2022-2023学年湖北省黄冈市黄梅国际育才高级中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年湖北省黄冈市黄梅国际育才高级中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合或，，则等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用交集的定义可求得结果.

【详解】由题意可得.

故选：D.

2．不等式的解集为（    ）

A． B．

C．或 D．

【答案】C

【分析】根据题把不等式化为或，即可求解.

【详解】由题意，不等式等价于或，

解得或，即不等式的解集为或.

故选：C.

3．已知集合，集合，则与的关系是

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：因为集合代表的是函数的定义域，代表函数的值域，，.所以，故选C.

【解析】集合的包含关系.

4．已知全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用集合的交、补运算即可求解.

【详解】，，，

所以.

故选：A

5．命题“都有”的否定是（    ）

A．不存在

B．存在

C．存在

D．对任意的

【答案】B

【分析】由全称命题的否定：将任意改为存在并否定原结论，即可写出原命题的否定.

【详解】由全称命题的否定为特称命题，

∴原命题的否定为：存在.

故选：B

6．已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由题意可得，由的范围可得的范围，再求其补集即可求解.

【详解】由可得，

因为，所以，

若命题“存在，使得等式成立”是假命题，

则实数 的取值范围是，

故选：D.

7．函数的图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】化简函数的解析式为，结合一次函数的图象与性质，即可求解

【详解】由题意，函数，

当时，；当时，，

即，结合一次函数的图象与性质，可得选项B符合.

故选：B.

8．已知函数是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据奇函数和偶函数的性质可以求出的表达式，再根据，可以判断出的单调性，再结合二次函数的性质进行求解即可.

【详解】由题得：f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x）；g（x）是偶函数，所以g（-x）=g（x）

将-x代入得：

联立解得：

等价于，

即：，令，则在（1，2）单增

①当a>0时，函数的对称轴为，所以在（1，2）单增

②当a<0时，函数的对称轴为，若在（1，2）单增，则，得

③当a=0时，单增，满足题意综上可得：,

故选：D

二、多选题

9．下列说法正确的有（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】BD

【分析】举例说明AC不成立，根据作差法以及基本不等式证明BD.

【详解】当时，满足，但不成立，所以A错误；

当时，满足，但不成立，所以C错误；

若，则

因为，所以不同时为零，所以，即B成立；

若，则，所以D成立；

故选:BD

【点睛】本题考查不等式性质、作差法、基本不等式应用，考查基本分析判断能力，属基础题.

10．已知集合，，若，则实数a的取值可能为（    ）

A．-1 B．0 C．1 D．

【答案】ABD

【分析】先根据得到，再分情况讨论集合B，求得a的可能取值.

【详解】因为，所以，当时，；

当时，当时，把代入，解得：，

当时，把代入，解得：，

实数a的取值可能为0，和-1.

故选：ABD

11．下列函数中最大值为的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【解析】利用基本不等式逐项判断即可.

【详解】解：对A，，

当且仅当，即时取等号，故A错误；

对B，，

当且仅当，又，即时取等号，故B正确；

对C，，

当且仅当，即时等号成立，故C正确；

对D，，

当且仅当 ，又 ，时取等号，故D错误.

故选：BC.

12．下列命题中为真命题的是（    ）

A．“”的充要条件是“”

B．“”是“”的既不充分也不必要条件

C．命题“，”的否定是“，”

D．“，”是“”的充分条件

【答案】BD

【分析】对A：由，但即可判断；

对B：取，满足，但；同理取，满足，但即可判断；

对C：根据存在量词的命题的否定即可判断；

对D：因为，但即可判断.

【详解】对A：由，但，所以是的充分不必要条件，故选项A错误；

对B：取，满足，但，所以；同理取，满足，但，所以，所以是的既不充分也不必要条件，故选项B正确；

对C：命题“，”的否定是，”，故选项C错误；

对D：因为，但，所以“，”是“”的充分不必要条件，故选项D正确；

故选：BD.

三、填空题

13．设集合，，若.则实数___________.

