2022-2023学年吉林省长春外国语学校高一上学期期末数学试题含答案

2022-2023学年吉林省长春外国语学校高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．下列各角中，与 角终边相同的角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据即可得到答案.

【详解】对选项A，，故A错误.

对选项B，因为，故B正确.

对选项C，，故C错误.

对选项D，，故D错误.

故选：B

2．命题“，使得”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.

【详解】解：因为命题“，使得”是存在量词命题，

所以其否定是全称量词命题，即，，

故选：A

3．设r为圆的半径，弧长为的圆弧所对的圆心角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据弧长、圆心角、半径的关系，代入求解，再转化为角度制即可.

【详解】由弧长、圆心角、半径的关系：，

弧长为的圆弧所对的圆心角：.

故选：A.

4．若函数是指数函数，则等于（    ）

A．或 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据指数函数的定义求解即可.

【详解】因为函数是指数函数，

所以.

故选：C

5．设，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据指数函数的性质得到，根据对数函数的性质得到，即可得到答案.

【详解】因为，，所以.

又因为，所以.

故选：C

6．“函数在上单调递减”是“函数为偶函数”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】根据幂函数的性质和偶函数的性质，再结合充分，必要条件的概念即可得到答案.

【详解】因为函数在上单调递减，所以.

因为函数为偶函数，定义域为R，

所以，

所以，化简得，解得，

所以函数在上单调递减”是“函数为偶函数”的既不充分也不必要条件.

故选：D

7．若，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据求解即可.

【详解】因为，，所以，

因为，，所以，

又因为，所以.

所以

.

故选：B

8．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称,函数是满足的偶函数,且当时,,若函数有个零点,则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据已知条件确定函数的函数图像,将函数有个零点即为的图像有个交点,当时,结合图像可知不符合题意;当时,结合图像列出不等式组求解即可.

【详解】因为函数的图象与函数的图象关于直线对称,

所以,

则当时,,

因为函数是满足的偶函数,

所以函数的一个周期为,

所以函数的图像如下:

函数有个零点即为的图像有个交点,

当时显然不符合题意;

当时,与函数的图像如图:

有且只有个交点,与题意不符;

当时,若满足题意,则与函数的图像如图:

即,解得.

故选:D.

二、多选题

9．某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，，，．下列说法正确的有（    ）

A．的零点在区间内 B．的零点在区间内

C．精确到0.1的近似值为1.4 D．精确到0.1的近似值为1.5

【答案】BC

【分析】根据二分法基本原理判断即可.

【详解】解：易知是增函数，因为，，所以零点在内，所以A错误，B正确，

又1.4375和1.375精确到0.1的近似数都是1.4，所以C正确，D错误．

故选：BC.

10．已知函数，其中且，则下列结论正确的是（    ）

A．函数是奇函数

B．函数的图象过定点

C．函数在其定义域上有解

D．当时，函数在其定义域上为单调递增函数

【答案】ACD

【分析】对选项A，利用奇函数的定义即可判断A正确，对选项B，根据即可判断B错误，对选项C，令求解即可判断C正确，对选项D，根据指数函数单调性即可判断D正确.

【详解】函数，

对选项A，，定义域为R，，

所以函数是奇函数，故A正确.

对选项B，，故B错误.

对选项C，，定义域为R，令，解得，

故C正确.

对选项D，当时，，所以和在R上为增函数，

所以函数在R上为单调递增函数，故D正确.

故选：ACD

11．下列等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】对选项A，利用辅助角公式即可判断A错误.对选项B，根据余弦二倍角公式和诱导公式即可判断B错误，对选项C，根据正弦二倍角公式和诱导公式即可判断C正确，对选项D，根据诱导公式和正切两角和公式即可判断D正确.

【详解】对选项A，，故A错误.

对选项B，，故B错误，

对选项C，

，故C正确.

对选项D，，

故D正确.

故选：CD

12．给出下列四个选项中，其中正确的选项有（    ）

A．若角的终边过点且，则

B．若是第三象限角，则为第二象限或第四象限角

C．若在单调递减，则

D．设角为锐角（单位为弧度），则

【答案】BD

【分析】根据三角函数的定义、象限角、函数的单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，若角的终边过点，

则，所以，所以A选项错误.

B选项，若是第三象限角，即，

则，所以为第二象限或第四象限角，B选项正确.

