2022-2023学年山东省临沂市临沂第一中学文峰校区高一下学期5月月考数学试题含答案

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临沂一中文峰校区高一学科素养测评

数学

2023.5

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名､考号填写在答题卡规定的位置上.

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.

5.考试时间120分钟，满分150分，考试结束后，只将答题卡交回.

一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.（智能题卡第67页9题改编）复数的模为（    ）

A.    B.1    C.    D.

2.（导学讲义第69页随堂演练3改编）下列说法正确的是（    ）

A.棱台的侧棱长都相等

B.棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台

C.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形

D.棱台的两个底面相似

3.如图所示，点为的边的中点，为线段上靠近点的三等分点，则（    ）

A.    B.

C.    D.

4.若的直观图如图所示，，则顶点到轴的距离是（    ）

A.2    B.4    C.    D.

5.（导学讲义第10页跟踪训练3改编）设两个非零向量不共线，且，，则（    ）

A.三点共线    B.三点共线

C.三点共线    D.三点共线

6.将一个大圆锥截去一个小圆锥得到圆台，圆台的上､下底面圆的半径之比为，若大圆锥的高为15，则圆台的高为（    ）

A.10    B.    C.    D.5

7.在中，角所对的边分别为，若，且，则的形状为（    ）

A.等腰或直角三角形    B.等边三角形

C.直角三角形    D.等腰直角三角形

8.如图，已知圆锥的顶点为为底面圆的直径，点为底面圆周上的点，并将弧三等分，过作平面，使，设与交于点，则的值为（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.（智能题卡第129页第10题）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（    ）

A.圆柱的侧面积为

B.圆锥的侧面积为

C.圆柱的侧面积与球的表面积相等

D.圆柱､圆锥､球的体积之比为

10.（智能题卡第113页第2题改编）设是不同的直线，是不同的平面，则下列命题不正确的是（    ）

A.，则

B.，则

C.，则

D.，则

11.已知平面向量与的夹角为，则（    ）

A.    B.

C.    D.在上的投影向量的模为

12.如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点，则以下结论正确的是（    ）

A.直线平面

B.平面平面

C.平面平面

D.与不垂直

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.（课本第132页第4题（3）问）已知两条相交直线，且平面，则与的位置关系是__________.

14.已知向量满足，且，则与的夹角为__________.

15.（智能题卡第124页15题）正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，则正四棱锥外接球的体积为__________.

16.（智能题卡第100页15题改编）如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内（不含边界）一点，若平面，则线段长度的最小值是__________.

四､解答题：本题共6小题.共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（导学讲义第59页7题改编）（10分）已知复数.

（1）若复数为纯虚数，求实数的值；

（2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围.

18.（课本第138页2题改编）（12分）如图：在正方体中，为的中点.

（1）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；

（2）若为的中点，求证：平面平面.

19.（12分）.在锐角中，内角所对的边分别为，已知.

（1）求角的大小；

（2）求实数的最小值.

20.（12分）.如图，在中，点为边的中点，.

（1）若，求；

（2）若，求的值.

21.（导学讲义第98页4题改编）（12分）.如图，已知正方体.

（1）求证：直线平面；

（2）若正方体的棱长为2，求点到平面的距离.

22.（12分）已知正方体的棱长为分别为棱上的动点，.若直线与平面所成角为.

（1）求二面角的平面角的余弦值.

（2）求二面角的平面角的大小.

（3）求线段的长度.

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数学试题参考答案及评分标准

2023.5

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.

1.【答案】A

【解析】因为，因此，.故选：A.

2.【答案】D

【解析】由棱台的定义知不正确，正确；棱锥被平面截成的两部分可能都是棱锥，不正确；棱柱的侧棱都相等且相互平行，且侧面是平行四边形，但侧面并不一定全等，不正确，故选：.

3.【答案】C

【解析】

4.【答案】D

【解析】如图（1）所示，在的直观图中，过点作轴交于点，

又因为且，可得，

作出直角坐标系中，作出的图形，如图（2）所示，

根据斜二测画法的规则，可得轴，即点到的距离即为.故选：D.

5.【答案】D

【解析】对于，

不存在实数，使得成立，三点不共线，A错误；

对于，

不存在实数，使得成立，三点不共线，B错误；

对于，

不存在实数，使得成立，三点不共线，C错误；

对于D，三点共线，D正确.故选：D.

6.【答案】A

【解析】由题意画出轴截面如下所示，可知，可得，

所以圆台的高为.故选：A

7.【答案】B

【解析】由得，

由正弦定理得，

由于，所以

所以，由于为三角形的内角，所以，又得，

进而可得，而为三角形内角，故，进而，

故三角形为等边三角形，故选：

8.【答案】C

【分析】连接交于点，连接，根据线面平行得性质证明，再根据可得，进而可得出答案.

