2022-2023学年湖北省黄冈市黄州中学（黄冈外校）高一（下）第七次段考数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省黄冈市黄州中学（黄冈外校）高一（下）第七次段考数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2.  下列命题正确的为(    )

A. 两条直线确定一个平面
B. 一条直线和一个点确定一个平面
C. 若直线在平面外，则这条直线与这个平面没有公共点
D. 若两条直线没有公共点，则这两条直线为平行直线或异面直线

3.  将一个无盖正方体盒子的表面展开后如图所示，则，在原正方体中的位置关系是(    )

A. 平行
B. 垂直
C. 异面且所成的角为
D. 异面且所成的角为

4.  如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，在正三棱柱中，若，，点是棱的中点，点在棱上，则三棱锥的体积为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线不平行于平面的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在正方形中，，为的中点，点是以为直径的圆弧上任一点则的最大值为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  任意画一个正三角形，并把每一条边三等分，分别取三等分后的各边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，得到如图所示的六角星，点是该六角星的中心，若，则(    )

A.
B.
C.
D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  如图，已知，，，，，且，，，，，分别是线段，的中点，则下列结论一定成立的是(    )

 

A. 当直线与相交时，交点一定在直线上
B. 当直线与异面时，可能与平行
C. 当，，，四点共面且时，
D. 当，两点重合时，直线与不可能相交

10.  已知实数，，和虚数单位，定义：复数为单位复数，复数为伴随复数，复数为目标复数，目标复数的实部和虚部分别为实部函数和虚部函数，则正确的说法有(    )

A.
B.
C. 若，则，
D. 若，且，则锐角的正弦值

11.  如图，正方体中，为底面的中心，为棱的中点，则下列结论中正确的是(    )

A. 平面
B. 平面
C. 异面直线与所成的角为
D. 平面

12.  下列选项中正确的是(    )

A. 若平面向量，满足，则的最大值是
B. 在中，，，是的外心，则的值为
C. 函数的图象的对称中心坐标为，
D. 已知为内任意一点，若，则点为的垂心

三、填空题（本大题共1小题，共20.0分）

13.  已知平面向量，，若，则 ______ ．
四面体中，、、、分别是各边、、、的中点，若，则是______ 形填四边形的形状
已知，且，为虚数单位，则的最大值是______ ．
如图所示，正方体的棱长为，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
在复平面内，点对应的复数是，向量绕着原点按逆时针方向旋转得到向量．
求点对应的复数；
已知点对应的复数满足，且，，求复数．

15.  本小题分
如图，在长方体中，，分别是线段，的中点．
证明：平面；
若，直线与所成角的余弦值是，求四面体的体积．

16.  本小题分
在中，内角、、所对的边分别为、、，的面积为．
已知，，，从这三个条件中任选一个，回答下列问题，
求角；
若，求的面积的最大值．

17.  本小题分
已知圆柱的底面半径为，上底面和下底面的圆心分别为和，正方形内接于下底面圆，与母线所成的角为．
试用表示圆柱的表面积；
若圆柱的体积为，求点到平面的距离．

18.  本小题分
“中国齐云山国际养生万人徒步大会”得到了国内外户外运动爱好者的广泛关注，为了使基础设施更加完善，现需对部分区域进行改造．如图，在道路 北侧准备修建一段新步道，新步道开始部分的曲线段是函数，，的图象，且图象的最高点为中间部分是长为千米的直线段，且新步道的最后一部分是以原点为圆心的一段圆弧．
试确定，的值
若计划在扇形区域内划出面积尽可能大的矩形区域建服务站，并要求矩形一边紧靠道路，顶点罗总半径上，另一顶点落在圆弧上．记，请问矩形面积最大时应取何值，并求出最大面积？

19.  本小题分
如图，在三棱柱中，点在底面内的射影恰好是点，是的中点，且满足．
求证：平面；
已知，直线与底面所成角的大小为，求二面角的大小．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算，求出，得答案．

