湖北省黄冈市黄州中学（黄冈外校）2022-2023学年高一下学期数学周测 4.27

这是一份湖北省黄冈市黄州中学（黄冈外校）2022-2023学年高一下学期数学周测 4.27，共7页。试卷主要包含了 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 若sinα=−513，α为第四象限角，则tanα的值等于( )
A. 125B. −125C. 512D. −512
3. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a= 5，c=2，csA=23，则b=( )
A. 2B. 3C. 2D. 3
4. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为a2+b2−c24，则C=( )
A. π2B. π3C. π4D. π6
5. 把函数y=f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y=sin(x−π4)的图像，则f(x)=( )
A. sin(x2−7π12)B. sin(x2+π12)C. sin(2x−7π12)D. sin(2x+π12)
6. 已知平面上三点A，B，C，满足|AB|=6，|AC|=8，|BC|=10，则AB⋅BC+BC⋅CA+CA⋅AB=( )
A. 48B. −48C. 100D. −100
7. 已知i是虚数单位，则化简(1+i1−i)2020的结果为( )
A. iB. −iC. −1D. 1
8. 如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA，OB，若z1=z⋅z2，则z的共轭复数z=( )
A. 12+32iB. 12−32iC. −12+32iD. −12−32i
9. 下列几何体中是棱柱的组合的选项为( )
A. ①②B. ①③C. ③④D. ③⑤
10. 下列说法正确的是( )
A. 四棱柱的所有面均为平行四边形B. 长方体不一定是正四棱柱
C. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥D. 棱台的侧棱延长后必交于一点
11. 下列命题中，不正确的是( )
A. 1−ai(a∈R)是一个复数B. 形如a+bi(b∈R)的数一定是虚数
C. 两个复数一定不能比较大小D. 若a>b，则a+i>b+i
12. 给出下列四个命题，其中正确的选项有( )
A. 非零向量a，b满足|a|=|b|=|a−b|，则a与a+b的夹角是30∘
B. 若(AB+AC)⋅(AB−AC)=0，则△ABC为等腰三角形
C. 若单位向量a，b的夹角为120∘，则当|2a+xb|(x∈R)取最小值时x=1
D. 若OA=(3,−4)，OB=(6,−3)，OC=(5−m,−3−m)，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是m>−34
13. (1)已知a∈R，i为虚数单位，若a−i2+i为实数，则a的值为__________.
(2)设复数z1，z2满足|z1|=|z2|=2，z1+z2= 3+i，则|z1−z2|=__________.
(3)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2−a2=8，则△ABC的面积为__________.
(4)已知复数z=x+yi，(x,y∈R)，若|z+2i|=1，则|z|max=__________;x+2y的取值范围是__________
14. 已知复数z=m2+m−2+(m−1)i(m∈R)，其中i为虚数单位.
(1)若z是纯虚数，求实数m的值;
(2)若m=2，设z+iz−i=a+bi(a,b∈R)，试求a+b的值.
15. 已知向量a，b，c是同一平而内的三个向量，其中a=(1,−1).
(1)若|c|=3 2，且c//a，求向量c的坐标;
(2)若|b|=1，且a⊥(a−2b)，求a与b的夹角θ.
16. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m=(a,c−2b)，n=(csC,csA)，且m⊥n.
(1)求角A的大小;
(2)若b+c=5，△ABC的面积为 3，求△ABC的周长
17. 在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，b=a+1，c=a+2.
(1)若2sinC=3sinA，求△ABC的面积;
(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形?若存在，求出a的值;若不存在，说明理由.
18. 如图，A、B是某海域位于南北方向相距15(1+ 3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45∘、B点南偏东30∘的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/小时.
(1)求B、C两点间的距离;
(2)该救援船前往营救渔船时的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是南偏东多少度(精确到0.01∘)?救船到达C处需要乡长时间?(参考数据：sin21.79∘≈0.37，cs21.79∘≈0.93)
19. 已知向量a和b，|a|=|b|=1，且|a+kb|= 3|a−kb|.
(1)若a与b的夹角为60∘，求k的值;
(2)记f(k)=a⋅b+14(k2−3k−1k+3)，是否存在实数x，使得f(k)≥1−tx对任意的t∈[−1,1]恒成立?若存在，求出实数x的取值范围;若不存在，试说明理由.
