2022-2023学年湖北省黄冈市黄州中学（黄冈外校）高一下学期第五次阶段性测试数学试题含答案

2022-2023学年湖北省黄冈市黄州中学（黄冈外校）高一下学期第五次阶段性测试数学试题

一、单选题

1．若，其中，i为虚数单位，则复数的虚部为（    ）

A．1 B．i C． D．

【答案】C

【分析】由于，求得且，得到复数，结合复数的概念，即可求解.

【详解】由于，则且，

所以，所以复数的虚部为.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了复数相等的条件，以及复数的概念及其应用，属于基础题.

2．在△中，为边上的中线，为的中点，则

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.

【详解】根据向量的运算法则，可得

，

所以，故选A.

【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.

3．如图，是水平放置的的直观图，其中，，分别与轴，轴平行，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由斜二测画法还原图形计算即可求得结果

【详解】根据，，则，，

所以，

如图，由斜二测画法还原图形，，则.

故选：D.

4．的内角，，的对边分别为，，，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ）．

A．，， B．，，

C．，， D．，，

【答案】D

【分析】已知两边和其中一边的对角解三角形时要分类讨论，当已知角是锐角时，要把与比较大小，作出相应判断；已知两边和夹角有且只有1解；根据以上对选项判断即可.

【详解】解：对于A，，故只有1解.

对于B，已知两边夹角有且只有1解.

对于C，，，故有1解.

对于D，，，故有2解.

故选：D.

【点睛】考查三角形解的个数，已知两边和其中一边的对角解三角形时要注意分类讨论，基础题.

5．2020年1月11日，被誉为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜通过国家验收正式开放运行，成为全球口径最大且最灵敏的射电望远镜(简称FAST)．FAST的反射面的形状为球冠．球冠是球面被平面所截得的一部分，截得的圆为球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段为球冠的高．某科技馆制作了一个FAST模型，其口径为5米，反射面总面积为平方米，若模型的厚度忽略不计，则该球冠模型的高为（    ）(注：球冠表面积，其中R是球的半径，是球冠的高)

A．米 B．米

C． D．

【答案】B

【分析】作出轴截面图形，可以球的几何性质以及球冠的表面积，列出方程组，求解即可．

【详解】如图所示为球的轴截面图像，ACD部分为该球冠的轴截面，是弦，是球的半径，点为的中点，

则于点，

由题意可得，，，，

所以，，

在中，由勾股定理可得①，

又由球冠的表面积可得，②，

由①②可得，，

所以该球冠模型的高为米．

故选：B．

6．欧拉是一位杰出的数学家，为数学发展作出了巨大贡献，著名的欧拉公式：，将三角函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.结合欧拉公式，复数在复平面内对应的点位于（   ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】利用欧拉公式代入直接进行复数的运算即可求解.

【详解】

,

所以复数在复平面对应的点为，位于第四象限，

故选：D.

7．△ABC中，角A，B，C所对应的分别为a，b，c，且（a+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，若a＝2，则△ABC的面积的最大值是（    ）

A．1 B． C．2 D．2

【答案】B

【分析】由已知利用正弦定理可得a2＝b2+c2﹣bc，由余弦定理可得cosA，可求A的值；再利用余弦定理，基本不等式可求bc≤4，利用三角形的面积公式即可求解.

【详解】由（a+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，

利用正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c，

即a2＝b2+c2﹣bc，

所以由余弦定理可得：cosA，

而A∈（0，π），

所以A；

因为a＝2，

所以可得：4＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，

即bc≤4，当且仅当b＝c＝2时，取等号，

所以S△ABCbcsinA4，即△ABC面积的最大值为.

故选：B.

【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理求解三角形，三角形面积的最值问题一般利用基本不等式进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.

8．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，则四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积为（    ）

A．(60+4)π B．(60+8)π

C．(56+8)π D．(56+4)π

【答案】A

【分析】首先根据题意得到四边形绕所在直线旋转一周所成的几何体为一个圆台挖去一个圆锥，再计算其表面积即可.

【详解】四边形绕所在直线旋转一周所成的几何体为一个圆台挖去一个圆锥，

如图所示：

因为，所以圆台下底面面积，

又因为，，所以，，

所以圆台的侧面积.

圆锥的侧面积.

所以几何体的表面积为.

