2022-2023学年福建省霞浦第一中学高一上学期期末线上质量检测数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省霞浦第一中学高一上学期期末线上质量检测数学试题

一、单选题

1．已知，大小关系正确的是

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用“”分段法比较出三者的大小关系.

【详解】由于，，，即，故选C.

【点睛】本小题主要考查指数式、对数式比较大小，属于基础题.

2．已知集合，则集合A∩B=（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】化简集合，进而求交集即可.

【详解】集合，

集合.

故选:.

3．若，，，则a、b、c的大小关系为（    ）

A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b

【答案】A

【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，借助0,1比较大小即可.

【详解】，且，

，，

故选：A

4．已知实数a＞0，b＞0，且满足ab﹣a﹣2b﹣2＝0，则（a+1）（b+2）的最小值为（    ）

A．24 B．313 C．913 D．25

【答案】D

【分析】根据等式ab﹣a﹣2b﹣2＝0表示出b，求出a的范围，然后将（a+1）（b+2）中的b消去，再利用基本不等式可求出（a+1）（b+2）的最小值．

【详解】因为ab﹣a﹣2b﹣2＝0，

所以b，又a＞0，b＞0，

所以0，解得a＞2，

又b1，

所以（a+1）（b+2）＝ab+2a+b+2

＝a+2b+2+2a+b+2＝3a+3b+4

＝3a7＝3（a﹣2）13

，

当且仅当3（a﹣2）即a＝4时等号成立，

即（a+1）（b+2）的最小值为25．

故选：D．

5．“等式成立”是“等式成立”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先分别解出两个方程，再根据充分条件与必要条件的定义进行求解.

【详解】由得，且，

由得或，

所以等式成立是等式成立”的充分不必要条件，

故选：A

6．若函数的定义域为，则函数 的定义域为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域.

【详解】解：因为函数的定义域为，

对于函数，则，解得，

即函数的定义域为.

故选：C

7．已知实数x，y满足，，则y的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】令、得，利用不等式的性质进行运算即可得答案．

【详解】令，，则，

∵，，即，，

∴，则，即.

故选：C

8．已知实数满足：，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】在同一坐标系中作出的图象，利用数形结合法求解.

【详解】因为，

所以，

在同一坐标系中作出的图象，如图所示：

由图象知：，

故选：D

二、多选题

9．下列函数中为奇函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据奇函数的定义即可逐一选项求解.

【详解】对于A,的定义域为R,关于原点对称，而，为偶函数，

对于B,的定义域为，关于原点对称，且，为奇函数，

对于C，的定义域为R，关于原点对称，且，为奇函数，

对于D,的定义域为R，关于原点对称，而，不是奇函数，

故选：BC

10．下列说法错误的是（    ）．

A．小于90°的角是锐角 B．钝角是第二象限的角

C．第二象限的角大于第一象限的角 D．若角与角的终边相同，那么

【答案】ACD

【分析】对于ACD，举例判断即可，对于B，由象限角的定义判断

【详解】小于90°的角可以是负角，负角不是锐角，故A不正确．

钝角是第二象限的角，故B正确；

第二象限的角不一定大于第一象限的角，例如：150°是第二象限的角，390°是第一象限的角，故C不正确．

若角与角的终边相同，那么，，故D不正确．

故选：ACD．

11．已知集合，集合是的真子集，则集合N可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】利用集合关系，判断中必须有2，4，结合 是的真子集，即可得求解．

【详解】集合，集合，

则集合中至少包含2，4两个元素，又不能等于或多于，2，3，4，中的元素，

所以集合可以是,,,

故选：ABC

12．已知函数在上单调递增，且，，则（    ）

A．的图象关于对称 B．

C． D．不等式的解集为

【答案】ACD

【分析】利用函数的对称性判断A正确；利用对称性得出，结合在上单调递增，得出和；利用单调性解出不等式判断出D正确．

【详解】函数满足，可得的图象关于对称，A正确；

和关于对称，故，又函数在上单调递增，则，即；，即，B错误，C正确；

和关于对称，则，又等价于或，在上单调递增，或，D正确；

故选：ACD

【点睛】本题考查函数性质的应用，考查抽象函数的对称性和单调性，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．

三、填空题

13．将化成弧度为______.