【答案】-1或33或-1

【分析】由3与A及B的关系，结合集合的元素互异性求a的值.

【详解】∵ ，所以，，

∴或，

解得：或-1或3.

又因为元素的互异性，∴,

∴ 或3.

故答案为：-1或3.

14．若函数的定义域是，则函数的定义域是______.

【答案】

【分析】根据题意得出求解即可.

【详解】由题意，函数的定义域是，即，

则函数满足，解得，

即函数的定义域是.

故答案为：.

15．已知函数f（x）是奇函数，且当x<0时，f（x）=x2+x-2，则不等式的解集为___________.

【答案】

【分析】先结合函数奇偶性画出整个图象，再结合直接判断取值范围即可.

【详解】当x<0时，f（x）=x2+x-2画出图形，如图所示：

根据函数为奇函数，则当时，函数图象应关于原点对称，整个图象为：

当时，与应异号，图象落在二、四象限，故

故答案为：

16．已知，若恒成立，则实数的取值范围是________．

【答案】

【详解】由于恒成立，需，由基本不等式得

，因此， ．

点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

四、解答题

17．已知全集，集合，

(1)用列举法表示集合与；

(2)求及.

【答案】(1)，3，，，

(2),

【分析】（1）列举出与即可；

（2）求出与的交集，以及与并集的补集即可．

【详解】（1）因为，，

所以，3，，，；

（2）由（1）可得：；，2，3，，

全集，1，2，3，4，5，，

，5，．

18．已知集合，，.

(1)求集合;

(2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）化简集合A，B，求出集合M，再由补集的意义即可得解；

（2）根据给定条件可得集合M是集合N的真子集，再借助集合包含关系列式求解即得.

【详解】（1）依题意，，，则，

所以或；

（2）若是的必要不充分条件，则集合M是集合N的真子集，

从而或，解得或，于是得，

所以实数a的取值范围.

19．设，，且．

（1）求的最大值；

（2）求的最小值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】(1)结合条件等式，利用基本不等式求的最值，(2)由条件，利用基本不等式求其最值.

【详解】（1）当且仅当时等号成立．

∴当时有最大值．

（2）

（取等号）

20．设=x2+bx+c，不等式x2+bx+c≤0的解集为[1，3].

(1)求实数b，c的值；

(2)x∈[﹣1，3]时，求的值域.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由不等式的解集可得对应方程的根，由根与系数的关系求解；

（2）由二次函数的单调性求值域.

【详解】（1）由题意知，1和3是方程x2+bx+c=0的两根，

所以，

解得

（2）由（1）知，，

所以当x∈时，单调递减，当x∈时，单调递增，

所以min=f（2）=﹣1，max=f（﹣1）=8，

故的值域为.

21．若函数是定义在上的奇函数，

(1)求函数的解析式；

(2)用定义证明：在上是递减函数；

(3)若，求实数的范围．

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）利用奇函数的性质知，代入求解即可；

（2）利用函数的单调性定义证明即可；

（3）利用函数的奇偶性及单调性解不等式即可.

【详解】（1）根据题意，函数是定义在上的奇函数

则有，解得

即，经检验，满足

所以函数的解析式为．

（2）证明：任取，且，

，

所以，即，

所以在上是递减函数．

（3）由于且为上的奇函数，则

又由（2）知：在上是递减函数

所以，解得

则实数m的范围是．

22．第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日至8月8日在四川成都举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件.

(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入， 该商品每件定价最多为多少元？

(2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入( - 600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.

【答案】(1)要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元

(2)当该商品改革后的销售量至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元

【分析】（1）设每件定价为元，则提高价格后的销售量为，根据销售的总收入不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；

（2）依题意，时，不等式有解，等价于时，有解，利用基本不等式，可以求得结论．

【详解】（1）解：设每件定价为t元，依题意得，

整理得 ，

解得.

所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.

（2）解：依题意，时，

不等式有解

等价于时，有解

（当且仅当时，等号成立）

．此时该商品的每件定价为30元

当该商品明年的销售量至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．