答案
1-8DDDCBDDA
9-12BD BD BCD ABC

13.【答案】(1)−2；
(2)2 3；
(3)2 33；
(4)3；[−4− 5,−4+ 5]
14.【答案】解：(1)由题意可得：m2+m−2=0，且m−1≠0，∴m=−2；
(2)若m=2，则z=4+i，
z+iz−i=4+2i4−2i=(2+i)2(2−i)(2+i)=3+4i5=a+bi，
∴a=35，b=45，
∴a+b=75.
15.【答案】解：(1)设向量c的坐标为(m,n)， |c|=3 2，且c//a，a=(1,−1)，
可得m2+n2=18，−m=n，解得m=3，n=−3或m=−3，n=3，
即有向量c的坐标为(3,−3)或(−3,3)；
(2)若|b|=1，且a⊥(a−2b)，可得a⋅(a−2b)=0，即有a2=2a⋅b，
可得a⋅b=12|a|2=12×2=1，即有csθ=a⋅b|a|⋅|b|=1 2×1= 22，
由0≤θ≤π，可得θ=π4.
16.【答案】解：(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
已知m=(a,c−2b)，n=(csC,csA)，
且m⊥n.
所以acsC+(c−2b)csA=0，
利用正弦定理整理得：sinAcsC+sinCcsA−2sinBcsA=0，
所以sin(A+C)−2sinBcsA=0，
即sinB−2sinBcsA=0，由于sinB≠0，
故csA=12，
由于0(2)由于△ABC的面积为 3，
所以12bcsinA= 3，整理得bc=4.
利用余弦定理a2=c2+b2−2bccsA=(c+b)²−3bc=25−12=13，解得a= 13，
所以周长l=a+b+c=5+ 13.
17.【答案】解：(1)因为2sinC=3sinA，
根据正弦定理可知2c=2a+2=3a，
则a=4，故b=5，c=6，
csC=a2+b2−c22ab=18>0，
所以C为锐角，则sinC= 1−cs2C=3 78，
因此，S△ABC=12absin C=12×4×5×3 78=15 74.
(2)显然c>b>a，若△ABC为钝角三角形，则C为钝角，
由余弦定理可得csC=a2+b2−c22ab=a2+a+12−a+222aa+1=a2−2a−32aa+1<0，
又a>0，则a2−2a−3<0，即(a+1)(a−3)<0，
解得−1由三角形三边关系可得a+a+1>a+2，可得a>1，
∵a∈Z，故a=2.
18.【答案】解：(1)在△ABC中，∠BAC=45∘，∠ABC=30∘，则∠ACB=105∘，
sin105∘=sin(60∘+45∘)=sin60∘cs45∘+cs60∘sin45∘
= 32× 22+12× 22= 2( 3+1)4，
由正弦定理BCsin∠BAC=ABsin∠ACB得BC=ABsin∠BACsin∠ACB=15(1+ 3)sin45∘sin105∘=15(1+ 3)× 22 2(1+ 3)4=30(海里)，
(2)△DBC中，∠DBC=120∘，由余弦定理
DC2=DB2+BC2−2DB⋅CBcs∠DBC=502+302−2×50×30cs120∘=4900，
DC=70， t=7040=1.75(小时)，
csD=DB2+DC2−BC22DB⋅DC=502+702−3022×50×70≈0.93，D为锐角，
所以D=21.79∘，90∘−21.79∘=68.21∘
救援船前往营救渔船时的目标方向线方向是南偏东68.21∘.
19.【答案】解：(1)|a|=|b|=1，a与b的夹角为60∘，
则a⋅b=|a|⋅|b|cs60∘=1×1×12=12，
由|a+kb|= 3|a−kb|，两边平方可得，
(a+kb)2=3(a−kb)2，
a2+2ka⋅b+k2b2=3(a2−2ka⋅b+k2b2)，
即有1+k+k2=3(1−k+k2)，
解得k=1；
(2)由(1)得，a2+2ka⋅b+k2b2=3(a2−2ka⋅b+k2b2)
即1+k2+2ka⋅b=31+k2−2ka⋅b
即可得a⋅b=14(k+1k)，
∴f(k)=14(k+1k)+14(k2−3k−1k+3)
=14(k2−2k+3)=14[(k−1)2+2]，
∴f(k)min=12，
因为f(k)≥1−tx对于任意t∈−1,1恒成立，
∴f(k)min≥1−tx，
所以12≥1−tx，
即tx≥12对于任意t∈−1,1恒成立，
构造函数g(t)=tx−12，
从而g(−1)≥0g(1)≥0⇒x≤−12x≥12.