【答案】##

【分析】根据角度与弧度的关系转化即可.

【详解】因为，

所以，

故答案为：.

14．若函数是偶函数，则该函数的定义城是_________

【答案】[−2,2]##x-2≤x≤2

【分析】根据函数奇偶性的定义可得，求出a的值，结合二次根式的意义列出不等式，解不等式即可.

【详解】因为函数为偶函数，所以，

则，

解得 ，则函数，

有，解得，

即函数的定义域为.

故答案为：

15．已知，则______

【答案】##

【分析】利用二倍角公式、两角和的余弦公式结合弦化切可求得所求事件的概率.

【详解】

.

故答案为：.

16．设表示不超过实数的最大整数，则函数的最小值为______.

【答案】

【分析】可得的一个周期为，只要考虑的取值情况，分段讨论求出的值即可求出最小值.

【详解】，

的一个周期为，只要考虑的取值情况，

；当时，；，

当时，；；

当时，；；

当时，.

综上，的最小值为.

故答案为：.

【点睛】关键点睛：解题的关键是讨论每段的情况求值.

四、解答题

17．解下列不等式：

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【分析】根据一元二次不等式求解公式即可求解结果.

【详解】（1）因为，所以的解集为；

（2）因为，所以的解集为；

18．求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是.

【答案】证明见解析

【分析】先证明充分性，再证明必要性.

【详解】证明：（1）充分性：由得.

即满足方程.

是方程的一个根

（2）必要性：是方程的一个根，

将代入方程得.

故是一元二次方程的一个根的充要条件

是

19．设或，．

(1)若时，p是q的什么条件？

(2)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．

【答案】(1)充要条件；

(2).

【分析】（1）根据解一元二次不等式的方法，结合充分性、必要性的定义进行求解判断即可；

（2）根据必要不充分条件的性质进行求解即可.

【详解】（1）因为，所以，解得或，

显然p是q的充要条件；

（2），

当时，该不等式的解集为全体实数集，显然由，但不成立，因此p是q的充分不必要条件，不符合题意；

当时，该不等式的解集为：，显然当时，不一定成立，

因此p不是q的必要不充分条件，

当时，该不等式的解集为：，要想p是q的必要不充分条件，

只需，而，所以，

因此a的取值范围为：.

20．（1）用，，表示；

（2）已知正数满足，，求的值．

【答案】（1）；（2），，

【分析】利用对数运算法则计算即可.

【详解】（1）

（2）由得，  

，所以，

则，．

21．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知：，：，：.

（1）求与的极坐标方程

（2）若与交于点A，与交于点B，，求的最大值.

【答案】（1）的极坐标方程为；的极坐标方程为：（2）

【解析】（1）根据，代入即可转化.

（2）由：，可得，代入与的极坐标方程求出，从而可得，再利用二倍角公式、辅助角公式，借助三角函数的性质即可求解.

【详解】（1）：，，

的极坐标方程为

：，，

的极坐标方程为：，

（2）：，则（为锐角），

，，

，当时取等号.

【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标的互化、二倍角公式、辅助角公式以及三角函数的性质，属于基础题.

22．某企业积极响应习总书记“绿水青山就是金山银山”的号召，决定开发生产一政大型净水设备.生产这款设备的年固定成本为500万元，每生产台需要另投入成本（万元）.当年产量不足85台时，：当年产量不少于85台时，.若每台设备的售价为90万元，经过市场调查，该企业生产的净水设备能全部售完.

(1)求年利润(万元)关于年产量台的函数关系式；

(2)年产量为多少台时，该企业在这一款净水设备的生产中获利最大？最大利润是多少？

【答案】(1)

(2)当年产量为89台时，该企业在这一款净水设备的生产中获利最大，最大利润为1401万元，

【分析】（1）由题意列式求解，

（2）由二次函数性质与基本不等式求解，

【详解】（1）当，时，，

当，时，，

综上，

（2）当时，由二次函数性质知当时，有最大值1250，

当时，由，

当且仅当即时等号成立，故有最大值1401，

综上，当年产量为89台时，该企业在这一款净水设备的生产中获利最大，最大利润为1401万元，