【解答】

解：由，得，
，
复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．
故选：．

2.【答案】 

【解析】解：在中，由平面基本性质的推论，得到：两条相交直线能确定一个平面，两条平行直线能确定一个平面，故A错误；
在中，一条直线和这条直线外一个点可以确定一个平面，故B错误；
在中，若直线在平面外，包括直线和平面平行和直线和平面相交，若直线和平面相交，则这条直线与这个平面有一个公共点，故C错误；
在中，若两条直线没有公共点，则这两条直线为平行直线或异面直线，故D正确．
故选：．
由平面的三个公理以及三个推论，即可判断，是否正确；由线面位置关系可判断是否正确；由两直线的位置关系可判断是否正确．
本题考查命题真假的判断，考查平面的基本性质及其推论，空间线线，线面位置关系等基础知识，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意，如图，还原后正方体为：其中、为异面直线，
连接、，易得为等边三角形，则，
又由，则与所成的角为，
故选：．
根据题意，作出还原后的正方体，由异面直线所成角的定义由此分析可得答案．
本题考查空间直线与直线的位置关系，涉及正方体的几何结构，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：直观图是一个平行四边形，，，
所以直观图的面积为，
因为：，
所以原图形的面积为．
故选：．
先求出直观图中平行四边形的面积，然后利用直观图面积和原图形面积之间的比例关系求解即可．
本题考查了斜二测画法与水平放置的平面图形的面积之比的应用，解题的关键是掌握：，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：在正三棱柱中，，，
又点是棱的中点，点在棱上，
易知底面正三角形边上的高线即为到侧面的距离，
又易知侧面，
到侧面的距离即为到侧面的距离，
到侧面的距离为，
三棱锥的体积为：
．
故选：．
转化三棱锥的顶点，再根据正三棱柱的性质，三棱锥的体积公式，即可求解．
本题考查三棱锥的体积的求解，正三棱柱的性质，属中档题．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了线面平行的判定，属于中档题．
利用线面平行的判定方法逐个分析判断即可．

【解答】

解：对于，如图，连接，则，

因为，分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
对于，如图连接，

因为，分别为，的中点，所以，
因为，所以，
因为平面，平面，所以平面，
对于，如图，连接，则，

因为，分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得，
所以，
因为平面，平面，所以平面，
对于，如图取底面中心，连接，

由于为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得，
因为与平面相交，所以与平面相交，
故选：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量数量积的性质以及计算，涉及向量的坐标表示和计算，辅助角公式以及三角函数的性质，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．
建立平面直角坐标系，求得各点坐标，进而表示出，再利用三角函数的性质即可得出答案．

【解答】

解：如图，

取中点，以点为原点，以所在直线为轴，如图建立平面直角坐标系，
设，结合题意，可知，，，，
所以，，
所以，当且仅当时等号成立，
的最大值为．
故选：．

8.【答案】 

【解析】解：，
，
则，
，
，，
则，
故选：．
根据平面向量的基本定理，利用向量运算法则进行转化，建立方程进行求解即可．
本题主要考查平面向量基本定理，利用向量运算法则进行转化，并建立方程是解决本题的关键，是中档题．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查空间中直线和直线的位置关系，以及线面平行的判定和性质，考查转化思想和推理能力，属于中档题．
由平面的基本性质可判断；考虑，由面面平行的判定和性质，推得矛盾，可判断；由线面平行的判定和性质，可判断；由三角形的全等推得，再由线面平行的判定和性质可判断．

【解答】

解：当，相交，设交点为，可得在直线上，也在平面内；在直线上，也在平面内，可得在、的交线上，故A正确；
当直线与异面时，假设，连接，取的中点，连接，，
因为，为，的中点，所以，所以由面面平行的判定定理可得平面平面，
同理可得平面平面，所以，与已知条件矛盾，故B错误；
当，，，四点共面且时，可得，由线面平行的性质定理可得，所以，故C正确；
当，两点重合时，且，为中点，可得，，，四点共面，≌，
推得，由线面平行的判定和性质，可得直线与平行，不可能相交，故D正确．
故选：．

10.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，，
故选项A正确，选项B错误；
因为，
所以，，
故选项C错误；
因为，
所以，
又因为为锐角，则，
所以，
故，
故选项D正确．
故选：．
利用题中给出的信息，即可得到和，从而可判断选项A，，利用两角和差公式化简，从而得到和的值，即可判断选项C，利用辅助角公式化简的解析式，利用角的变换以及三角恒等变换，求解，即可判断选项D．
本题考查了新定义问题，涉及了复数的定义、两角和差公式、辅助角公式以及同角三角函数关系式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：在中，取中点，则，

平面，平面，
平面，故A正确；
在中，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，

设正方体中棱长为，
则，，，，，
，，，
，，，，
平面，故B正确；
在中，，是异面直线与所成的角，
又是正三角形，
异面直线与所成的角为，故C正确；
在中，平面，，故与平面不垂直，故D错误．
故选：．
在中，取中点，则，从而平面；在中，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面；
在中，由，得是异面直线与所成的角，由是正三角形，得异面直线与所成的角为；在中，平面，，故与平面不垂直．
本题考查三有形面积和四边形面积的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对选项，，