故选：A

二、多选题

9．下列命题正确的是（    ）

A．在中，若，则

B．若且，则

C．已知复，，则

D．已知是边长为2的正三角形，其直观图的面积为

【答案】AD

【分析】对于A：因为，大角对大边，结合正弦定理，即可判断A是否正确；对于B：当时，与任意向量平行，则与关系不能确定，即可判断B是否正确；对于C：虚数不能比较大小，即可判断C是否正确；对于D：根据斜二测画法与平面直观图的关系进行求解即可判断D是否正确．

【详解】解：对于A，在中，，则，根据正张定理：（其中R为外接圆半径），∴，故A正确；

对于B，当，尽管有且，但与不一定平行，故B错误；

对于C，当复数以虚数形式呈现时，不可比较大小，故C错误；

对于D，如图建系，

如图是边长为2的正三角形的直观图，

则，为正三角形的高的一半，

即

则高，

三角形的面积为：．故D正确.

故选：AD．

10．等腰直角三角形直角边长为1 ，现将该三角形绕其某一边旋转一周 ，则所形成的几何体的表面积可以为（   ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【解析】分2种情况，一种是绕直角边，一种是绕斜边，分别求形成几何体的表面积.

【详解】如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线就是直角三角形的斜边，

所以所形成的几何体的表面积是.

如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1，

所以写成的几何体的表面积.

综上可知形成几何体的表面积是或.

故选：AB

【点睛】本题考查旋转体的表面积，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型.

11．已知圆锥的底面半径为1，高为，为顶点，，为底面圆周上两个动点，则（    ）

A．圆锥的体积为

B．圆锥的侧面展开图的圆心角大小为

C．圆锥截面的面积的最大值为

D．从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为

【答案】BCD

【分析】对于A：直接求出圆锥的体积即可判断；

对于B：直接求出圆锥的侧面展开图的圆心角即可判断；

对于C：先判断出圆锥截面为轴截面时，其面积最大，在求其面积；

对于D：先分析出细绳的长度最短即为求线段.在三角形中，由余弦定理得即可求解..

【详解】对于A：因为圆锥的底面半径为1，高为，所以体积.

故A错误；

对于B：设圆锥的母线为l，则.

设圆锥的侧面展开图的圆心角为，由弧长公式得：，即，解得：，故B正确；

对于C：显然当圆锥截面为轴截面时，其面积最大，此时，故C正确；

对于D：作出圆锥的侧面展开图如图示，要使从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的长度最短，只需求线段.在三角形中，，由余弦定理得：，

即从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为.故D正确.

故选：BCD

12．任何一个复数（其中、，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（    ）

A． B．当，时，

C．当，时， D．当，时，若为偶数，则复数为纯虚数

【答案】AC

【分析】利用复数的模长公式可判断A选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B选项的正误；计算出复数，可判断C选项的正误；计算出，可判断D选项的正误.

【详解】对于复数，则，

，而，所以A正确；

当，时，，所以B错误；

，时，，则，所以C正确；

，时，，

为偶数时，设, ，

所以为奇数时，为纯虚数；为偶数时，为实数，选项D错误.

故选：AC.

三、填空题

13．已知圆锥的母线长为，侧面积为，则此圆锥的体积为 .

【答案】

【分析】设圆锥的底面半径为，根据题意计算出的值，并计算出圆锥的高，再利用锥体的体积公式可得出所求圆锥的体积.

【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，侧面积为，得，

圆锥的高为，因此圆锥的体积为，

故答案为.

【点睛】本题考查圆锥体积的计算，解题的关键就是求出圆锥的母线长与半径长，考查运算能力，属于基础题.

14．设向量，，且，则          ．

【答案】

【分析】根据向量模长的坐标公式即可代入求解.

【详解】由，得，

根据得，

解得，

故答案为：.

15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则        ．

【答案】

【分析】由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解.

【详解】由题意，，

所以，

所以，解得（负值舍去）.

故答案为：.

16．已知的三个内角的对应边分别为，且．则使得成立的实数m的取值范围是      ．

【答案】

【分析】先由三角形的面积公式和余弦定理以及两角和的正弦公式可得，再根据正弦定理可得，即可得到，由正弦函数的性质和基本不等式即可求出范围.