【解析】连接交于点，连接，则平面即为平面，

因为，平面平面，所以，

因为为底面圆的直径，点将弧三等分，

所以，

所以且，所以，

又，所以，所以.故选：C.

【点睛】关键点点睛：根据线面平行得性质及平行线分线段成比例定理得到是解决本题得关键.

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.【答案】CD

【分析】根据圆柱､圆锥的侧面积､表面积､体积等知识求得正确答案.

【解析】A选项，圆柱的侧面积为选项错误.

B选项，圆锥的母线长为，圆锥的侧面积为选项错误.

C选项，球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，C选项正确.

D选项，圆柱的体积为，圆锥的体积为，球的体积为，

所以圆柱､圆锥､球的体积之比为选项正确.故选：

10.【答案】ABC

【分析】举例说明判断；利用线面垂直的性质判断D作答.

【解析】对于A，在长方体中，平面为平面分别为直线，

显然满足，而，此时不成立，A不正确；

对于，在长方体中，平面，平面分别为平面为直线，

显然满足，而，此时不成立，B不正确；

对于C，在长方体中，平面，平面分别为平面为直线，

显然满足，而，此时不成立，C不正确；

对于D，因为，由线面垂直的性质知，，正确.故选：ABC

11.【答案】AC

【解析】对于A：，故A正确；

对于B：与不垂直，故B错误；

对于C：，故C正确；

对于D：在上的投影向量的模为，故D错误.故选：AC.

12.【答案】ABC

【解析】如图，连接分别是的中点，，

又平面平面直线平面，所以A正确；

连接分别是的中点，.

又平面平面平面，

又平面，且平面平面，

平面平面，故B正确；

在正方体中显然侧棱底面，

又平面，故平面平面，

根据B选项：平面平面，所以平面平面，故C正确；

设与交于点0，由，

所以平面平面，故，故D错误.故选：ABC

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.【答案】平行或相交.

【解析】由直线与平面的位置关系可得与平行或相交.

14.【答案】（也可写成）

【解析】由题设，则，

所以，则，又，则.故答案为：（也可写成）

15.【答案】

【解析】详解见智能题卡参考答案第73页15题解析.

16.【答案】

【解析】如下图所示，

分别取棱的中点，连接，

分别为所在棱的中点，则，

，又平面平面平面.

四边形为平行四边形，，

又平面平面平面，又，

平面平面是侧面内一点，且平面，

点必在线段上.在中，.

同理，在中，可得为等腰三角形.

当点为中点时，即，此时最短；

又，

线段长度的最小为.故答案为：.

四､解答题：本小题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17（10分）.

【解析】（1），且复数为纯虚数，

（2）复数在复平面内对应的点在第四象限，

实数的取值范围是

18.（12分）.

【解析】（1）解：直线平面，理由如下：

设，接，

在正方体中，四边形是正方形，是中点，

是的中点，

，

平面平面，

平面；

（2）证明：为的中点，为的中点，，

四边形为平行四边形，，

又平面平面平面，

由（1）知平面平面平面，

平面平面.

19.（12分）.

【解析】（1）在锐角中，由，得，

即，则，而，所以.

（2）在中，由（1）知，，而，

由余弦定理，

得，

当且仅当时取等号，所以当时，.

20.（12分）.

【分析】（1）将用表示，再利用平面向量数量积的运算律以及定义求解作答.

（2）取平面向量的基底，再利用平面向量基本定理求解作答.

【解析】（1）在中，因为点D为边的中点，

所以，

所以，

所以.

（2）在中，不共线，

因为，则，而在上，即有，

于是，而，

因此，解得，所以的值为.

法2：因为，所以，所以

又因为，且三点共线所以，所以，所以，即的值为

21.（12分）.

【分析】（1）由正方体的结构特征结合线面垂直性质，证得平面，再由线面垂直性质和判定推理作答.

（2）利用三棱锥的体积求解作答.

【解析】（1）在正方体中，连接，如图，

因为四边形为正方形，则，

而平面平面，即有，

又平面，

则平面，而平面，因此，

同理平面，又平面，

即有，因为平面，

所以平面.

（2）在三棱锥中，，

则的面积，

的面积，

设点到平面的距离为，由得：，

于是，所以点到平面的距离为

22.（12分）.

【解析】（1）连接交于点，连接，则是的中点

在中，因为，且是的中点，所以，

在中，因为，且是的中点，所以，

所以为二面角的平面角，

在中，，

所以，

所以二面角平面角的余弦值为.

（2）如图，作，

垂足为，连接，作于，

平面平面，故，

平面，故平面平面，故，

是二面角的平面角，

平面，故，

平面，

故平面，所以是直线与平面所成的角，

是直角三角形，由已知，所以.

所以二面角的平面角的大小是

（3）在中，.