，
的最大值是，选项正确；
对选项，在中，，，是的外心，
，选项正确；
对选项，令，可得，，
的图象的对称中心坐标为，，
选项错误；
对选项，，
，，，
同理，，点为的垂心，选项正确．
故选：．
对选项，根据平面向量数量积的定义与性质，函数思想即可求解；
对选项，根据三角形外心的性质，向量的线性运算及向量数量积的几何定义即可求解；
对选项，根据正切函数的图象性质即可求解；
对选项，根据向量数量积的性质，三角形垂心的概念即可求解．
本题考查平面向量数量积的定义与性质，函数思想，三角形外心的性质，正切函数的图象性质，三角形垂心的概念，属中档题．
 

13.【答案】  菱    

【解析】解：因为向量，，且，
所以，解得．
因为、、、分别是各边、、、的中点，
所以，，，，
所以，且，所以四边形是平行四边形，
同理，，所以，所以▱是菱形．
因为，所以，即最大值是．
由图可知该几何体为两个全等的正四棱锥构成，
四棱锥底面四边形面积为正方形面积一半，是，
高为正方体棱长一半，是，
所以几何体的体积为．
故答案为：； 菱； ；．
根据平面向量数量积的坐标运算列方程求解即可．
利用中位线定理判断四边形是平行四边形，再判断▱是菱形．
利用绝对值不等式求出的最大值．
根据该几何体为两个全等的正四棱锥，由此计算几何体的体积．
本题考查了平面向量的数量积与复数的模长和空间几何体的体积计算问题，是中档题．
 

14.【答案】解：点对应的复数是，向量绕着原点按逆时针方向旋转得到向量，
则点对应的复数；
由可知，，，
点对应的复数满足，且，，
则向量对应的复数，
或，
故或，
所以或，
所以或． 

【解析】根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解；
根据已知条件，结合复数的几何意义，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，考查转化能力，属于中档题．
 

15.【答案】证明：设为的中点，连接，，
则，，
又平面，平面，，平面，
所以平面，平面，

又，、平面，
所以平面平面，又平面，
所以平面；
解：由知，是异面直线与所成角，所以，
在中，因为，．
所以，
因此． 

【解析】设为的中点，连接、，则、，利用面面平行的判定定理即可证明；
由知是异面直线与所成角，解三角形得，结合三棱锥的体积公式计算即可．
本题考查了线面平行的证明以及三棱锥体积的计算，属于中档题．
 

16.【答案】解：选：，
，即，
又，则；
选：，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
又，则；
选：，
由正弦定理得，
又，即，
，
又，则；
由得，
由余弦定理得，即，当且仅当时等号成立，
，
的面积的最大值为． 

【解析】分别选择条件，利用正弦定理、余弦定理，即可得出答案；
由得，由余弦定理得，即，结合基本不等式，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：与母线所成的角为，，所以，
圆柱的表面积；
圆柱的体积为，，．
，
中，，
由余弦定理知，
，
，，
，即点到平面的距离为． 

【解析】本题考查空间点线面的距离的求法，几何体的体积的求法，是基础题．
利用已知条件，通过求解三角形推出圆柱的高，然后求解圆柱的表面积；
利用圆柱的体积，求出底面半径，通过，求解点到平面的距离．
 

18.【答案】解：，，分
图象过，，
又分
由知，交轴于，
又，，．
又，，分

分
又，时，此时矩形面积最大为分 

【解析】利用正确确定，图象过，确定的值；
求出，，可得面积，利用三角函数求出最大面积．
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，三角恒等变换、正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
 

19.【答案】解：证明：是的中点，，所以，
因为在底面内的射影恰好是点，所以平面，
因为平面，所以，
因为，平面，平面，
所以平面．
解：设，取中点，连接、，
困为，所以，
所以，
由知平面，所以是在平面内投影，
所以，
所以是二面角的平面角，
由知平面，所以是在平面内投影，
所以是直线与底面所成角，，
所以，
因为四边形是平行四边形，所以，
又因为，
所以，因为，所以．
故二面角的大小为． 

【解析】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与平面所成角，二面角计算问题，属于中档题．
只要证明垂直于平面内两相交直线即可；
寻找二面角的平面角，转化为解三角形问题．