【详解】解：由三角形的面积公式可得，即

由余弦定理可得，

∴，

∴

∵，

由正弦定理可得，

∴，

∴，

∵，

∴

∴

∴，

∵，当且仅当时取等号，

∴，

∴，

综上所述m的取值范围为，

故答案为.

【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理和三角形的面积公式以及基本不等式和正弦函数的图象和性质，考查了学生的转化能力和运算能力，属于中档题.

四、解答题

17．已知棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥．

(1)求它的表面积；

(2)求它的体积.

【答案】(1)；

(2)﹒

【分析】(1)四棱锥表面积为四个侧面等边三角形面积和底面正方形面积之和；

(2)连接、，AC∩BD＝，连接，则为棱锥的高，求出SO，根据棱锥体积公式即可求解．

【详解】（1）∵四棱锥的各棱长均为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形，

∴它的表面积为；

（2）连接、，AC∩BD＝，连接，则为棱锥的高，

则，

故棱锥的体积．

18．已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数（是的共轭复数）

(1)求实数及；

(2)设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的概念得到方程（不等式）组，求出的值，即可求出，从而求出其模；

（2）根据复数的乘方及代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可.

【详解】（1）∵，∴，

，

为纯虚数，

，解得，

故，则

（2），

，

复数所对应的点在第二象限，

，解得，

故实数的取值范围为.

19．△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为

(1)求;

(2)若求△ABC的周长.

【答案】(1)(2) .

【详解】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式，再利用正弦定理将边化成角，从而得出的值；（2）由和计算出，从而求出角，根据题设和余弦定理可以求出和的值，从而求出的周长为.

试题解析：（1）由题设得，即.

由正弦定理得.

故.

（2）由题设及（1）得，即.

所以，故.

由题设得，即.

由余弦定理得，即，得.

故的周长为.

点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.

20．已知函数

(1)求的单调增区间;

(2)设是锐角三角形，角的对边分别为，若，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先结合二倍角公式进行化简，然后结合余弦函数的单调性可求；

（2）由已知先求出，然后结合余弦定理求出，再由三角形面积公式可求．

【详解】（1），

令，，

解得，，

取，则

故函数在的单调递增区间为

（2）由，可得，

因为，可得，可得，故，

因为，，

由余弦定理得，

解得或，

由于，故舍去，只取，

当时，

21．如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，该光源照射范围是,点在直径上，且．

（1）若，求的长；

（2）设, 求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．

【答案】（1）1或3（2）

【详解】试题分析：（1）在中,因为，，，所以由余弦定理，且，，所以，解得或

（2）该空地产生最大经济价值等价于种植甲种水果的面积最大，所以用表示出，再利用三角函数求最值得

试题解析：（1）连结，已知点在以为直径的半圆周上，所以为直角三角形，

因为，，所以，，

在中由余弦定理，且，

所以，

解得或，

（2）因为，，

所以，

所以，

在中由正弦定理得：

所以，

在中，由正弦定理得：

所以，

若产生最大经济效益，则的面积最大，

，

因为，所以

所以当时，取最大值为，此时该地块产生的经济价值最大

【解析】①解三角形及正弦定理的应用②三角函数求最值

22．已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.

（1）设函数，试求的伴随向量；

（2）记向量的伴随函数为，求当且时的值；

（3）由（1）中函数的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象，已知，，问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.

【答案】（1）（2）（3）存在，

【分析】(1)利用三角函数诱导公式化简函数得，根据题意写出伴随向量； (2)根据题意求出函数，再由及求出及，由展开代入相应值即可得解；(3) 根据三角函数图像变换规则求出的解析式，设，由得列出方程求出满足条件的点P的坐标即可.

【详解】（1）∵

∴

∴的伴随向量

（2）向量的伴随函数为，

，

，

（3）由（1）知：

将函数的图像（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，得到函数

再把整个图像向右平移个单位长得到的图像，得到

设，∵

∴，

又∵，∴

∴

∴（*）

∵，∴

∴

又∵

∴当且仅当时，和同时等于，这时（*）式成立

∴在的图像上存在点，使得.

【点睛】本题主要考查平面向量坐标形式与三角函数的综合应用，涉及三角函数诱导公式，三角恒等变换，求三角函数图像变换后的解析式，向量垂直的数量积关系，属于中档题.