最大值为2，所以.

由题意得，，所以对一切恒成立，

所以，解得，所以整数m的最大值为4.

（3）由题意知，，

将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得，

再向右平移个单位得，

因为关于x的方程在区间上有解，整理得：

，即（*）在区间上有解，

，

因为，所以

令，

（*）式可转化为：在内有解，

所以，，又因为和在为增函数，

所以在为增函数，

所以当时，取得最小值；当时，取得最大值，所以，

综上所述：k的取值范围为.