C选项，依题意，，则且，

函数的开口向上，对称轴为，

则函数在上单调递减，

要使在单调递减，

根据复合函数单调性同增异减可知，

且，解得，

所以C选项错误.

D选项，如下图所示，锐角的终边为射线，在单位圆上，，

过作轴，垂足为，则

的弧长为，由图可知，所以D选项正确.

故选：BD

【点睛】由角的终边上的点求三角函数值，要注意三角函数的符号.象限角和轴线角不一样，解题过程中要特别注意.求解对数型复合函数的单调性问题，除了同增异减的利用外，还需要注意对数函数的定义域.

三、填空题

13．函数的定义域是           ．

【答案】

【详解】试题分析：要使函数有意义，需满足，所以函数定义域为

【解析】函数定义域

14．已知，则      .

【答案】

【分析】根据，求解即可.

【详解】因为，

令，，令，，

所以.

故答案为：

15．已知，且关于的不等式的解集为，则的最小值为           .

【答案】9

【分析】首先根据题意得到，且，再利用基本不等式求解最小值即可.

【详解】由题知：为方程的根，则，，

所以.

所以，

当且仅当，即取等号.

所以的最小值为9.

故答案为：9

16．方程，的所有根的和等于2024，则满足条件的整数m的值是           .

【答案】1011或1012/1012或1011

【分析】令，利用函数的对称性和正弦函数的周期性，分析可知在区间内的零点，根据所在区间即可求解.

【详解】方程，

令，

因为，，

所以函数的函数图象均关于点对称，

因为区间，所以在区间上，函数的交点个数相等，且两两关于点对称，每对对称点的横坐标之和为2.

记在区间的零点依次为，

则依题意有，

如图，由函数的周期性可知，，

因为，所以，即，

所以整数m的值为1011或1012.

故答案为：1011或1012

四、解答题

17．已知集合，集合.

(1)求；

(2)设，若，求实数的取值范围.

【答案】(1)或，

(2)

【分析】（1）根据补集、交集的知识求得正确答案.

（2）根据列不等式，由此求得的取值范围.

【详解】（1）依题意，集合，集合，

所以或，.

（2）由（1）得或，

而且，

所以，解得，所以的取值范围是.

18．已知，且为第二象限角.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用三角函数的基本关系式求解；

（2）利用三角函数的诱导公式求解.

【详解】（1）解：因为，且为第二象限角，

所以；

（2）.

19．已知函数是定义在R上的减函数，并且满足，.

(1)求的值；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）令，可得的值;

（2）依题意，可转化为，再利用是定义在上的减函数，脱去““可得答案.

【详解】（1）是定义在上的减函数，并且满足，

令，得，

.

（2）由（1）知，

令，得，

，

为上的奇函数，

又，令，，

，

，解得，

的取值范围为.

20．若函数 的部分图象如图所示，

(1)求函数的解析式；

(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所有图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，求函数的解析式及其单调递增区间.

【答案】(1)

(2)，增区间为

【分析】（1）根据三角函数的部分图象求出和的值，即可写出函数的解析式；

（2）根据函数图象平移变换法则，写出函数的解析式，再求它的递增区间.

【详解】（1）由的部分图象知，，解得，

因为，且，所以，

所以，

又因为，

所以，

所以，

又因为，所以，

所以.

（2）将函数 的图像向左平移 个单位, 得到

再将所有图像上各点的横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，

令，可得，

所以的单调递增区间为.

综上，单调增区间为.

21．已知函数 .

(1)求函数的最小正周期和对称中心；

(2)设是锐角，且，求 的值.

【答案】(1)，对称中心为

(2)

【分析】（1）根据诱导公式，结合正弦二倍角公式、余弦型函数的对称性和周期进行求解即可；

（2）根据特殊角的正弦和余弦值进行求解即可.

【详解】（1）

，

所以函数的最小正周期为，

令，

所以函数的对称中心为；

（2）因为是锐角，所以，

所以由，

.

22．设函数.

(1)当时，求的值域；

(2)若函数在区间上没有零点，求正实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先根据题意得到，再求其值域即可.

（2）首先得到，令得到，从而得到，再解不等式组即可.

【详解】（1）因为

，

因为，所以，故，

，即的值域为.

（2）

令，可得，

解得，.

因为在区间上没有零点，

所以，解得，

因为，所以

又由，得，所以或

当时，；

当时，

综上所述，正实数的取值范围是.